線形代数学の基本

ℝⁿの部分空間Vの基底をなすベクトルの個数をVの次元といいます．この記事では$\R^n$の部分空間の次元の定義を説明し，具体例から次元の求め方を説明しています．また，基底をなすベクトルの個数が一定であることの証明もしています．

ベクトル空間がどのような元からできているかを考えるとき「基底」は重要な概念です．この記事では「線形独立性」「生成される部分空間」を準備し，具体例をもとに基底の考え方を説明します．

ℝⁿの和とスカラー倍について閉じている部分集合をℝⁿの「部分空間」と言い，直感的には原点を通り真っ直ぐに伸びた空間ということができます．この記事では部分空間を具体例とともに説明しています．

正方行列Aが正則行列であるかどうかは，Aの行列式|A|が０であるか否かで判定することができます．このことは「余因子展開」を用いることでこのことを証明することができ，さらに正則行列Aの逆行列A⁻¹の形も知ることができます．

行列式|A|は正方行列Aの正則性(逆行列の存在)を判定できるもので，線形代数学のいたるところに現れます．この記事では，行列式|A|の定義と性質をまとめ，連立1次方程式の解を行列式|A|を用いて表すクラメールの公式を導きます．

正方行列Aの行列式|A|は，|A|=0であるか否かを見ることでAの正則性を判定できる便利なものです．行列式は置換を用いて定義されることが多く，この記事でも置換の符号を定義して行列式の定義と具体例を説明しています．

正方行列Aの行列式|A|が０かどうかで，Aの正則性を判定することができます．行列式|A|を定義するには置換を用いる方法が一般的です．この記事では，行列式を定義するための置換の定義と性質を説明します．

「行列式」は正方行列の正則性を判定するために便利ですが，定義するには「置換」を準備することが多く抽象的に思えてしまいがちです．そこで，この記事では行列式の図形的な意味を解説します．

行列のランクは基本変形によって求めるのが基本ですが，ベクトルの「線形独立性」をもとにしても同じ物を考えることができます．この記事では，列ベクトルの線形独立性を例題から説明し，ランクとの関係を説明します．

中学校以来よく扱ってきた連立１次方程式は線形代数学と密接に関わっており，実際に線形代数学の基礎を理解する上で連立１次方程式は非常に重要です．この記事では連立１次方程式が解をもつ条件と解の自由度を考えます．