線形代数15|基底の定義・考え方を具体例から丁寧に解説!

線形代数学の基本
線形代数学の基本

例えば,$\bmat{2\\-3}\in\R^2$は

   \begin{align*}\bmat{2\\-1}=2\bmat{1\\0}+(-3)\bmat{0\\1}\end{align*}

と2つのベクトル$\bmat{1\\0}$と$\bmat{0\\1}$の線形結合(スカラー倍と和)で表すことができ,このときの係数は$2,-3$とする以外にありえませんね.

このことは$\bmat{2\\-3}$でなくても,任意の$\bmat{a\\b}\in\R^2$に対しても成り立ちます.つまり,

  • $\bmat{a\\b}$は$\bmat{1\\0}$と$\bmat{0\\1}$の線形結合で表せる
  • その線形結合の表し方は$\bmat{a\\b}=a\bmat{1\\0}+b\bmat{0\\1}$しかない

という2つの性質が成り立ちます.

これら2つの性質を満たすベクトルの組を$\R^2$の基底といい,より一般に$\R^n$の部分空間に対しても基底が定義されます.

この記事では

  • 生成される部分空間
  • 線形独立なベクトルの性質
  • 部分空間の基底の定義と具体例

を順に説明します.

なお,特に断らない限り以下では実行列・実ベクトルを扱うことにしますが,複素行列など一般のを成分とする行列・ベクトルに対しても同様です.

また,この記事の内容は一般の線形空間でも同様に成り立ちますが,簡単のためここでは$\R^n$の部分空間に限って話を進めます.

線形代数学の参考文献

以下は線形代数学に関するオススメの教科書です.

大学教養 線形代数(加藤文元 著)

数学科など理論系の学生向けの線形代数の入門書です.平易な具体例から丁寧に説明されているので,初学者にも読み進めやすい教科書です.

手を動かしてまなぶ 線形代数(藤岡敦 著)

理論と演習のバランスをとりながら勉強したい人にオススメの入門書です.

線形独立性

まずはベクトルの線形独立性を復習し,基底のイメージを理解するのに必要な性質を説明します.

線形独立性の定義

以前の記事で線形独立性について説明しましたが,ここでも確認しておきましょう.

$\m{a},\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^{n}$に対して,

   \begin{align*}\m{a}=x_1\m{a}_1+x_2\m{a}_2+\dots+x_r\m{a}_r\end{align*}

が成り立つとき,$\m{a}$は$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$の線形結合で表せるという.

さて,零ベクトル$\m{0}$はどんなベクトルたち$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^{n}$に対しても,

   \begin{align*}\m{0}=0\m{a}_1+0\m{a}_2+\dots,+0\m{a}_r\end{align*}

と線形結合で表すことができます.

これをふまえて線形独立性が定義されるのでした.

$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^{n}$が自明な線形関係のみもつとき,すなわち

   \begin{align*}x_1\m{a}_1+x_2\m{a}_2+\dots+x_r\m{a}_r=\m{0}\end{align*}

を満たす$x_1,x_2,\dots,x_r$が$x_1=x_2=\dots=x_r=0$に限るとき,$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$は線形独立 (linearly independent)であるという.

一方,$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$が線形独立でないとき,$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$は線形従属 (linearly dependent)であるという.

線形結合と線形独立性について詳しくは以下の以前の記事を参照してください.

線形代数8|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係
ランク(階数)は基本変形によって定義するのが普通ですが,ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても同じ物を考えることができます.この記事では,線形代数学全体において頻繁に現れる線形独立性をイメージから説明し,ランクとの関係を説明します.

線形独立性の性質

この記事のメインテーマの基底を説明するために,線形独立性に関する次の性質を理解しておきましょう.

$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^n$が線形独立であるとする.このとき,$\m{a}\in\R^n$が

  • $\m{a}=c_1\m{a}_1+c_2\m{a}_2+\dots+c_r\m{a}_r$
  • $\m{a}=d_1\m{a}_1+d_2\m{a}_2+\dots+d_r\m{a}_r$

と2通りに表されたとすると,$c_1=d_1,c_2=d_2,\dots,c_r=d_r$が成り立つ.

