単関数の定義と可測性｜ルベーグ積分の基礎を具体例から解説

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して考えることができますが，ルベーグ可測関数に対してルベーグ積分を定義するには少々準備が必要です．

その準備として，単関数と呼ばれるタイプの関数に対するルベーグ積分を考えておきましょう．

この記事では

単関数の定義と具体例
単関数がルベーグ可測関数であるための必要十分条件
ルベーグ可測単関数のルベーグ積分

を順に説明します．

以下ではルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」と呼び，ルベーグ可測集合族を$\mathcal{L}$で表します．また，ルベーグ可測関数のことを単に「可測関数」と呼びます．

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単関数の定義と具体例

$A\subset\R$とする．関数$f:A\to\R$が（$A$上の）単関数（simple function）であるとは，$f$が有限個の値のみをとることをいう．

いくつか具体例をみてみましょう．

具体例１（値１，２，３のみをとる関数）

関数$f:[0,3]\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<3)\\1&(3\le x\le5)\end{cases}\end{align*}$

で定めると，$f$のとる値は１，２，３のみの有限個ですから単関数ですね．

具体例２（ディリクレ関数）

関数$f:\R\to\R$を

$\begin{align*}f(x)=\begin{cases}1&(x\in\Q)\\0&(x\in\R\setminus\Q)\end{cases}\end{align*}$

で定めると，$f$のとる値は０，１のみの有限個ですから単関数ですね．この関数はディリクレ関数（Dirichlet function）という名前がついています．

$\R$上で$\Q$も$\R\setminus\Q$も稠密ですから，このディリクレ関数$f$は極めて細かく０と１を行き交うグラフをもちますね．

単関数がルベーグ可測であるための必要十分条件

冒頭でも少し触れたように，ルベーグ積分は可測関数に対して定義されます．

そのため，単関数のルベーグ積分を考えるためには，単関数が可測関数であるための条件を知っておく必要があります．

可測集合$A$上の単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であるとき，次は同値である．

$f$は$A$上の可測関数
任意の$k\in\{1,2,\dots,n\}$に対して$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}\in\mathcal{L}$

要するに，単関数がとる全ての値$\alpha_k$に対して，集合$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}$が可測集合であることが必要十分条件なわけですね．

単関数$f$が可測関数であるとき，$f$を可測単関数と呼びます．

具体例１（値１，２，３のみをとる関数）

関数

$\begin{align*}f:[0,3]\to\R;x\mapsto\begin{cases}2&(0\le x<\frac{3}{2})\\3&(\frac{3}{2}\le x<3)\\1&(3\le x\le5)\end{cases}\end{align*}$

の値域は$\{1,2,3\}$です．

さらに，

$\begin{align*}&\set{x\in[0,3]}{f(x)=1}=[2,3], \\&\set{x\in[0,3]}{f(x)=2}=[0,\tfrac{3}{2}), \\&\set{x\in[0,3]}{f(x)=3}=[\tfrac{3}{2},2)\end{align*}$

であり，一般に区間は可測集合なので，これらはいずれも可測集合です．よって，この$f$は可測単関数ですね．

具体例２（ディリクレ関数）

ディリクレ関数

$\begin{align*}f:\R\to\R;x\mapsto\begin{cases}1&(x\in\Q)\\0&(x\in\R\setminus\Q)\end{cases}\end{align*}$

の値域は$\{0,1\}$です．

さらに，

$\begin{align*}&\set{x\in\R}{f(x)=0}=\R\setminus\Q, \\&\set{x\in\R}{f(x)=1}=\Q\end{align*}$

であり，

一般に可算集合は可測集合だから$\Q$は可測集合
$\R$は可測集合であり，一般に可測集合の差集合は可測集合だから$\R\setminus\Q$は可測集合

なので，ディリクレ関数$f$は可測単関数ですね．

単関数がルベーグ可測であるための必要十分条件の証明

（再掲）可測集合$A$上の単関数$f$の値域が$\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$であるとき，次は同値である．

$f$は$A$上の可測関数
任意の$k\in\{1,2,\dots,n\}$に対して$\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k}\in\mathcal{L}$

$(1)\Ra(2)$の証明

任意の$k\in\{1,2,\dots,n\}$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)=\alpha_k} =\set{x\in A}{\alpha_k\le f(x)\le\alpha_k}\end{align*}$

であり，前回の記事で示したようにこれは可測集合である．

$(2)\Ra(1)$の証明

$\alpha_1<\alpha_2<\dots<\alpha_n$としてよい．任意に$\alpha\in\R$をとる．

$\alpha\le\alpha_1$のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=A\in\mathcal{L}\end{align*}$
$\alpha_{k-1}<\alpha\le\alpha_{k}$ ($k=1,2,\dots,n$)のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha_{k}}\in\mathcal{L}\end{align*}$
$\alpha_n<\alpha$のときは
$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge\alpha}=\emptyset\in\mathcal{L}\end{align*}$