ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分はルベーグ可測関数に対して定義されるため，ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です．この記事では，可測関数の線形結合・積・商・正成分・負成分・絶対値の可測性を証明します．

この記事では，ルベーグ積分を考えることのできる関数として「ルベーグ可測関数」を定義し，ルベーグ可測関数の具体例を紹介します．また，関数がルベーグ可測関数であるための必要十分条件をも説明します．

ルベーグ測度mの本質的に重要な４つの性質に，非負値性・平行移動不変性・完全加法性・区間の外測度があります．このうち，「完全加法族」が測度論的に本質的に重要で，この記事で証明しています．

ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例です．また，位相空間Ωの開集合について和集合，共通部分，補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といいます．

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．

外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが少し不都合があり，m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除することを考えます．この定義域を狭めてできる写像mを「ルベーグ測度」といいます．

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．

ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり，この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります．外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます．

多くの人は高校数学で初めて積分に出会い，大学の微分積分学でリーマン積分を学びます．しかし，専門的にはリーマン積分は少々扱いづらく，リーマン積分の欠点を大幅に改善したルベーグ積分があります．