フロベニウスの定理を例題から解説｜正方行列と多項式と固有値

多項式$f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$と正方行列$A$に対して，

$\begin{align*}f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I\end{align*}$

とするとき，$f(A)$は正方行列となりますね（$I$は単位行列）．

フロベニウス(Frobenius)の定理は

行列$A$の固有値
行列$f(A)$の固有値

の関係を述べた定理で，$f(A)$の固有値を求めるのにとても便利です．

なお，この記事で扱うフロべニウスの定理はペロン-フロベニウス(Perron-Frobenius)の定理とは別の定理です．

フロべニウスの定理
1. 具体例１
2. 具体例２
フロべニウスの定理の証明
参考文献
1. 手を動かしてまなぶ線形代数
2. 線型代数入門

フロべニウスの定理

フロべニウスの定理は以下の通りです．

[フロべニウスの定理] $f(x)$を多項式，$A$を$n$次正方行列とする．$A$の固有値を重複を許して$\lambda_1,\dots,\lambda_n$とすると，$f(A)$の固有値は重複を許して$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$である．

ただし，$f(A)$の固有値の重複度は$A$の固有値の重複度が保たれる．

具体例を考えましょう．

具体例１

多項式$f(x)=2x-1$と２次正方行列$A=\bmat{1&2\\2&1}$に対して，$f(A)$の固有値と重複度を求めよ．

フロベニウスの定理から$A$の固有値を求め，それを$f(x)$に代入したものが$f(A)$の固有値ですね．

正方行列$A$の固有値は$A$の固有方程式を解くことで得られることを思い出しておきましょう．

$A$の固有多項式は

$\begin{align*}|xI-A| =&\vmat{x-1&-2\\-2&x-1} \\=&(x-1)^2-(-2)^2 \\=&(x+1)(x-3)\end{align*}$

となるので，$A$の固有方程式$|Ax-I|=0$の解は$x=3,-1$である．

よって，$A$固有値は$3$, $-1$でともに重複度は$1$なので，フロべニウスの定理から$f(A)$の固有値は$f(3)$, $f(-1)$である．

$f(3)=5$, $f(-1)=-3$なので，$f(A)$の固有値は$5$, $-3$でともに重複度は$1$である．

具体例２

次の問題ではフロべニウスの定理の重複度の保存について注意が必要です．

多項式$f(x)=x^2-2x+1$と２次正方行列$A=\bmat{1&2\\2&1}$に対して，$f(A)$の固有値と重複度を求めよ．

例１から$A$の固有値は$3$, $-1$でそれぞれ重複度は$1$である．

よって，フロべニウスの定理から$f(A)$の固有値は$f(3)$, $f(-1)$である．

いま$f(3)=4$, $f(-1)=4$とこれらは等しいから，$f(A)$の固有値は$4$のみで重複度は$2$である．

この例のように，一般に$A$の異なる全ての固有値を$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ $(k\le n)$としても，$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)$がすべて異なるとは限らず，このときは同じものは重複度が足し合わされることに注意してください．

フロべニウスの定理の証明

最初に行列が相似であることの定義を確認しておきます．

行列$A$と$B$が相似であるとは，ある正則行列$P$が存在して$P^{-1}AP=B$を満たすことをいう．

フロべニウスの定理の証明のキーとなる事実は次の[定理１]，[定理２]です．

[定理１] 任意の正方行列$A$は上三角行列と相似である．すなわち，ある正則行列$P$が存在して，

$\begin{align*}P^{-1}AP=\bmat{*&*&\dots&*\\0&*&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&*\\0&\dots&0&*}\end{align*}$

となる．

任意の複素正方行列がJordan標準形と相似であることを考えれば，この[定理１]が正しいことが分かります．

そこまで大きな事実を用いなくても基本変形が基本行列をかけることで引き起こせることから地道に示すこともできます．

[定理２] 行列$A$と$B$が相似なら，$A$の固有値と$B$の固有値は重複度も込めて等しい．

つまり，相似な行列同士では固有値が重複度も込めて保存するというわけですね．

それでは[定理１]，[定理２]を認めてフロべニウスの定理の証明をしましょう．

$I$を$n$次単位行列とし，

$\begin{align*}f(x):=a_mx^m+\dots+a_1x+a_0\end{align*}$

とする．[定理１]よりある$n$次正則行列$P$が存在して，$P^{-1}AP$は上三角行列となる．

このとき，$B:=P^{-1}AP$とおくと，$B^1,B^2,\dots,B^m$も上三角行列だから，$f(B)$も上三角行列である．

また，[定理２]より$A$の固有値と$B$の固有値は重複度も込めて等しいので，$B$の固有値は$\lambda_1,\dots,\lambda_n$である．

よって，$B$の対角成分は$\lambda_1,\dots,\lambda_n$だから，$B^i$の対角成分は

$\begin{align*}{\lambda_1}^i,\dots,{\lambda_n}^i\end{align*}$

である($i=1,\dots,m$)．

これより$f(B)=a_mB^m+\dots+a_1B+a_0I$の対角成分は$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$なので，$f(B)$も上三角行列であることに注意すると，$f(B)$の固有値は

$\begin{align*}f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\end{align*}$

である．いま

$\begin{align*}P^{-1}A^iP=(P^{-1}AP)^i=B^i\quad(i=1,\dots,m)\end{align*}$

だから，

$\begin{align*}&P^{-1}f(A)P \\&=P^{-1}\left(a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\dots+a_0I\right)P \\&=a_m\left(P^{-1}A^mP\right)+a_{m-1}\left(P^{-1}A^{m-1}P\right)+\dots+a_0\left(P^{-1}IP\right) \\&=a_m{B^m}+a_{m-1}{B^{m-1}}+\dots+a_0{I}=f(B)\end{align*}$