相関係数ρは相関の強さを表す統計量！定義と考え方を解説

たとえば，２種類の対応するデータ

勉強時間
テストの点数

を考えたとき，勉強時間が長いほどテストの点数が高くなる傾向がありそうです．

このように，「一方のデータの値が大きいときに他方のデータの値も大きいこと」を正の相関があるといい，逆に「一方のデータの値が大きいときに他方のデータの値は小さいこと」を負の相関があるというのでした．

相関の正負は共分散を考えることで判断できるのでしたが，共分散だけでは相関の強さまでは分かりません．

そこで，相関の強さまで表せる統計量が欲しいわけですが，その統計量がこの記事で説明する相関係数です．

この記事では

相関の強さ
相関係数の定義・具体例
相関係数と相関の強さの関係

を説明します．

「統計データの記述」の一連の記事

相関の強さ
1. 相関が強いとは？
2. 無相関
相関係数
1. 相関係数の定義
2. 相関係数の具体例
相関係数と相関の強さの関係
1. 相関係数の基本性質
2. 相関係数$\rho$が相関の強さを表す理由
参考文献
1. 改訂版統計検定２級対応統計学基礎

相関の強さ

相関係数を説明する前に，相関の強さについて説明します．

相関が強いとは？

テストを受けた８人の生徒について

勉強時間$x$
テストの点数$y$

のデータをとると，以下の散布図として表せたとします．

この図を見ると，データはだいたい右上がりになっている，つまり正の相関があるということが見てとれます．

また，別の対応する２種類のデータ$(x,y)$の散布図が以下のようになったとします．

この散布図は先ほどの散布図よりもデータの配置が直線に近くなっています．

このように，２種類の対応するデータ$(x,y)$を散布図に表したとき，点の分布が直線に近いほど相関が強いといいます．

［正の相関が強い］

Rendered by QuickLaTeX.com

［負の相関が強い］

Rendered by QuickLaTeX.com

よって，

データ$(x_i,y_i)$の点が正の傾きの直線上に乗っているときが最強の正の相関
データ$(x_i,y_i)$の点が負の傾きの直線上に乗っているときが最強の負の相関

というわけですね．

無相関

正の相関も負の相関もないことを無相関といいます

正確には後に説明する相関係数が０であることをいいます．

要するに，点がバラバラな散布図を持つようなデータ$(x,y)$が無相関ですね．

ただし，注意として

$x$と$y$が無相関であること
$x$と$y$が無関係であること

は別の話です．

たとえば，以下のような散布図を持つデータ$(x,y)$は正の相関も負の相関もないため無相関です．

しかし，この$x$と$y$には「点$(x,y)$が円周上にある」という「関係」はありますね．

このように，２種類のデータ$(x,y)$が無相関であって，関係がないのとはまた別の話であることに注意してください．

相関係数

それでは，「相関の強さ」を表す相関係数の説明に移ります．

相関係数の定義

説明は後回しにして，先に相関係数の定義を書いてしまいます．相関係数を考えるには

$x$と$y$の共分散$C_{xy}$
$x$の標準偏差$\sigma_x$
$y$の標準偏差$\sigma_y$

が必要です．

［相関係数］２種類のデータ$x_1,x_2,\dots,x_n$と$,y_1,y_2,\dots,y_n$に対して，それぞれの標準偏差を$\sigma_x(\neq0)$, $\sigma_y(\neq0)$とし，これらの共分散を$C_{xy}$とするとき，

$\begin{align*}\rho_{xy}=\frac{C_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\end{align*}$

をデータの組$(x,y)$の相関係数（correlation coefficient）という．

また，相関係数が０であるとき，２種類のデータ$x_1,x_2,\dots,x_n$と$,y_1,y_2,\dots,y_n$は無相関であるといいます．

相関係数の定義から

$\rho_{xy}=0$
$C_{xy}=0$

は同値なので，無相関であることを示すには$C_{xy}=0$を示せばよいことは大切です．

相関係数の具体例

あるテストを受けた８人の生徒について

勉強時間$x$
テストの点数$y$

が以下の表のようになったとしましょう．

勉強時間$x$とテストの点数$y$
人	A	B	C	D	E	F	G	H
勉強時間$x$	2	6	8	3	13	10	5	9
テストの点数$y$	24	60	63	40	92	85	43	49

このデータは共分散の記事で扱ったものと同じで，共分散

$\begin{align*}C_{xy}=\frac{271}{4}=67.75\end{align*}$

と実際に計算しました．よって，あとは$x$の標準偏差$\sigma_x$，$y$の標準偏差$\sigma_y$が必要ですね．

$x$の平均，$y$の平均はそれぞれ

$\begin{align*}&\overline{x}=\frac{2+6+8+3+13+10+5+9}{8}=7, \\&\overline{y}=\frac{24+60+63+40+92+85+43+49}{8}=57\end{align*}$

なので，$x$の標準偏差$\sigma_x$，$y$の標準偏差$\sigma_y$はそれぞれ

$\begin{align*}\sigma_x&=\sqrt{\begin{aligned}\frac{1}{8}&\{(2-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(3-7)^2\\ &\quad+(13-7)^2+(10-7)^2+(5-7)^2+(9-7)^2\}\end{aligned}} \\&=\sqrt{\frac{25+1+1+16+36+9+4+4}{8}} \\&=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, \\\sigma_y&=\sqrt{\begin{aligned}\frac{1}{8}&\{(24-57)^2+(60-57)^2+(63-57)^2+(40-57)^2\\ &\quad+(92-57)^2+(85-57)^2+(43-57)^2+(49-57)^2\}\end{aligned}} \\&=\sqrt{\frac{2089+9+36+9+1225+784+196+64}{8}} \\&=\sqrt{\frac{1103}{2}}\end{align*}$

