ℝⁿの部分空間の和空間・直和｜基底の求め方を例題から解説

$n$次列ベクトル全部の空間$\R^n$の２つの部分空間$U,V$の共通部分$U\cap V$は$\R^n$の部分空間となります．

共通部分は２つの集合の重なっている部分なので，共通部分$U\cap V$はもとの$U,V$に含まれる部分空間となっています．

一方，２つの部分空間$U,V$を併せた部分空間として和空間というものが定義され，和空間$U+V$はもとの$U,V$を含む部分空間となっています．

この記事では，$\R^n$の部分空間として

部分空間の和空間の定義
部分空間の和空間の具体例
生成される部分空間の和空間の求め方
和空間と和集合の違い

を順に説明します．

なお，特に断らない限り以下では実行列・実ベクトルを扱うことにしますが，複素行列など一般の体を成分とする行列・ベクトルに対しても同様です．

この記事の内容は一般の線形空間でも同様に成り立ちますが，簡単のためここでは$\R^n$の部分空間に限って話を進めます．

「線形代数学の基本」の一連の記事

行列と列ベクトル

行列式

$\R^n$の部分空間と基底

固有値と固有ベクトル

部分空間の和空間の定義

$\R^n$の２つの部分空間$U,V$それぞれから列ベクトルを取り出し，足し合わせてできるベクトル全部の集合を$U,V$の和空間といいます．

$\R^n$の部分空間$U,V$に対して，集合

$\begin{align*}U+V:=\set{\m{u}+\m{v}}{\m{u}\in U,\m{v}\in V}\end{align*}$

を$U,V$の和空間（sum）という．

この記事では２つの部分空間の和空間のみ扱いますが，３つ以上の部分空間の共通部分についても帰納的に和空間となります．

$U,V\subset\R^n$なので$\m{u}\in U$も$\m{v}\in V$も$\R^n$に属しますね．よって，これらの和$\m{u}+\m{v}$も$\R^n$に属しますから，和空間$U+V$は$\R^n$の部分集合ですね．

この和空間$U+V$は$\R^n$の部分空間であることが証明できます．

$\R^n$の部分空間$U,V$の和空間$U+V$は$\R^n$の部分空間となる．

証明を表示

$U,V$は$\R^n$の部分空間で，$\R^n$の任意の部分空間は零ベクトル$\m{0}_n$を元にもつから，$\m{0}_n\in U$かつ$\m{0}_n\in V$が成り立つ．よって，

$\begin{align*}\m{0}_n=\m{0}_n+\m{0}_n\in U+V\end{align*}$

だから，$U+V$は空でない．

［和について閉じていること］任意に$\m{a},\m{b}\in U+V$をとる．このとき，$U+V$の定義より

$\begin{align*}\m{a}=\m{u}_1+\m{v}_1,\quad \m{b}=\m{u}_2+\m{v}_2\end{align*}$

なる$\m{u}_1,\m{u}_2\in U$, $\m{v}_1,\m{v}_2\in V$が存在する．よって，

$\begin{align*}\m{a}+\m{b}=&(\m{u}_1+\m{v}_1)+(\m{u}_2+\m{v}_2) \\=&(\m{u}_1+\m{u}_2)+(\m{v}_1+\m{v}_2)\end{align*}$

であり，$U,V$は$\R^n$の部分空間だから$\m{u}_1+\m{u}_2\in U$, $\m{v}_1+\m{v}_2\in V$なので，$\m{a}+\m{b}\in U+V$が成り立つ．

［スカラー倍について閉じていること］任意に$\m{a}\in U+V$, $k\in\R$をとる．このとき，$U+V$の定義より$\m{a}=\m{u}+\m{v}$なる$\m{u}\in U$, $\m{v}\in V$が存在する．よって，

$\begin{align*}k\m{a}=k(\m{u}+\m{v})=k\m{u}+k\m{v}\end{align*}$

であり，$U,V$は$\R^n$の部分空間だから$k\m{u}\in U$, $k\m{v}\in V$なので，$\m{a}+\m{b}\in U+V$が成り立つ．