仮定より

   \begin{align*}&c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r=d_1\m{a}_1+\dots+d_r\m{a}_r \\\iff&(c_1-d_1)\m{a}_1+(c_2-d_2)\m{a}_2+\dots+(c_r-d_r)\m{a}_r=\m{0}\end{align*}

である.いま$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$は線形独立だから,

   \begin{align*}c_1-d_1=c_2-d_2=\dots=c_r-d_r=0\end{align*}

なので,$c_1=d_1,c_2=d_2,\dots,c_r=d_r$が成り立つ.

言い換えれば,$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^n$が線形独立で,

   \begin{align*}c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r=d_1\m{a}_1+\dots+d_r\m{a}_r\end{align*}

が成り立てば,$c_1=d_1,c_2=d_2,\dots,c_r=d_r$が成り立つということでもありますね.

上の定理は高校数学で学ぶ次の定理を思い出せば理解しやすいでしょう.

(高校数学)$\ve{0}$でない2つの平面上のベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$が平行でないとき,

   \begin{align*}c_1\ve{a}+c_2\ve{b}=d_1\ve{a}+d_2\ve{b}\end{align*}

が成り立てば,$c_1=d_1,c_2=d_2$が成り立つ.

平面ベクトルでは2つの平面上のベクトル$\ve{a}$, $\ve{b}$に対して,

  • $\ve{a}$, $\ve{b}$がともに$\ve{0}$でなく平行でない
  • $\ve{a}$, $\ve{b}$が線形独立

が同値なので,この定理が成り立つわけですね.

生成される部分空間

基底の定義を理解するには,上で説明した線形独立性と生成される部分空間が重要です.

生成される部分空間

生成される部分空間を定義するために,まずは次の補題を示しておきましょう.

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r\in\R^n$とする.このとき,部分集合

   \begin{align*}V=\set{c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r}{c_1,\dots,c_r\in\R}\end{align*}

は$\R^n$の部分空間である.

$V$が$\R^n$の部分集合で空でないことは明らか.任意に$k\in\R$と$\m{a},\m{b}\in V$をとる.このとき,$c_p,d_p\in\R$ ($p=1,\dots,r$)を用いて

   \begin{align*}\m{a}=c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r,\quad \m{b}=d_1\m{a}_1+\dots+d_r\m{a}_r\end{align*}

と表せるから,

   \begin{align*}\m{a}+\m{b} =&(c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r)+(d_1\m{a}_1+\dots+d_r\m{a}_r) \\=&(c_1+d_1)\m{a}_1+\dots+(c_r+d_r)\m{a}_r\in V, \\k\m{a} =&k(c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r) \\=&(kc_1)\m{a}_1+\dots+(kc_r)\m{a}_r)\in V\end{align*}

となる.よって,$V$は和とスカラー倍に閉じているから$\R^n$の部分空間である.

この部分空間は重要な部分空間で次のように呼ばれます.

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r\in\R^n$とする.このとき,$\R^n$の部分空間

   \begin{align*}V=\set{c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r}{c_1,\dots,c_r\in\R}\end{align*}

は$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$によって張られる部分空間 (span)または生成される部分空間 (generated space)といい,$\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r)}$などと表す.

言い換えれば,$\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r)}$は$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$の線形結合で表されるベクトル全部からなる部分空間ということができますね.

生成される部分空間の具体例

生成される部分空間をいくつか具体的に考えてみましょう.

例1

$\R^2$において$V=\spn{\bra{\bmat{2\\1}}}$とおくと,

   \begin{align*}V=\set{t\bmat{2\\1}}{t\in\R}\end{align*}

なので,$\bmat{2\\1}$を伸び縮みさせてできる$2$次列ベクトル全部の集合が$V$ですね.

つまり,$\R^2$を$xy$空間とするとき,$V$は直線$y=\frac{1}{2}x$を表しますね.

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例2

$\R^2$において$V=\spn{\bra{\bmat{1\\0},\bmat{0\\1}}}$とおくと,

   \begin{align*}V=\set{s\bmat{1\\0}+t\bmat{0\\1}}{s,t\in\R} =\set{\bmat{s\\t}}{s,t\in\R}\end{align*}

なので,第1成分,第2成分が任意に動く2次列ベクトルの集合が$V$ですね.

