群と環と体の定義とそれらの例

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群(group)，環(ring)，体(field)上において理論が展開されることが非常に多い．

群，環，体といった代数構造を定義するためには，「集合」と「演算」が必要となる．

例えば，整数の集合 $\Z$ は通常の加法 $+$ によって「群」となり，実数の集合 $\R$ は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「体」となる．また，実数係数の1変数多項式 $\R[x]$ の集合は通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ によって「環」となる．

この記事では，最初に「2項演算」を説明し，そのあとに群，環，体の定義とそれらの例を挙げる．

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1 2項演算
- 1.1 2項演算の定義
- 1.2 2項演算の3法則
2 群
3 環
4 体
- 4.1 体の定義
- 4.2 体の例

2項演算

まず，2項演算について説明する．

2項演算の定義

集合 $X$ 上の「2項演算」を次で定める．

[2項演算]　集合 $X$ に対して，写像 $f:X\times X\to X$ を $X$ 上の「2項演算」(または，単に「演算」)という．任意の $a,b\in X$ に対して， $f(a,b)$ を単に $ab$ と書くことも多い．

また，「演算を $\cdot$ や $+$ とする」と書いた場合には， $a\cdot b$ や $a+b$ などと書く．

以降，2項演算は単に演算と書く．

演算の定め方は無数にある．例えば，実数 $\R$ 上の演算 $f$ として， $f(a,b)=ab$ や $f(a,b)=a+4b$ や $f(a,b)=a^3$ などは全て演算である．

要するに，2つの元 $a,b\in X$ に対して，行き先が1つに決まればそれは演算である．そのため，演算が必ずしも良い性質(交換法則など)をみたすとは限らない．

しかし，無茶苦茶な演算が定まった集合を考えても，それほど有用な結果は得られそうにないことは想像に難くない．

そこで，「良い性質が伴った演算が定まっている集合」を考えることに意義がある．群，環，体はそのような「良い性質が伴った演算をもった集合」なのである．

2項演算の3法則

先ほど「良い性質をもった演算」と書いたが，ここで「良い性質」とは「結合法則」，「交換法則」，「分配法則」のことを指し，それぞれ次の性質をいう．

[結合法則]　集合 $X$ に1つの演算が定まっているとする．このとき，任意の $a,b,c\in X$ に対して，

$(ab)c=a(bc)$

が成り立つことを，結合法則が成り立つという．

[交換法則]　集合 $X$ に1つの演算が定まっているとする．このとき，任意の $a,b,c\in X$ に対して，

$ab=ba$

が成り立つことを，交換法則が成り立つという．

[分配法則]　集合 $X$ に加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が定まっているとする．このとき，任意の $a,b,c\in X$ に対して，

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

が成り立つことを，分配法則が成り立つという．

[結合法則]と[交換法則]は1つの演算に関する性質であり，[分配法則]は2つの演算に関する性質である．

群

この節では，群を定義し，群の例を挙げる．

群の定義

群の定義は次の通りである．

[群]　集合 $G$ に演算 $\cdot$ が定まっているとする．次の1〜3を満たすとき，集合と演算の組 $(G,\cdot)$ を群(group)という．演算が明らかな場合は，単に $G$ を群という．

ある $e\in G$ が存在して，任意の $g\in G$ に対して， $e\cdot g=g\cdot e=g$ が成り立つ．
任意の $g\in G$ に対して，ある $h\in G$ が存在して， $g\cdot h=h\cdot g=e$ が成り立つ．
演算 $\cdot$ に関して，[結合法則]が成り立つ．

加えて，次の4をみたすとき，群 $(G,\cdot)$ は可換群(アーベル群)であるという．

演算 $\cdot$ に関して，[交換法則]が成り立つ．

条件1の $e\in G$ の「単位元」といい，条件2の $h\in G$ を $g$ の「逆元」という．また， $g$ の逆元を $g^{-1}$ で表す．

単位元は全ての元に対して $e\cdot g=g\cdot e=g$ を満たさなければならないが，逆元は $g\in G$ ごとに異なることに注意する．

群の定義から分かるように，群は「集合」と「演算」により定まる．

そのため，「自然数の集合 $\N$ は群か？」と問われても，演算が何であるか分からないため群であるかどうか答えようがない．「 $\N$ に定義されている演算は何ですか？」と逆に問い返すことになる．

乗法と加法

群における慣習的な「乗法」と「加法」という言葉の使い分け方について説明する．

可換群の場合にも，非可換群の場合にも，群に定まっている演算は「乗法」と呼ばれることが多い．「乗法」といった場合，演算の記号は $\cdot$ で表すことが多い．

一方，群に定まっている演算を「加法」と言った場合，その演算は可換であることが普通である．すなわち，非可換な演算に「加法」ということはほとんどない．

また，乗法 $\cdot$ の記号は省略することも多いが，加法 $+$ の記号は省略しない．

さらに，乗法による計算結果を「積」，加法による計算結果を「和」という．

自明な群

1つの元のみからなる集合 $X={x}$ を考える．

このとき， $X$ 上の演算は $(x,x)\to x$ しかあり得ないが，この演算を乗法 $\cdot$ とすることにより $(X,\cdot)$ は可換群となる．

