単関数近似定理｜ルベーグ可測関数fを単関数列{fₙ}で近似する

$n\in\N$に対して，$f_n:A\to\R_{\ge0}$を

\begin{align*}f(x)=\begin{cases}\frac{k}{2^n}&(\frac{k}{2^n}\le f(x)<\frac{k+1}{2^n};k=0,1,\dots,n2^n)\\n&(n\le f(x))\end{cases}\end{align*}

と定める．このとき，$f_n$がとる値は$0,\frac{1}{2^{n}},\frac{2}{2^{n}},\dots,n-\frac{1}{2^{n}},n$の有限個だから，$\{f_n\}$は単関数列である．

各$f_n$が可測であることの証明

任意の$k\in\{0,1,2,\dots,n\cdot2^n-1\}$に対して，$f$は可測関数だから

\begin{align*}\set{x\in A}{\frac{k}{2^{n}}\le f(x)<\frac{k+1}{2^{n}}}\end{align*}

は可測集合となり，上で示した補題より$f_n$は可測関数である．

関数列$\{f_n\}$が単調増加であることの証明

任意に$n\in\N$, $k\in\{0,1,\dots,n2^n-1\}$をとる．

$\frac{k}{2^n}\le f(x)<\frac{k+1}{2^n}$なる$x\in A$に対して，$f_n(x)=\frac{k}{2^n}$であることに注意しておく．

• $\frac{k}{2^n}\le f(x)<\frac{k+\frac{1}{2}}{2^n}$なる$x\in A$に対して，$\frac{2k}{2^{n+1}}\le f(x)<\frac{2k+1}{2^{n+1}}$だから
  \begin{align*}f_n(x)=\frac{k}{2^n}=\frac{2k}{2^{n+1}}=f_{n+1}(x)\end{align*}
• $\frac{k+\frac{1}{2}}{2^n}\le f(x)<\frac{k+1}{2^n}$なる$x\in A$に対して，$\frac{2k+1}{2^{n+1}}\le f(x)<\frac{2k+2}{2^{n+1}}$だから
  \begin{align*}f_n(x)=\frac{k}{2^n}\le\frac{2k+1}{2^{n+1}}=f_{n+1}(x)\end{align*}

だから，$0\le f_1\le f_2\le\dots$である．

関数列$\{f_n\}$が各点収束することの証明

$f(x)=\infty$なる$x\in A$においては，

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}n=\infty=f(x)\end{align*}

が成り立つ．また，$f(x)<\infty$なる$x\in A$においては，十分大きな$n\in\N$に対して

\begin{align*}0\le|f_n(x)-f(x)|\le\frac{1}{2^n}\bra{\xrightarrow[]{n\to\infty}0}\end{align*}

だから，$\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$が成り立つ．

$f$の正成分$f_{+}$と負成分$f_{-}$は非負値可測関数だから，それぞれに単関数近似定理を適用できる．すなわち，ある非負値単関数列$\{g_n\}$, $\{h_n\}$が存在して，

1. 任意の$n$に対して$g_n$, $h_n$は可測関数
2. 任意の$x\in A$に対して$0\le g_1(x)\le g_2(x)\le\dots$, $0\le h_1(x)\le h_2(x)\le\dots$
3. $\lim\limits_{n\to\infty}g_n=f_+$, $\lim\limits_{n\to\infty}h_n=f_-$

が成り立つ．

よって，$f_n:=g_n-h_n$とおけば，$\{f_n\}$が求める単関数列である．