データのばらつきを表す「分散」と「標準偏差」のイメージ

テストの点数など幾つかのデータがあるとき，データの中心を表す量として平均値がよく使われます．

しかし，前回の記事で説明したように平均は外れ値の影響を受けやすいため，データによっては平均値がデータの実態を適切に表さないことがあります．

例えば，日本成人の年収を考えたとき，一部高所得者がいることで平均年収が高く吊り上げられてしまい，年収の中央値と平均年収に大きな差が出ます．

さて，外れ値がたくさんあるデータは「データがばらついている」ということができますが，データのばらつきを表す指標として

分散
標準偏差

があります．

この記事では，

データの分散のイメージ
データの分散の定義
データの標準偏差の定義とイメージ

を説明します．

「統計学」の一連の記事

基本の統計量

回帰直線

推定
1. e1 不偏分散ってなに？｜不偏推定量を考え方から理解する
2. e2 尤度関数の考え方｜データから分布を推定する最尤推定法の例

データの分散
標準偏差
1. 分散で２乗している理由
2. 標準偏差のイメージと定義
参考文献
1. 改訂版統計検定２級対応統計学基礎

データの分散

以下のような７人のテストの成績(データ)を考えます(前回の記事で用いたものと同じです)．

テストの成績
人	A	B	C	D	E	F	G
点数	80	72	83	92	67	77	75

平均値の復習

前回の記事で説明したように，このデータの平均値は

$\begin{align*} \frac{80+72+83+92+67+77+75}{7} =78 \end{align*}$

となりますね．

イメージとしては，等しい幅で７つに仕切られた水槽に水位が80mm, 72mm, 83mm, 92mm, 67mm, 77mm, 75mmになるように水を入れ

仕切りを外すと，水位は平均値の78mmとなりますね．

分散のイメージと定義

水位で表すとかさばってしまうので，このデータを数直線上に表しましょう．

データの平均点からのバラつきを表す指標として分散があります．

分散を考えるには，平均と各データの差を考えます．例えば

平均値の78点からB氏の72点を引くと$78-72=6$
平均値の78点からD氏の92点を引くと$78-92=-14$

ですね．

他の全てのデータも平均との差をとり，さらにこの平均との差を２乗します(２乗する理由は後で説明します)．すると，それぞれデータは

80　→　$(78-80)^2=(-2)^2=4$
72　→　$(78-72)^2=6^2=36$
83　→　$(78-83)^2=(-5)^2=25$
92　→　$(78-92)^2=(-14)^2=196$
67　→　$(78-67)^2=11^2=121$
77　→　$(78-77)^2=1^2=1$
75　→　$(78-75)^2=3^2=9$

となりますね．

この２乗した後の値が大きいほど平均値から遠いことが分かるので，この値の平均をとるとデータ全体の平均値からの離れ具合が分かります．

つまり

$\begin{align*} \frac{4+36+25+196+121+1+9}{7} =56 \end{align*}$

はデータの平均からのバラつき具合を表します．このようにして得られた値56を分散といいます．

一般に，分散は次のように定義されます．

データ$x_1,\dots,x_n$の平均値を$\overline{x}$とするとき，このデータの分散 (variance) $\sigma^2$ ($\sigma>0$)を

$\begin{align*} \sigma^2 =&\frac{(\overline{x}-x_1)^2+(\overline{x}-x_2)^2+\dots+(\overline{x}-x_n)^2}{n} \\\biggl(=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(\overline{x}-x_k)^2\biggr) \end{align*}$

で定義する．

つまり

各データと平均との差を２乗して
和をとり
データの個数で割る

ことで得られる値を分散というわけですね．

数直線上の平均からの差をイメージできれば，分散がデータ全体のバラつきを表すことが分かりますね．

ちなみに，データの値が全て同じなら，平均点も同じ値になるので分散が最小の０になります．

平均が実態を表さない例

この記事の冒頭で「場合によっては平均値がデータの実態を適切に表していない」と書きましたが，ここではそのような例を表しましょう．

テストの結果が以下のようになったとしましょう．

テストの成績２
人	A	B	C	D	E	F
点数	０	０	100	100	０	100

このとき，平均点は

$\begin{align*} \frac{0+0+100+100+0+100}{6} =50 \end{align*}$

となります．

しかし，この50点は適切にデータの実態を表しているようには思えませんから，このことを分散を用いて定量的に考えてみます．

「テストの成績２」の分散は，分散の定義から

$\begin{align*} &\frac{(50-0)^2+(50-0)^2+(50-100)^2+(50-100)^2+(50-0)^2+(50-100)^2}{6} \\=&\frac{50^2+50^2+50^2+50^2+50^2+50^2}{6} =2500 \end{align*}$

と計算されますが，この2500という値は先ほど考えていたデータで求めた分散の56と比べるとかなり大きいですね．

このことから，「『テストの成績２』はバラつきが大きいため，平均点が実態を表していない」と判断できます．

このように，分散が大きいことは平均が適切にデータの実態を表していないことを示す根拠になります．

標準偏差

分散と同じくデータのバラつきを表す重要なものに標準偏差があります．

分散で２乗している理由

標準偏差を考える前に，分散で２乗している理由を考えます．

この理由は「２乗すると必ず正の数となるから」です．

例えば，「テストの成績２」で平均との差を２乗せず単純に足し合わせたとすると

$\begin{align*} &\frac{(50-0)+(50-0)+(50-100)+(50-100)+(50-0)+(50-100)}{6} \\=&\frac{50+50-50-50+50-50}{6} =0 \end{align*}$

となってしまい，平均からの「右へのバラつき」と「左へのバラつき」が打ち消しあって０となってしまいました．

このように，２乗しなければプラスとマイナスが打ち消しあって，バラつきが相殺されてしまいます(なお，どのようなデータでも，この計算をすると必ず０になることが(簡単に)証明できます)．

負の数も２乗すると正の数になることから，２乗すればこのような相殺が起こらずバラつきを計算できるというわけですね．

標準偏差のイメージと定義

分散は平均との差の２乗の和の平均を考えていることから「『分散の正の平方根』はデータ全体の平均との差」と考えることができます．

この「分散の正の平方根」を標準偏差といいます．

データ$x_1,\dots,x_n$の分散$\sigma^2$ ($\sigma>0$)に対して，$\sigma$を標準偏差 (standard deviation)という．すなわち

$\begin{align*} \sigma =&\sqrt{\frac{(\overline{x}-x_1)^2+(\overline{x}-x_2)^2+\dots+(\overline{x}-x_n)^2}{n}} \\\biggl(=&\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(\overline{x}-x_k)^2}\biggr) \end{align*}$