[1], [2]より$U+V$は和とスカラー倍について閉じているから，$\R^n$の部分空間である．

部分空間の和空間の具体例

それではいくつか具体例を考えましょう．

具体例１（$\R^3$上の$x$軸と$y$軸の和空間）

$\R^3$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=\set{\bmat{x\\0\\0}}{x\in\R},\quad V=\set{\bmat{0\\y\\0}}{y\in\R}\end{align*}$

とするとき，和空間$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

考え方

$U$は$\R^3$の$x$軸，$V$は$\R^3$の$y$軸ですね．

$U$の列ベクトルと$V$の列ベクトルを足し合わせてできるベクトルを全て集めてできる集合が$U+V$なので，例えば

$\begin{align*}\bmat{2\\0\\0}\in U,\quad\bmat{0\\3\\0}\in V\end{align*}$

を足し合わせてできる$\bmat{2\\3\\0}$は和空間$U+V$の元です．

この他にも$U,V$の列ベクトルはたくさんあり，それらのありとあらゆる和を全て考えてできる列ベクトル全部の集合というわけですね．

このように考えると，和空間$U+V$は$xy$平面（２次元）となりそうなことが見てとれますね．

解答例

今の考え方をもとにすると次のような解答になります．

和空間の定義と$U,V$の定め方より

$\begin{align*}U+V&=\set{\m{u}+\m{v}}{\m{u}\in U,\m{v}\in V} \\&=\set{\sbmat{x\\0\\0}+\sbmat{0\\y\\0}}{x\in\R,y\in\R} \\&=\set{x\sbmat{1\\0\\0}+y\sbmat{0\\1\\0}}{x,y\in\R} \\&=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}}}\end{align*}$

と和空間$U+V$は$\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}$により生成される部分空間である．

また，一般に平行でない２つのベクトルは線形独立だから$\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}$は線形独立である．

よって，$U+V$の基底として$\anb{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}}$がとれることが分かった．$U+V$の基底をなすベクトルの個数が２なので

$\begin{align*}\dim{(U+V)}=2\end{align*}$

である．

具体例２（$\R^3$上の直線と直線の和空間）

$\R^3$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=\set{\bmat{t\\t\\0}}{t\in\R},\quad V=\set{\bmat{0\\y\\0}}{y\in\R}\end{align*}$

とするとき，和空間$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

$V$は具体例１と同じく$\R^3$の$y$軸ですが，$U$は第１成分と第２成分が等しく第３成分が０の列ベクトル全部の集合ですね．

この具体例２でも$U$も$V$も$xy$平面上にあるので，和空間$U+V$も$xy$平面上の空間となりそうです．また，

$\begin{align*}&\bmat{2\\3\\0}=\bmat{2\\2\\0}+\bmat{0\\1\\0}, \\&\bmat{3\\-4\\0}=\bmat{3\\3\\0}+\bmat{0\\-7\\0}\end{align*}$

のように，$xy$平面上の列ベクトルは全て$U$の列ベクトルと$V$の列ベクトルで表せそうです．

よって，具体例１と同様に和空間$U+V$は$xy$平面（２次元）となりそうですね．

和空間の定義と$U,V$の定め方より

$\begin{align*}U+V&=\set{\m{u}+\m{v}}{\m{u}\in U,\m{v}\in V} \\&=\set{\sbmat{t\\t\\0}+\sbmat{0\\y\\0}}{t\in\R,y\in\R} \\&=\set{t\sbmat{1\\1\\0}+y\sbmat{0\\1\\0}}{t,y\in\R} \\&=\spn{\bra{\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}}}\end{align*}$

と和空間$U+V$は$\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}$により生成される部分空間である．

また，一般に平行でない２つのベクトルは線形独立だから$\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}$は線形独立である．

