ルベーグ積分の基本ルベーグ可測関数の定義と具体例｜必要十分条件も２つ紹介
この記事では，ルベーグ積分を考えることのできる関数として「ルベーグ可測関数」を定義し，ルベーグ可測関数の具体例を紹介します．また，関数がルベーグ可測関数であるための必要十分条件をも説明します．
解析学
ルベーグ積分の基本
微分方程式ピカール-リンデレフの定理｜常微分方程式の解の一意存在性
常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性に関する重要定理としてピカール-リンデレフの定理があります．この記事では，ピカール-リンデレフの定理がどのような定理かを説明し，この定理を証明します．
ルベーグ積分の基本ルベーグ測度の本質的に重要な４性質｜完全加法性などを証明
ルベーグ測度mの本質的に重要な４つの性質に，非負値性・平行移動不変性・完全加法性・区間の外測度があります．このうち，「完全加法族」が測度論的に本質的に重要で，この記事で証明しています．
ルベーグ積分の基本区間・開集合・閉集合のルベーグ可測性とボレル集合族の定義
ℝの区間・開集合・閉集合はルベーグ可測集合の重要な例です．また，位相空間Ωの開集合について和集合，共通部分，補集合を可算回とってできる集合全部からなる集合族をボレル集合族といいます．
関数空間ハーディの不等式｜ソボレフ空間の重み付き空間への埋め込み
ハーディの不等式はソボレフ空間の埋め込みを示す不等式で，偏微分方程式論などで空間の重みが付いた積分を評価する際に用いられ，通常のソボレフの不等式と同様に重要な不等式となっています．この記事ではハーディの不等式の証明まで行っています．
ルベーグ積分の基本ルベーグ可測集合族は完全加法族｜和集合・共通部分の可測性
ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．
ルベーグ積分の基本ルベーグ可測集合の定義と具体例｜ルベーグ測度の定義も紹介
外測度m*はほぼ「集合の長さを測る写像」と言えますが少し不都合があり，m*の定義域を少し狭めることで不都合を排除することを考えます．この定義域を狭めてできる写像mを「ルベーグ測度」といいます．
ルベーグ積分の基本ルベーグ外測度の５性質｜証明とルベーグ測度との違いも紹介
ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．
ルベーグ積分の基本外測度はルベーグ積分の第１歩！「集合の長さ」を測る方法
ルベーグ積分を考えるには「集合の長さ」が鍵となり，この「集合の長さ」を測るために重要なものとして外測度があります．外測度を用いれば有理数の集合ℚのようなまばらな集合にも「長さ」を考えることができます．
微分方程式シュレディンガー方程式の質量とエネルギー｜保存則の証明
偏微分方程式の解が保存量を持つことはよくあり，それら保存量は偏微分方程式の解析で重要な手がかりとなります．この記事では，非線形シュレディンガー方程式の解uの質量MとエネルギーEが保存されることを説明します．