となります．よって，相関係数$\rho_{xy}$は

$\begin{align*}\rho_{xy}=\frac{67.75}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{1103}{2}}}=\frac{67.75}{\sqrt{6618}}\approx0.83281\end{align*}$

となりますね．

相関係数と相関の強さの関係

さて，今求めた相関係数$\rho_{xy}\approx0.83281$の相関の強さはどれくらいでしょうか？

相関係数の基本性質

相関係数について，実は次が成り立ちます．

相関係数$\rho$は$-1\le\rho\le1$を満たす．

データの数がどれだけ多かろうが，必ず相関係数は$-1$から$1$の間の値になります．

また，のちに説明するように，相関係数$\rho$は

１に近いほど正の相関が強い
０に近いほど無相関に近い
−１に近いほど正の相関が強い

ということを表します．もう少し詳しく分けると，相関の強さの目安は

$-1\le\rho\le-0.9$：かなり強い負の相関
$-0.9<\rho\le-0.7$：強めの負の相関
$-0.7<\rho\le-0.5$：負の相関
$-0.5<\rho\le-0.3$：弱めの負の相関
$-0.3<\rho<0.3$：無相関
$0.3\le\rho<0.5$：弱めの正の相関
$0.5\le\rho<0.7$：正の相関
$0.7\le\rho<0.9$：強めの正の相関
$0.9\le\rho\le1$：かなり強い正の相関

とされることが多いです．

そのため，先ほど求めた相関係数$\rho_{xy}\approx0.83281$は「強めの正の相関である」ということになりますね．

相関係数$\rho$が相関の強さを表す理由

２つの対応するデータ$x_1,x_2,\dots,x_n$と$y_1,y_2,\dots,y_n$について，散布図の点$(x_i,y_i)$たちが直線上に並んでいる状態が最も相関が強いのでした．

このことは，２つの$n$次元ベクトル

$\begin{align*}\m{x}:=\bmat{x_1-\overline{x}\\x_2-\overline{x}\\\vdots\\x_n-\overline{x}},\quad \m{y}:=\bmat{y_1-\overline{y}\\y_2-\overline{y}\\\vdots\\y_n-\overline{y}}\end{align*}$

が平行であることに他なりません．

さらに詳しく言えば

$\m{x}$と$\m{y}$が同じ方向を向いているとき，相関係数は$1$
$\m{x}$と$\m{y}$が逆方向を向いているとき，相関係数は$-1$

となります．

さて，ここで次のコーシー-シュワルツの不等式を確認しておきましょう．

［コーシー-シュワルツの不等式］実数成分ベクトル$\m{x}$, $\m{y}$に対して

$\begin{align*}-|\m{x}||\m{y}|\le\m{x}\cdot\m{y}\le|\m{x}||\m{y}|\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$|\m{x}|$は$\m{x}$の長さ，$\m{x}\cdot\m{y}$は$\m{x}$と$\m{y}$の標準内積である．

コーシー-シュワルツの不等式について，一般に

２つのベクトル$\m{x}$と$\m{y}$が同じ向きに近いほど，内積$\m{x}\cdot\m{y}$は$|\m{x}||\m{y}|$に近い
２つのベクトル$\m{x}$と$\m{y}$が逆向きに近いほど，内積$\m{x}\cdot\m{y}$は$-|\m{x}||\m{y}|$に近い

ということが言えます．

さて，ここでコーシー-シュワルツの不等式を$|\m{x}||\m{y}|$で割ると

$\begin{align*}-1\le\frac{\m{x}\cdot\m{y}}{|\m{x}||\m{y}|}\le1\end{align*}$

となるので，いま書いたことは

２つのベクトル$\m{x}$と$\m{y}$が同じ向きに近いほど，内積$\frac{\m{x}\cdot\m{y}}{|\m{x}||\m{y}|}$は$1$に近い
２つのベクトル$\m{x}$と$\m{y}$が逆向きに近いほど，内積$\frac{\m{x}\cdot\m{y}}{|\m{x}||\m{y}|}$は$-1$に近い

と言い換えることができます．

ここで，内積$\m{x}\cdot\m{y}$，長さ$|\m{x}|$，長さ$|\m{y}|$に

$\begin{align*}\m{x}:=\bmat{x_1-\overline{x}\\x_2-\overline{x}\\\vdots\\x_n-\overline{x}},\quad \m{y}:=\bmat{y_1-\overline{y}\\y_2-\overline{y}\\\vdots\\y_n-\overline{y}}\end{align*}$

を代入すると，

$\begin{align*}\m{x}\cdot\m{y}=&(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+\dots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y}), \\|\m{x}|=&\sqrt{(x_1-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2}, \\|\m{y}|=&\sqrt{(y_1-\overline{y})^2+\dots+(y_n-\overline{y})^2}\end{align*}$

となって，それぞれ$nC_{xy}$, $\sqrt{n}\sigma_x$, $\sqrt{n}\sigma_y$となっているので

$\begin{align*}\frac{\m{x}\cdot\m{y}}{|\m{x}||\m{y}|} =\frac{nC_{xy}}{\sqrt{n}\sigma_x\cdot\sqrt{n}\sigma_y} =\frac{C_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\end{align*}$