これは$\R^2$全体に他なりませんから,$V=\R^2$と分かりますね.

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例3

$\m{e}_1=\bmat{1\\0\\0}$, $\m{e}_2=\bmat{0\\1\\0}$で$\m{e}_1,\m{e}_2\in\R^3$を定めます.

このとき,$V=\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$とおくと,

   \begin{align*}V=\set{s\m{e}_1+t\m{e}_2}{s,t\in\R}=\set{\bmat{s\\t\\0}}{s,t\in\R}\end{align*}

なので,第1成分,第2成分が任意に動く3次列ベクトルの集合が$V$ですね.

つまり,$\R^3$を$xyz$空間とするとき,$V$は$xy$平面を表しますね.

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基底

それではこの記事のテーマの基底について,定義と具体例を説明します.

基底の定義

$\R^n$の部分空間$V$に対して,$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r\in V$が

  • $V=\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r)}$
  • $\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$が線形独立

を満たすとき,組$\anb{\m{a}_1,\dots,\m{a}_r}$を$V$の基底という.ただし,自明な部分空間$\{\m{0}_n\}$は基底をもたないとする.

つまり,

  • $V$の全てのベクトルが$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r$の線形結合で表せる
  • その線形結合での表し方が一意である

の2つが成り立つときに,組$\anb{\m{a}_1,\dots,\m{a}_r}$を$V$の基底というわけですね.

基底は「組」なので順番が変わると異なる基底とみなします.例えば,$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2}$が基底なら$\anb{\m{a}_2,\m{a}_1}$も基底ですが,これらは異なる基底とみなします.

しかし,しばらくは基底の順番を気にしなくても問題ありません.

基底の具体例

基底をいくつか具体的に考えてみましょう.

例1

$\m{e}_1,\m{e}_2\in\R^2$を

   \begin{align*}\m{e}_1:=\bmat{1\\0},\quad \m{e}_2:=\bmat{0\\1}\end{align*}

とすると,ベクトルの組$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2}$が$\R^2$の基底であることを示せ.

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[1] $\m{e}_1,\m{e}_2$が線形独立であることを示す.

   \begin{align*}\rank{[\m{e}_1,\m{e}_2]} =\rank{\bmat{1&0\\0&1}} =2\end{align*}

だから,$\m{e}_1,\m{e}_2$は線形独立である.

[2] $\R^2=\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$を示す(集合の等号なので$\supset$と$\subset$を示せばよい).

$\m{e}_1,\m{e}_2\in\R^2$より$\m{e}_1,\m{e}_2$の線形結合はすべて$\R^2$に属するから$\R^2\supset\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$である.

また,任意の$\m{a}=\bmat{a\\b}\in\R^2$は

   \begin{align*}\m{a}=a\m{e}_1+b\m{e}_2\end{align*}

と表せるので,$\m{a}\in\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$だから$\R^2\subset\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$である.

したがって,$\R^2=\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2)}$を得る.

[1], [2]より$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3}$は$\R^3$の基底である.

 一般に$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r\in\R^n$が$\rank{[\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r]}=r$を満たせば$\m{a}_1,\m{a}_2,\dots,\m{a}_r$は線形独立なのでした.

これについて詳しくは以下の記事を参照してください.

線形代数8|線形独立のイメージと線形独立性とランクの関係
ランク(階数)は基本変形によって定義するのが普通ですが,ベクトルの線形独立という考え方をもとにしても同じ物を考えることができます.この記事では,線形代数学全体において頻繁に現れる線形独立性をイメージから説明し,ランクとの関係を説明します.

例2

$\m{a}\in\R^2$を

   \begin{align*}\m{a}:=\bmat{2\\1}\end{align*}

とすると,ベクトルの組$\anb{\m{a}}$が$V=\spn{(\m{a})}$の基底であることを示せ.

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$\anb{\m{a}}$を1個のベクトルで「組」というのは最初は気持ち悪いかもしれませんが,2個以上の場合と統一して1個のベクトルでも「組」ということにするのが普通です.

$V=\spn{(\m{a})}$は問題で与えられている.

また,1個のベクトルは必ず線形独立だったから, $\m{a}$は線形独立である.

