フロベニウスの定理｜行列と多項式と固有値

多項式$f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$と行列$A$に対して，

$\begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}$

とするとき，$f(A)$は$f$に$A$を代入してできる行列となります．ただし，$I$は単位行列です．

[Frobenius(フロベニウス)の定理]は行列$A$の固有値と行列$f(A)$の固有値の関係を述べた定理で，$f(A)$の固有値を求めるのに便利です．

なお，この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で，[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照してください．

【ペロン・フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値】

[Perron-Frobeniusの定理]は「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し，この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」という内容の定理で，応用範囲は非常に広く工学系や経済系の分野で用いられる．

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1 Frobeniusの定理の主張
2 Frobeniusの定理の証明
3 参考文献

Frobeniusの定理の主張

[Frobeniusの定理]は以下の通りです．

[Frobeniusの定理]　$f(x)$を多項式，$A$を$n$次正方行列とする．$A$の固有値を重複を許して$\lambda_1,\dots,\lambda_n$とすると，$f(A)$の固有値は重複を許して$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$である．

[Frobeniusの定理]の重複度の保存について，少し解説をしておきます．

$A$の異なる全ての固有値を$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ $(k\le n)$とし，それぞれの重複度を$n_1,\dots,n_k$とするわけですが，$f$によっては$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)$がすべて異なるとは限りません．

たとえば，$f(\lambda_1)=f(\lambda_2)$で他に等しい$f(\lambda_i)$がなければ，この固有値の重複度は$n_1+n_2$となります．

同様に等しい固有値を全てまとめれば，重複度もそれに対応して定まるわけですね．

したがって，[Frobeniusの定理]により，正方行列$f(A)$の全ての固有値とそれぞれの重複度は

正方行列$A$の全ての固有値
それぞれの重複度

が分かれば直ちに得られる．

Frobeniusの定理の証明

最初に行列が相似であることの定義を確認しておきます．

行列$A$と$B$が相似であるとは，ある正則行列Pが存在して$P^{-1}AP=B$を満たすことをいう．

Frobeniusの定理の証明のキーとなる事実は次の[定理１]，[定理２]です．

[定理１]　任意の正方行列$A$は上三角行列と相似である．

任意の行列がJordan分解可能であるを考えれば，この[定理１]が正しいことが分かります．

また，そこまで大きな事実を用いなくても$P$が基本変形を施す行列の場合を考えれば，地道に示すこともできますね．

[定理２]　行列$A$と$B$が相似なら，$A$の固有値と$B$の固有値は重複度も込めて等しい．

つまり，相似な行列同士では固有値が重複度も込めて保存するというわけですね．

それでは，[定理１]，[定理２]を認めて[Frobeniusの定理]の証明をしましょう．

$I$を$n$次単位行列とし，$f(x):=a_mx^m+\dots+a_1x+a_0$とする．

[定理１]よりある$n$次正則行列$P$が存在して，$P^{-1}AP$は上三角行列となる．

このとき，$B:=P^{-1}AP$とおくと，$B^1,B^2,\dots,B^m$も上三角行列だから，$f(B)$も上三角行列である．

また，[定理２]より$A$の固有値と$B$の固有値は重複度も込めて等しいので，$B$の固有値は$\lambda_1,\dots,\lambda_n$である．

よって，$B$の対角成分の集合は

$\begin{align*} \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} \end{align*}$

だから，$B^i$ $(i=1,\dots,m)$の対角成分は

$\begin{align*} {\lambda_1}^i,\dots,{\lambda_n}^i \end{align*}$

である．よって，$f(B)=a_mB^m+\dots+a_1B+a_0I$の対角成分は

$\begin{align*} \{f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\} \end{align*}$

である．したがって，$f(B)$の固有値は

$\begin{align*} f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n) \end{align*}$

である．$P^{-1}A^iP=(P^{-1}AP)^i=B^i$ $(i=1,\dots,m)$だから，

$\begin{align*} P^{-1}f(A)P =&P^{-1}\left(a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\dots+a_0I\right)P \\=&a_m\left(P^{-1}A^mP\right)+a_{m-1}\left(P^{-1}A^{m-1}P\right)+\dots+a_0\left(P^{-1}IP\right) \\=&a_m{B^m}+a_{m-1}{B^{m-1}}+\dots+a_0{I} \\=&f(B) \end{align*}$

である．すなわち，$f(A)$と$f(B)$は相似である．

よって，$f(A)$の固有値は$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)$である．

証明の過程から，$A$の固有値$\lambda_1,\dots,\lambda_n$の中に等しいものがあっても，それぞれは$f(A)$の固有値$f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$に対応することも分かる．

参考文献

線型代数入門 (齋藤正彦著，東京大学出版会)

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書です．

本書が発行されて以来，多くの教科書が本書を真似て書かれてきたといっても過言ではないほど，日本の線形代数の指導方針にインパクトを与えた名著です．

「線型代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく「線形代数を理解するための教科書」のため，論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴です．

内容のレベルも理論系(特に数学系)の学部生であれば，確実に理解しておきたいところです．

なお，著者の齋藤正彦氏は本書で日本数学会出版賞を受賞しています．

【書評｜線型代数入門(齋藤正彦著，東京大学出版会)】

本書の良い点や気になる点，オススメの使い方などをレビューしています．これから理論系として数学を扱う人は，是非とも持っておきたい１冊です．

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