よって，$U+V$の基底として$\anb{\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}}$がとれることが分かった．$U+V$の基底をなすベクトルの個数が２なので

$\begin{align*}\dim{(U+V)}=2\end{align*}$

である．

生成される部分空間の和空間の求め方

いまみた具体例では和空間$U+V$を定義から変形して考えましたが，もとの部分空間$U,V$が生成される部分空間になっているときは，次の命題から簡単に和空間$U+V$が求められます．

$\m{a}_1,\dots,\m{a}_r,\m{b}_1,\dots,\m{b}_s\in\R^n$とする．$\R^n$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=&\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r)}, \\V=&\spn{(\m{b}_1,\dots,\m{b}_s)}\end{align*}$

と定める．このとき，和空間$U+V$は

$\begin{align*}U+V=\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r,\m{b}_1,\dots,\m{b}_s)}\end{align*}$

となる．

つまり，部分空間$U,V$を生成するベクトルたちを併せて生成される空間が，和空間$U+V$になるというわけですね．

生成される部分空間の定義より

$U$上のベクトルは$c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r$（$c_1,\dots,c_r\in\R$）
$V$上のベクトルは$d_1\m{b}_1+\dots+d_s\m{b}_s$（$d_1,\dots,d_s\in\R$）

と表すことができるから，和空間$U+V$は

$\begin{align*}U+V=&\set{\begin{aligned}&(c_1\m{a}_1+\dots+c_r\m{a}_r)\\&\quad+(d_1\m{b}_1+\dots+d_s\m{b}_s)\end{aligned}}{\begin{aligned}&c_1,\dots,c_r,\\&\quad d_1,\dots,d_s\in\R\end{aligned}} \\=&\spn{(\m{a}_1,\dots,\m{a}_r,\m{b}_1,\dots,\m{b}_s)}\end{align*}$

となる．

上の２つの具体例もこの証明と本質的に同じことをしていますね．

この命題を用いていくつか具体的に和空間を求めてみましょう．

具体例１（$\R^3$上の$x$軸と$y$軸の和空間）

先ほど定義から直接求めた$x$軸と$y$軸の和空間を生成される部分空間の和空間と考えて解いてみましょう．

$\R^3$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=\set{\bmat{x\\0\\0}}{x\in\R},\quad V=\set{\bmat{0\\y\\0}}{y\in\R}\end{align*}$

とするとき，和空間$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

$U,V$はそれぞれ

$\begin{align*}U=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\0}}},\quad V=\spn{\bra{\sbmat{0\\1\\0}}}\end{align*}$

と表せるから，和空間は$U+V=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}}}$となる．

また，一般に２つのベクトルが平行でなければ線形独立なので$\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}$は線形独立である．

よって，$\anb{\sbmat{1\\0\\0},\sbmat{0\\1\\0}}$は和空間$U+V$の基底であり，$\dim{(U+V)}=2$である．

具体例２（$\R^3$上の直線と直線の和空間）

先ほどの具体例２も生成される部分空間の和空間と考えて解いてみましょう．

$\R^3$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=\set{\bmat{t\\t\\0}}{t\in\R},\quad V=\set{\bmat{0\\y\\0}}{y\in\R}\end{align*}$

とするとき，和空間$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

$U,V$はそれぞれ

$\begin{align*}U=\spn{\bra{\sbmat{1\\1\\0}}},\quad V=\spn{\bra{\sbmat{0\\1\\0}}}\end{align*}$

と表せるから，和空間は$U+V=\spn{\bra{\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}}}$となる．

また，一般に２つのベクトルが平行でなければ線形独立なので$\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}$は線形独立である．

よって，$\anb{\sbmat{1\\1\\0},\sbmat{0\\1\\0}}$は和空間$U+V$の基底であり，$\dim{(U+V)}=2$である．

具体例３（$\R^3$上の平面と直線の和空間）

$\R^3$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=&\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{x+2y-z=0}, \\V=&\set{\bmat{x\\y\\z}\in\R^3}{\begin{aligned}&x+y+z=0,\\&x-y=0\end{aligned}}\end{align*}$

