線形代数

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ペロン-フロベニウスの定理|成分が正の行列の最大固有値

[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは,全ての成分が正または非負である正方行列の最大固有値に関する定理である.

歴史的には,全ての成分が正の行列に対する定理をOskar Perronが示し,後にFerdinand Georg Frobeniusが全ての成分が非負の行列に対する同様の定理を示した.

また,この[Perron-Frobeniusの定理]の応用範囲は工学から経済学まで非常に広い.

なお,多項式に行列を代入したときの固有値に対するFrobeniusの定理は以下を参照されたい.

【参考記事:フロベニウスの定理

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フロベニウスの定理|行列と多項式と固有値

多項式f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0と行列Aに対して,

    \begin{align*} f(A):=a_nA^n+\dots+a_1A+a_0I \end{align*}

とするとき,f(A)fAを代入した行列という.ただし,Iは単位行列である.

Frobenius(フロベニウス)の定理は,行列Aの固有値と,多項式f(x)に行列Aを代入した行列f(A)の関係を述べた定理で,f(A)の固有値を求めるのに非常に有用である.

なお,この記事で扱う[Frobeniusの定理]は[Perron-Frobenius(ペロン-フロベニウス)の定理]とは別の定理で,[Perron-Frobeniusの定理]は以下を参照されたい.

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