ガウス積分を極座標変換から求める｜ヤコビアンが嬉しい計算

関数 $e^{- x^{2}}$ の実数全体での広義積分は

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

と計算できることが知られており，この広義積分はガウス積分やオイラー-ポアソン積分などと呼ばれます．

直観的には $x y$ 平面上の $y = e^{- x^{2}}$ のグラフと $x$ 軸との間の面積が $\sqrt{π}$ ということですね．

この記事では

ガウス積分の定義と収束性
ガウス積分の計算
ガウス積分の計算上のポイント

を順に解説します．

ガウス積分の定義と収束性
1. ガウス積分の定義
2. ガウス積分の収束
ガウス積分の計算
ガウス積分の計算上のポイント
1. 正方形領域と極座標変換
2. 重積分と累次積分

ガウス積分の定義と収束性

まずはガウス積分がどのような積分であるかを定義し，ガウス積分が収束することを示しておきましょう．

ガウス積分の定義

広義積分

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

をガウス積分（Gauss integral）と言います．

一般に $G (x) = A e^{- (x - μ)^{2} / 2 σ^{2}}$ で定まる関数 $G$ がガウス関数と呼ばれているので，ガウス積分は $A = 1$ , $2 σ^{2} = 1$ , $μ = 0$ のときのガウス関数 $G$ の実数全体での積分といえますね．

$A = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}$ の場合のガウス関数 $G$ は，平均 $μ$ ，分散 $σ^{2}$ の正規分布の確率密度関数としてもよく知られていますね．

一般に，非負値関数 $f$ の実数全体での広義積分が

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx:=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\,dx\end{align*}$

と定義されるのでしたから，ガウス積分は

$\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

のことを言うわけですね．

ガウス積分の収束

ガウス積分の極限値が $\sqrt{π}$ になることを求めるのは少々面倒ですが，収束することを示すだけであればそれほど難しくありません．

ガウス積分

$\begin{align*}\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

は収束する．

任意の $t > 1$ に対して，対称性より

$\begin{align*}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx =&2\int_{0}^{t}e^{-x^2}\,dx \\=&2\int_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx+2\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

である． $0 \leq x \leq 1$ で $e^{- x^{2}}$ は連続だから，第１項 $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ はリーマン積分可能である．

また，第２項 $\int_{1}^{t} e^{- x^{2}} d x$ は $t$ について非減少であり，

$\begin{align*}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx&\le\int_{1}^{t}e^{-x}\,dx=\brc{-e^{-x}}_{1}^{t} \\&=-\bra{e^{-t}-e^{-1}}\le\frac{1}{2e}\end{align*}$

より $\int_{1}^{t} e^{- x^{2}} d x$ は $t$ について有界である．一般に上に有界かつ非減少なら極限をもつから，極限

$\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

が存在する．以上より，広義積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ が存在する．

ガウス積分の計算

それでは極座標変換を用いてガウス積分を計算しましょう．

ガウス積分は $\sqrt{π}$ に収束する．すなわち，

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

が成り立つ．

$I (t) := \int_{- t}^{t} e^{- x^{2}} d x$ とする． $lim_{t \to \infty} I (t)$ がガウス積分であることに注意する．

$I (t)^{2}$ の変形

非負値関数の広義積分の定義より

$\begin{align*}I(t)^2&=\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-y^2}\,dy} \\&=\int_{-t}^{t}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\&=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\&=4\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}$

である．

積分領域と積分の評価

$R^{2}$ の原点中心の２つの４分円

$D (t) := {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq t^{2}, x \geq 0, y \geq 0}$
$D (\sqrt{2} t) := {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 2 t^{2}, x \geq 0, y \geq 0}$

を考えると，積分領域 $[0, t] \times [0, t]$ は

$\begin{align*}D(t)\subset[0,t]\times[0,t]\subset D(\sqrt{2}t)\end{align*}$

をみたす．

このとき，被積分関数 $e^{- x^{2} - y^{2}}$ は正値だから，積分領域が広い方が積分の値も大きいので

$\begin{align*}4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)<I(t)^2<4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}$

が成り立つ．

極座標変換を用いて計算

極座標変換 $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ を施すと， $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ であり， $D (t)$ と $D (\sqrt{2} t)$ はそれぞれ

$D_{1} := {(r, θ) | r \in [0, t], θ \in [0, \frac{π}{2}]}$
$D_{2} := {(r, θ) | r \in [0, \sqrt{2} t], θ \in [0, \frac{π}{2}]}$

と変換される．極座標変換のヤコビアンが $r$ であることに注意して

$\begin{align*}&4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) \\&=4\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr \\&=4\int_{0}^{t}\frac{\pi}{2} re^{-r^2}\,dr=2\pi\brc{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}_{0}^{t} \\&=-\pi\bra{e^{-t^2}-1}\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}$

であり，同様に

$\begin{align*}4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)&=-\pi\bra{e^{-2t^2}-1} \\&\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}$

となる．

はさみうちの原理を適用

はさみうちの原理より

$\begin{align*}\bra{\lim_{t\to\infty}I(t)}^2=\lim_{t\to\infty}I(t)^2=\pi\end{align*}$

だから， $I (t) > 0$ に注意して

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}I(t)=\sqrt{\pi}\end{align*}$

を得る．

不定積分 $\int e^{- x^{2}} d x$ は簡単には（初等関数では）で表せないことが知られています．一方， $x e^{- x^{2}}$ の不定積分は

$\begin{align*}\int xe^{-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\end{align*}$

と簡単に表すことができます．極座標変換のヤコビアン $r$ がいることで $\int r e^{- r^{2}} d r$ となることが，極座標変換でうまくいく理由です．

ガウス積分の計算上のポイント

以上の計算でのポイントを説明します．

正方形領域と極座標変換

２重積分 $\iint f (x, y) d (x, y)$ において，被積分関数 $f (x, y)$ の式の中に $x^{2} + y^{2}$ があるときには，極座標変換 $(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ を用いるのは鉄板ですね．

さて，極座標変換は $x y$ 平面上の円板領域を $r θ$ 平面へぴったり移すことができますが，そうでない領域を $r θ$ 平面へ移すのは得意ではありません．

そこで，円板領域でない積分領域を円板で挟んで評価し，はさみうちの原理に持ち込むという方法がよく採られます．

今のガウス積分の計算では， $I (t)^{2}$ を考えると正方形領域 $[0, t] \times [0, t]$ を積分領域とする重積分を計算することになったので，

正方形領域 $[0, t] \times [0, t]$ に含まれる領域 $D (t)$
正方形領域 $[0, t] \times [0, t]$ に含まれる領域 $D (\sqrt{2} t)$

での重積分を計算し，はさみうちの原理に持ち込んだわけですね．

重積分と累次積分

微分積分学では「多くの場合で

重積分 $\iint_{I \times J} f (x, y) d (x, y)$
累次積分（逐次積分） $\int_{I} (\int_{J} f (x, y) d x) d y$

は一致する」と学びます．

例えば，上の計算でいえば

$\begin{align*}&\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy=\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,dxdy, \\&\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr\end{align*}$