よって,$\anb{\m{a}}$は$V$の基底である.

例3

$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3\in\R^3$を

   \begin{align*}\m{e}_1:=\bmat{1\\0\\0},\quad \m{e}_2:=\bmat{0\\1\\0},\quad \m{e}_3:=\bmat{0\\0\\1}\end{align*}

とすると,ベクトルの組$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3}$が$\R^3$の基底であることを示せ.

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[1] $\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3$が線形独立であることを示す.

   \begin{align*}\rank{[\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3]} =\rank{\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} =3\end{align*}

だから,$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3$は線形独立である.

[2] $\R^3=\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)}$を示す($\supset$と$\subset$を示せばよい).

$\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3\in\R^3$より$\R^3\supset\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)}$である.

また,任意の$\m{a}\in\R^3$は

   \begin{align*}\m{a}=a\m{e}_1+b\m{e}_2+c\m{e}_3\end{align*}

なので,$\m{a}\in\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)}$だから$\R^3\subset\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)}$である.

したがって,$\R^3=\spn{(\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3)}$を得る.

[1], [2]より$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3}$は$\R^3$の基底である.

例1と例3のように,$\m{e}_k\in\R^n$を

  • 第$k$成分が$1$
  • 第$k$成分以外が全て$0$

のベクトルとすると,$\anb{\m{e}_1,\dots,\m{e}_n}$は$\R^n$の基底となります.この基底を$\R^n$の標準基底といいます.

例4

$\m{a}_1,\m{a}_2\in\R^3$を

   \begin{align*}\m{a}_1:=\bmat{1\\2\\3},\quad \m{a}_2:=\bmat{-2\\0\\1}\end{align*}

とすると,ベクトルの組$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2}$が$V=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2)}$の基底であることを示せ.

$V=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2)}$は問題で与えられているから,あとは$\m{a}_1,\m{a}_2$の線形独立性を示せばよい.

行基本変形により行列のランクは変化しないから,

   \begin{align*}\rank{[\m{a}_1,\m{a}_2]} =\rank{\bmat{1&-2\\2&0\\3&1}} =\rank{\bmat{1&-2\\0&4\\0&7}} =\rank{\bmat{1&0\\0&1\\0&0}} =2\end{align*}

だから,$\m{a}_1,\m{a}_2$は線形独立である.よって,$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2}$は$V$の基底である.

例5

$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3\in\R^3$を

   \begin{align*}\m{a}_1:=\bmat{1\\1\\1},\quad \m{a}_2:=\bmat{-2\\-2\\1},\quad \m{a}_3:=\bmat{0\\1\\-1}\end{align*}

とすると,ベクトルの組$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3}$が$\R^3$の基底であることを示せ.

[1] $\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3$が線形独立であることを示す.

行基本変形により行列のランクは変化しないから,

   \begin{align*}&\rank{[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3]} =\rank{\bmat{1&-2&0\\1&-2&1\\1&1&-1}} \\=&\rank{\bmat{1&-2&0\\0&0&1\\0&3&-1}} =\rank{\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}} =3\end{align*}

だから,$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3$は線形独立である.

[2] $\R^3=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$を示す($\supset$と$\subset$を示せばよい).

$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3\in\R^3$より$\R^3\supset\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$である.

また,任意の$\m{a}\in\R^3$に対して,連立1次方程式

   \begin{align*}&x\m{a}_1+y\m{a}_2+z\m{a}_3=\m{a} \\\iff&[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3]\m{x}=\m{a}\end{align*}

を考える.ただし,$\m{x}=\bmat{x\\y\\z}$である.

このとき,[1]より$\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3$は線形独立だったから$[\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3]$は正則なので解$\m{x}$が存在する.よって,$\m{a}\in\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$なので,$\R^3\subset\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$である.

したがって,$\R^3=\spn{(\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3)}$を得る.

[1], [2]より$\anb{\m{a}_1,\m{a}_2,\m{a}_3}$は$\R^3$の基底である.

例3のベクトルの組$\anb{\m{e}_1,\m{e}_2,\m{e}_3}$も$\R^3$の基底でした.

このように,同じ空間であっても全く別のベクトルからなる基底が存在することが分かりますね.

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