フロベニウスの定理｜行列と多項式と固有値

多項式 $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ と行列 $A$ に対して，

$\begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}$

とするとき， $f(A)$ は $f$ に $A$ を代入した行列という．ただし， $I$ は単位行列である．

Frobenius(フロベニウス)の定理は，行列 $A$ の固有値と，多項式 $f(x)$ に行列 $A$ を代入した行列 $f(A)$ の関係を述べた定理で， $f(A)$ の固有値を求めるのに非常に有用である．

なお，この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で，[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照されたい．

【参考記事：ペロン-フロベニウスの定理】

[Perron-Frobeniusの定理]は「正値正方行列には最大実固有値が唯一存在し，この固有値に属する固有ベクトルは正値ベクトルである」という内容の定理で，応用範囲は非常に広く工学系や経済系の分野で用いられる．

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1 Frobeniusの定理の主張
2 Frobeniusの定理の証明
3 参考文献

Frobeniusの定理の主張

Frobeniusの定理の主張は以下の通り．

[Frobeniusの定理]　 $f(x)$ を多項式， $A$ を $n$ 次正方行列とする． $A$ の固有値を重複を許して $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ とすると， $f(A)$ の固有値は重複を許して $f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$ である．

定理の重複度の保存について，少し解説をしておく．

$A$ の異なる全ての固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ $(k\le n)$ とし，それぞれの重複度を $n_1,\dots,n_k$ とする．このとき， $f$ によっては $f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)$ がすべて異なるとは限らない．

たとえば， $f(\lambda_1)=f(\lambda_2)$ であれば，この固有値の重複度は $n_1+n_2$ となる．

同様に等しい固有値を全てまとめれば，重複度もそれに対応して定まる．

したがって，Frobeniusの定理により，正方行列 $f(A)$ の全ての固有値とそれぞれの重複度は，

正方行列 $A$ の全ての固有値
それぞれの重複度

が分かれば直ちに得られる．

Frobeniusの定理の証明

最初に行列の相似を定義しておく．

行列 $A$ と $B$ が相似であるとは，ある正則行列Pが存在して $P^{-1}AP=B$ を満たすことをいう．

Frobeniusの定理の証明のキーとなる事実は次の[定理1]，[定理2]である．

[定理1]　任意の正方行列 $A$ は上三角行列と相似である．

この[定理1]は，任意の行列がJordan分解可能であるを考えればこの定理が正しいことは分かる．

また，そこまで大きな事実を用いなくても $P$ が基本変形を施す行列の場合を考えれば，地道に示すこともできる．

[定理2]　行列 $A$ と $B$ が相似なら， $A$ の固有値と $B$ の固有値は重複度も込めて等しい．

この記事では，[定理1]，[定理2]を認めて，Frobeniusの定理の証明をする．

[Frobeniusの定理の証明]

$I$ を $n$ 次単位行列とし， $f(x):=a_mx^m+\dots+a_1x+a_0$ とする．

[定理1]よりある $n$ 次正則行列 $P$ が存在して， $P^{-1}AP$ は上三角行列となる．

このとき， $B:=P^{-1}AP$ とおくと， $B^1,B^2,\dots,B^m$ も上三角行列だから， $f(B)$ も上三角行列である．

また，[定理2]より $A$ の固有値と $B$ の固有値は重複度も込めて等しいので， $B$ の固有値は $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ である．

よって， $B$ の対角成分の集合は

$\begin{align*} \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\} \end{align*}$

だから， $B^i$ $(i=1,\dots,m)$ の対角成分は

$\begin{align*} {\lambda_1}^i,\dots,{\lambda_n}^i \end{align*}$

である．よって， $f(B)=a_mB^m+\dots+a_1B+a_0I$ の対角成分は

$\begin{align*} \{f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)\} \end{align*}$

である．したがって， $f(B)$ の固有値は

$\begin{align*} f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n) \end{align*}$

である． $P^{-1}A^iP=(P^{-1}AP)^i=B^i$ $(i=1,\dots,m)$ だから，

$\begin{align*} P^{-1}f(A)P =&P^{-1}\left(a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\dots+a_0I\right)P \\=&a_m\left(P^{-1}A^mP\right)+a_{m-1}\left(P^{-1}A^{m-1}P\right)+\dots+a_0\left(P^{-1}IP\right) \\=&a_m{B^m}+a_{m-1}{B^{m-1}}+\dots+a_0{I} \\=&f(B) \end{align*}$

である．すなわち， $f(A)$ と $f(B)$ は相似である．

よって， $f(A)$ の固有値は $f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_k)$ である．

証明の過程から， $A$ の固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の中に等しいものがあっても，それぞれは $f(A)$ の固有値 $f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$ に対応することも分かる．

[証明終]

参考文献

線型代数入門 (齋藤正彦著，東京大学出版会)

線形代数の教科書として半世紀に渡って売れ続けている超ロングセラーの教科書．

本書が発行されて以来，多くの教科書が本書を真似て書かれてきたと言っても過言ではないほど，日本の線形代数の指導方針にインパクトを与えた名著です．

「線型代数をとりあえず使えるようにするための教科書」ではなく，「線形代数を理解するための教科書」です．

そのため，論理的に非常に詳しく書かれているのが特徴ですが，数学系の学部生であれば確実に理解しておきたいレベルです．

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Frobeniusの定理の主張

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参考文献

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