とするとき，共通部分$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

この具体例３では$U$が平面で$V$は直線ですね．

直線$V$は平面$U$にブスッと突き刺さっています．そのため，$U,V$の列ベクトルを足し合わせると$\R^3$上のどんなベクトルも表すことができそうですね．

つまり，和空間$U+V$は$\R^3$全体となることがみてとれます．

部分空間$U$は生成される部分空間として

$\begin{align*}U=&\set{\sbmat{x\\y\\z}\in\R^3}{x+2y-z=0}=\set{\sbmat{x\\y\\x+2y}}{x,y\in\R} \\=&\set{x\sbmat{1\\0\\1}+y\sbmat{0\\1\\2}}{x,y\in\R}=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\1},\sbmat{0\\1\\2}}}\end{align*}$

と表せる．同様に，部分空間$V$も生成される部分空間として

$\begin{align*}V=&\set{\sbmat{x\\y\\z}\in\R^3}{\begin{aligned}&x+y+z=0,\\&x-y=0\end{aligned}}=\set{\sbmat{x\\x\\-2x}}{x\in\R} \\=&\set{x\sbmat{1\\1\\-2}}{x\in\R}=\spn{\bra{\sbmat{1\\1\\-2}}}\end{align*}$

と表せる．よって，和空間は$U+V=\spn{\bra{\sbmat{1\\0\\1},\sbmat{0\\1\\2},\sbmat{1\\1\\-2}}}$となる．

これら和空間$U+V$を生成する列ベクトルを並べてできる行列を行基本変形すると

$\begin{align*}\bmat{1&0&1\\0&1&1\\1&2&-2}\to\bmat{1&0&1\\0&1&1\\0&2&-3}\to\bmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\end{align*}$

と簡約化できるので，行列$\sbmat{1&0&1\\0&1&1\\1&2&-2}$のランクは３だから$\sbmat{1\\0\\1},\sbmat{0\\1\\2},\sbmat{1\\1\\-2}$は線形独立である．

よって，$\anb{\sbmat{1\\0\\1},\sbmat{0\\1\\2},\sbmat{1\\1\\-2}}$は和空間$U+V$の基底であり，$\dim{(U+V)}=3$である．

具体例４（$\R^4$上の平面と平面の和空間）

具体例１から具体例３までは$\dim{(U+V)}=\dim{U}+\dim{V}$となっていましたが，これはいつでも成り立つわけではありません．

$\R^4$の部分空間$U,V$を

$\begin{align*}U=&\spn{\bra{\bmat{-1\\1\\1\\0},\bmat{5\\-2\\0\\1}}},\quad V=\spn{\bra{\bmat{2\\1\\0\\1},\bmat{-6\\0\\3\\-2}}}\end{align*}$

とするとき，共通部分$U+V$の基底が存在すれば１組求め，次元$\dim{(U+V)}$を求めよ．

$\R^4$が４次元なので図に描くのは難しいですが，$U,V$はともに生成される部分空間として表されているので，いままでの具体例と同様に求めることができますね．

和空間$U+V$は$U+V=\spn{\bra{\sbmat{-1\\1\\1\\0},\sbmat{5\\-2\\0\\1},\sbmat{2\\1\\0\\1},\sbmat{-6\\0\\3\\-2}}}$であり，これらの列ベクトルを行列を並べてできる行列を行基本変形すると

$\begin{align*}&\bmat{-1&5&2&-6\\1&-2&1&0\\1&0&0&3\\0&1&1&-2}\to\bmat{1&0&0&3\\0&5&2&-3\\0&-2&1&-3\\0&1&1&-2} \\\to&\bmat{1&0&0&3\\0&1&1&-2\\0&0&-3&7\\0&0&3&-7}\to\bmat{1&0&0&3\\0&1&1&-2\\0&0&-3&7\\0&0&0&0}\end{align*}$