単関数のルベーグ積分｜具体例を通して考え方を理解しよう

ルベーグ可測関数は多くの「都合の良い性質」を備えており，ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されます．

しかし，一般のルベーグ積分を定義する前に，単関数と呼ばれるタイプの関数に対するルベーグ積分を考えておくと諸々の見通しが良くなります．

この記事では

単関数の定義と具体例
単関数がルベーグ可測関数であるための必要十分条件
ルベーグ可測単関数のルベーグ積分

を順に説明します．

以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び，ルベーグ可測集合族を$\mathcal{L}$で表します．また，ルベーグ可測関数のことを単に「可測関数」と呼びます．

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ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
単関数の定義と具体例
1. 具体例１
2. 具体例２
単関数がルベーグ可測であるための必要十分条件
ルベーグ可測単関数のルベーグ積分

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

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ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

単関数の定義と具体例

$A\subset\R$とする．関数$f:A\to\R$がとる値が有限個であるとき，$f$を$A$上の単関数（simple function）であるという．

いくつか具体例をみてみましょう．

具体例１

関数$f:[0,3]\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<2)\\1&(2\le x\le3)\end{cases}\end{align*}$

で定めると，$f$のとる値は$1,2,3$の有限個のみですから単関数ですね．

具体例２

関数$f:\R\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}1&(x\in\Q)\\0&(x\in\R\setminus\Q)\end{cases}\end{align*}$

で定めると，$f$のとる値は$0,1$の有限個のみですから単関数ですね．この関数はディリクレ関数（Dirichlet function）という名前がついています．

$\R$上で$\Q$も$\R\setminus\Q$も稠密ですから，このディリクレ関数$f$は極めて細かく$0$と$1$を行き交うグラフをもちますね．

単関数がルベーグ可測であるための必要十分条件

冒頭でも少し触れたように，ルベーグ積分は可測関数に対して定義されます．

そのため，単関数のルベーグ積分を考えるためには，単関数が可測関数であるための条件を知っておく必要があります．

可測集合$A$上の単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であるとき，次は同値である．

$f$は$A$上の可測関数
任意の$k\in\{1,2,\dots,n\}$に対して$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}\in\mathcal{L}$

要するに，単関数の全ての値をなす集合$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}$が可測集合であることが必要十分なわけですね．

単関数$f$が可測関数であるとき，$f$を可測単関数と呼びます．

具体例１

関数

$\begin{align*}f:[0,3]\to\R;x\mapsto\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<2)\\1&(2\le x\le3)\end{cases}\end{align*}$

の値域は$\{1,2,3\}$です．

さらに，

$\begin{align*}&\set{x\in[0,3]}{f(x)=1}=[2,3], \\&\set{x\in[0,3]}{f(x)=2}=[0,\tfrac{3}{2}), \\&\set{x\in[0,3]}{f(x)=3}=[\tfrac{3}{2},2)\end{align*}$

であり，一般に区間は可測集合なので，これらはいずれも可測集合です．よって，この$f$は可測単関数ですね．

具体例２

ディリクレ関数

$\begin{align*}f:\R\to\R;x\mapsto\begin{cases}1&(x\in\Q)\\0&(x\in\R\setminus\Q)\end{cases}\end{align*}$

の値域は$\{0,1\}$です．

さらに，

$\begin{align*}&\set{x\in\R}{f(x)=0}=\R\setminus\Q, \\&\set{x\in\R}{f(x)=1}=\Q\end{align*}$

であり，

一般に可算集合は可測集合だから$\Q$は可測集合
$\R$は可測集合であり，一般に可測集合の差集合は可測集合だから$\R\setminus\Q$は可測集合

なので，ディリクレ関数$f$は可測単関数ですね．

証明

［$(1)\Ra(2)$の証明］任意の$k\in\{1,2,\dots,n\}$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k} =\set{x\in A}{\alpha_k\le f(x)\le\alpha_k}\end{align*}$

であり，前回の記事で示したようにこれは可測集合である．

［$(2)\Ra(1)$の証明］$\alpha_1<\alpha_2<\dots<\alpha_n$としてよい．任意に$\alpha\in\R$をとる．

$\alpha\le\alpha_1$のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=A\in\mathcal{L}\end{align*}$
$\alpha_{k-1}<\alpha\le\alpha_{k}$ ($k=1,2,\dots,n$)のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha_{k}}\in\mathcal{L}\end{align*}$
$\alpha_n<\alpha$のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=\emptyset\in\mathcal{L}\end{align*}$

である．よって，$f$は$A$上の可測関数である．

ルベーグ可測単関数のルベーグ積分

準備ができたので，可測単関数のルベーグ積分を定義しましょう．

考え方と定義

積分は$x$軸とグラフの間の部分の面積を表すものと定義したいので，先ほどから見ている具体例１の関数

$\begin{align*}f:[0,3]\to\R;x\mapsto\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<2)\\1&(2\le x\le3)\end{cases}\end{align*}$

の積分は下図の長方形の面積の和になるように定めたいところです．

つまり，積分が

$1\times m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=1})$
$2\times m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=2})$
$3\times m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=3})$

の和

$\begin{align*}1\times1+2\times\frac{3}{2}+3\times\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\end{align*}$

となっていて欲しいですね．実際これは正しく，より一般に可測単関数のルベーグ積分は次のように得られます．

可測集合$A$上の可測単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であるとき，可測単関数$f$の$A$上のルベーグ積分は

$\begin{align*}\int_{A}f(x)\,dx=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\times m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})\end{align*}$

である．

本来は「先にルベーグ積分を定義してからこの命題を示す」という流れになりますが，単関数に対しては直感的に理解できるのでルベーグ積分の定義に先立って結果を述べました．

この命題はのちの記事で証明しています．

可測単関数$f$がとる全ての値$\alpha_k$に対して，縦$\alpha_k$×横$m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})$を考えて，和を考えたものが$f$のルベーグ積分というわけですね．

なお，単関数$f$が可測関数なら，さきほど示した単関数が可測関数であるための必要十分条件から$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}$は全て可測集合なので，これらの測度$m(\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k})$を考えることは問題ありませんね．

具体例１

上の考え方で見た通りですが，関数

$\begin{align*}f:[0,3]\to\R;x\mapsto\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<2)\\1&(2\le x\le3)\end{cases}\end{align*}$

に対して，

$\begin{align*}&m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=1})=m([2,3])=1, \\&m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=2})=m([0,\tfrac{3}{2}))=\tfrac{3}{2}, \\&m(\set{x\in[0,3]}{f(x)=3})=m([\tfrac{3}{2},2))=\tfrac{1}{2}\end{align*}$