行列式のイメージ｜行列の正則性を判定する行列式の考え方

これまでの記事で正方行列$A=[\m{a}_1,\dots,\m{a}_n]$ ($\m{a}_1,\dots,\m{a}_n\in\R^n$)が正則行列であるための必要十分条件として

連立１次方程式$A\m{x}=\m{0}$が自明解$\m{x}=\m{0}$のみ
$A$のランクについて$\rank{A}=n$
$\m{a}_1,\dots,\m{a}_n$が線形独立

などを考えてきました．

このように線形代数学の様々な概念と繋がっている正方行列の正則性はとても重要です．

そこでこの記事から正方行列の正則性を判定するために便利な行列式を解説していきます．

そこで，この記事では

２次正方行列の行列式の定義とイメージ
３次以上の正方行列の行列式のイメージ

を順に説明します．

なお，この記事では特に断らない限り実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

固有値と固有ベクトル

線形代数学の参考文献
1. 大学教養線形代数（加藤文元著）
2. 手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）
２次正方行列の行列式
３次以上の正方行列の行列式

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です．

大学教養線形代数（加藤文元著）

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です．平易な具体例から丁寧に説明されているので，初学者にも読み進めやすい教科書です．

手を動かしてまなぶ線形代数（藤岡敦著）

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です．

２次正方行列の行列式

最初に２次正方行列の行列式のイメージを説明しますが，そのためにいくつか準備をしておきましょう．

準備

前回の記事で定義した線形独立性について，次が成り立ちます．

$\m{0}$でない$\m{a},\m{b}\in\R^{n}$に対して，次は同値である．

$\m{a}$と$\m{b}$は平行である
$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属である

$\m{a},\m{b}$のうちどちらかが$\m{0}$のときは$\m{a},\m{b}$の平行性は定義されません．

[$(1)\Ra(2)$の証明] $\m{a}$と$\m{b}$が平行なら，$\m{a}=k\m{b}$なる$k\in\R$が存在する．

よって，$\m{a}-k\m{b}=\m{0}$となって$\m{a}$と$\m{b}$に非自明な線形関係が存在するから$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属である．

[$(2)\Ra(1)$の証明] $\m{a}$と$\m{b}$が線形従属なら，非自明な線形関係$k\m{a}+\ell\m{b}=\m{0}$が存在する．

また，このとき$k=0$なら$\m{b}\neq\m{0}$と併せて$\ell=0$となるから$k\m{a}+\ell\m{b}=\m{0}$が非自明な線形関係であることに矛盾する．よって，$k\neq0$である．

よって，$k\m{a}+\ell\m{b}=\m{0}$の両辺を$k$で割って整理すると$\m{a}=-\frac{\ell}{k}\m{b}$となるから$\m{a}$と$\m{b}$は平行である．

この命題の対偶を考えると，次の系が従いますね．

$\m{0}$でない$\m{a},\m{b}\in\R^{n}$に対して次は同値である．

$\m{a}$と$\m{b}$は平行でない
$\m{a}$と$\m{b}$は線形独立である

線形独立性を大雑把に言えば「全てのベクトルが完全にバラバラな向きを向いていること」でしたから，このイメージとも一致させておいてください．

また，次の命題も当たり前にしておいてください．

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r\in\R^{n}$のうちどれか１つでも$\m{0}$なら$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$は線形従属である．

$\m{a}_k=\m{0}$なら，例えば

$\begin{align*}0\m{a}_1+\dots+0\m{a}_{k-1}+1\m{a}_{k}+0\m{a}_{k+1}+\dots+0\m{a}_{r}\end{align*}$

が成り立つ．よって，$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$の非自明な線形関係が存在するから$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$は線形独立でない．

２次正方行列の行列式とイメージ

$\m{a}=\bmat{a_{1}\\a_{2}},\m{b}=\bmat{b_{1}\\b_{2}}\in\R^{2}$が線形独立であるとします．

このとき，$\m{a},\m{b}\neq\m{0}$であり，上の系から$\m{a}$と$\m{b}$は平行ではありませんから，$\m{a}$と$\m{b}$によって張られる平行四辺形の面積は０ではありません．

この平行四辺形の面積は高校数学で学ぶように$|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$ですから，$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\neq0$が成り立ちます．

逆に$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$なら

$\m{a}=\m{0}$または$\m{b}=\m{0}$
$\m{a},\m{b}$が平行

のどちらかが成り立ちますから，$\m{a}$と$\m{b}$は線形従属となります．

このことを念頭に置き，以下のように２次正方行列の行列式を定義しましょう．

２次正方行列$A=\bmat{a&b\\c&d}$に対し，$ad-bc$を$A$の行列式 (determinant)といい，$|A|$や$\det{A}$などと表す．

一般に$\m{a},\m{b}\in\R^2$が線形独立であることと，２次正方行列$[\m{a},\m{b}]$が正則であることは同値でしたから，上で考えたことと併せて以下が成り立ちますね．

２次正方行列$A$に対して，以下は同値である．

$A$は正則行列である．
$|A|\neq0$が成り立つ．

具体例

２次正方行列$A,B,C$を

$\begin{align*}A:=\bmat{1&2\\3&4},\quad B:=\bmat{1&1\\2&2},\quad C:=\bmat{0&-2\\3&\pi}\end{align*}$

と定める．このとき，それぞれ行列式を求め，正則性を判定せよ．

行列式の定義より

$\begin{align*}&|A|=1\cdot4-2\cdot3=-2, \\&|B|=1\cdot2-1\cdot2=0, \\&|C|=0\cdot\pi-(-2)\cdot3=6\end{align*}$

なので，$A$, $C$は正則，$B$は正則でない．

３次以上の正方行列の行列式

２次正方行列の場合と同様に，３次正方行列$A=[\m{a},\m{b},\m{c}]$に対しては，$\m{a},\m{b},\m{c}$が張る平行六面体の体積に相当するものを$|A|$と定めれば

$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が線形独立でない
$|A|=0$

が同値であることがみてとれますね．

つまり，$\m{a}$, $\m{b}$, $\m{c}$が同一平面上にあれば平行六面体は「潰れて」体積が０となりますし，この逆も成り立ちます．

一般に，$A=[\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}]\in\Mat_{n}(\R)$に対しては，$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が張る「平行立体の$n$次元体積」に相当するものを$|A|$と定めれば，$\m{a}_{1},\dots,\m{a}_{n}$が線形独立でないことと$|A|=0$は同値となります．

しかし，４次元以上では体積を用いて行列式を定義するのは少し難しそうですね．

そこで，一般の$n$次正方行列に対しては置換を用いて行列式を定義することが多いです．一般の正方行列の行列式を定義するために，次の記事では置換について解説します．