連結の定義と具体例｜「ひとまとまりな集合」の考え方

位相空間 $X$ において「集合 $A \subset X$ がひとまとまりになっていること」を表す概念として連結性があります．

大雑把に言えば「集合 $A$ が２つの開集合によって分けられない」とき，集合 $A$ は連結であると言います．

なお，似た概念に弧状連結性がありますが，実は「弧状連結なら連結」は成り立ちますが逆は成り立ちません．つまり，連結性の方が少し広い性質となっています．

この記事では

連結性の定義
連結な集合の具体例
連結性と弧状連結性の関係

を説明します．

なお，この記事では以下 $X$ を位相空間とします．

位相空間をよく知らない方は $X$ をユークリッド空間 $R$ , $R^{2}$ （数直線， $x y$ 平面）と思って読み進めても内容は理解できます．

「連結性」の一連の記事

連結性の定義と具体例
連結性と弧状連結性の関係
参考文献
1. 集合・位相入門
2. 集合と位相

連結性の定義と具体例

連結性を定義して具体例を考えましょう．

連結性の定義

集合 $A \subset X$ が連結であるとは，条件

$\begin{array}{r} A \subset U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \cap U_{2} = \emptyset, A \cap U_{i} \neq \emptyset (i = 1, 2) . \end{array}$

を満たす空でない開集合 $U_{1}, U_{2} \subset X$ が存在しないことをいう．

もし「離れ小島」があれば，異なる「島」は２つの開集合で分けられますから，集合 $A$ は「ひとまとまり」とは言えないというイメージですね．

このような２つの開集合 $U_{1}$ , $U_{2}$ が存在しないとき，集合 $A$ は連結であるというわけですね．

具体例１（連結な集合）

集合 $[0, 1] \subset R$ は連結であることを示せ．ただし， $R$ は１次元ユークリッド空間（通常の数直線）とする．

背理法により示す．すなわち， $I := [0, 1]$ が連結でないと仮定して矛盾を導く．

$I := [0, 1]$ が連結でないなら，

$\begin{array}{r} I \subset V_{1} \cup V_{2}, V_{1} \cap V_{2} = \emptyset, I \cap V_{i} \neq \emptyset (i = 1, 2) . \end{array}$

なる開集合 $V_{1}, V_{2} \subset I$ が存在する．

$V_{1}$ , $V_{2}$ は対称なので $1 \in V_{2}$ としてよく，さらに $a := sup (I \cap V_{1})$ とおくと， $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$ と併せて $a \neq 1$ より $a < 1$ である．

$V_{1}$ は開集合だから $a \notin V_{1}$ であり， $I \subset V_{1} \cup V_{2}$ と併せると $a \in V_{2}$ である．

$V_{2}$ は開集合だから $a$ のある近傍 $V$ が存在して $V \subset V_{2}$ となるが， $a = sup (I \cap V_{1})$ より $V \cap V_{1} \neq \emptyset$ となって $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$ に矛盾する．

一般に $R$ 上の任意の区間は連結となります．

このことから， $R$ 上の区間を $R$ の連結部分集合と定義することもあります．

具体例２（連結でない集合）

$R^{2}$ を２次元ユークリッド空間（通常の $x y$ 平面）とする． $A \subset R^{2}$ を

$\begin{array}{r} A = {[\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}] \in R^{2} | x \neq 0} \end{array}$

とすると， $A$ が連結でないことを示せ．

$A$ は $x$ 軸から原点を除いた集合ですね．

$U_{i} \subset R^{2}$ （ $i = 1, 2$ ）を

$\begin{array}{r} U_{1} = {[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \in R^{2} | x > 0}, U_{2} = {[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \in R^{2} | x < 0} \end{array}$

で定める．

このとき，

$\begin{array}{r} A \subset U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \cap U_{2} = \emptyset, A \cap U_{i} \neq \emptyset (i = 1, 2) . \end{array}$

を満たすので， $A$ は連結でない．

連結性と弧状連結性の関係

最後に弧状連結なら連結であることを証明しましょう．

［連結性と弧状連結性］ $A \subset X$ とする． $A$ が弧状連結なら， $A$ は連結である．

対偶を示す．すなわち， $A$ が連結でないとき $A$ が弧状連結であることを示す．

$A$ が連結でないなら

$\begin{array}{r} A \subset U_{1} \cup U_{2}, U_{1} \cap U_{2} = \emptyset, A \cap U_{i} \neq \emptyset (i = 1, 2) . \end{array}$

なる開集合 $U_{1}, U_{2} \subset X$ が存在する．

このとき，任意の $a \in A \cap U_{1}$ , $b \in A \cap U_{2}$ に対して， $a, b \in A$ だから $A$ の弧状連結性より $f (0) = a$ , $f (1) = b$ なる連続曲線 $f : [0, 1] \to A$ が存在する．ただし， $[0, 1]$ は１次元ユークリッド空間 $R$ の部分位相空間である．