この群1つの元のみからなる集合を「自明な群」という．

群の例

以下に群の例を挙げる．

例1

整数の集合 $\N$ と，通常の加法 $+$ の組 $(\N,+)$ は可換群である．

ここで，「通常の加法」とは小学校から扱ってきた単なる足し算のことである．

単位元は $0$ である：任意の $n\in\N$ に対して， $n+0=0+n=n$ が成り立つ．
任意の $n\in\N$ に対して， $-n$ が $n$ の逆元である： $n+(-n)=(-n)+n=0$ が成り立つ．
整数の足し算なので，[結合法則]は成り立つ．
整数の足し算なので，[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(\N,+)$ が可換群であることが分かった．

例2

有理数の集合 $\Q$ と，通常の乗法 $\cdot$ の組 $(\Q,\cdot)$ は可換群である．

ここで，「通常の乗法」とは小学校から扱ってきた単なる掛け算のことである．

単位元は $1$ である：任意の $x\in\Q$ に対して， $1\cdot x=x\cdot1=x$ が成り立つ．
任意の $x\in\Q$ に対して， $\f{1}{x}$ が $x$ の逆元である： $x\cdot\f{1}{x}=\f{1}{x}\cdot x=1$ が成り立つ．
有理数の掛け算なので，[結合法則]は成り立つ．
有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(\Q,\cdot)$ が可換群であることが分かった．

例3

整数の集合 $\N$ と，通常の乗法 $\cdot$ の組 $(\N,\cdot)$ は群ではない．

単位元は $1$ である：任意の $n\in\N$ に対して， $1\cdot n=n\cdot1=x$ が成り立つ．
$2\in\N$ に対して， $2\cdot n=1$ をみたすような $\N$ の元は存在しない．よって， $2\in\N$ は逆元を持たない．

群は任意の元に逆元を持たなければならないから，組 $(\N,\cdot)$ は群ではない．

例1と例3を比較すれば，同じ集合であっても演算が異なれば群であったりなかったりすることが分かる．また，例2と例3を比較すれば，同じ演算であっても集合が異なれば群であったりなかったりすることが分かる．

例4

成分が $\R$ の $(m,n)$ 型行列の集合 $M_{mn}(\R)$ と，通常の乗法 $+$ の組 $(M_{mn}(\R),+)$ は群である．

単位元は零行列 $O$ である．
任意の $A\in M_{mn}(\R)$ に対して， $-A$ が $A$ の逆元である．
各成分で $\R$ の加法なので，[結合法則]は成り立つ．
各成分の $\R$ の加法なので，[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(M_{mn}(\R),+)$ が可換群であることが分かった．

例5

成分が $\C$ の $n$ 次正則行列の集合 $GL_{n}(\C)$ と，通常の加法 $\cdot$ の組 $(GL_{n}(\C),\cdot)$ は群であるが，可換ではない．

単位元は単位行列 $I$ である．
任意の $A\in GL_{n}(\C)$ に対して， $A^{-1}$ が $A$ の逆元である．
行列の積なので，[結合法則]は成り立つ．
行列の積なので，[交換法則]は成り立たない．

したがって，組 $(M_{mn}(\R),+)$ が群であるが，可換群でないことが分かった．

環

この節では，環を定義し，環の例を挙げる．

環の定義

環の定義は次の通りである．

[環]　集合 $R$ に加法 $+$ ，乗法 $\cdot$ が定まっているとする．次の1〜4を満たすとき，集合と演算の組 $(R,+,\cdot)$ を環(ring)という．演算が明らかな場合は，単に $R$ を環という．

加法 $+$ に関して， $R$ は可換群である．
ある $1\in R$ が存在して，任意の $r\in R$ に対して， $1\cdot r=r\cdot 1=r$ が成り立つ．
乗法 $\cdot$ に関して，[結合法則]が成り立つ．
加法 $+$ と乗法 $\cdot$ に関して，[分配法則]が成り立つ．

加えて，次の5をみたすとき，環 $(R,+,\cdot)$ は可換環であるという．

演算 $\cdot$ に関して，[交換法則]が成り立つ．

条件1の加法 $+$ に関する単位元を「加法単位元」といい， $0$ で表す．また，条件2の $1\in R$ を「乗法単位元」という．

条件1は加法 $+$ に関する条件であり，条件2と条件3は乗法 $\cdot$ に関する条件である．そして，条件4は加法と乗法に関する条件である．条件4によって，加法 $+$ と乗法 $\cdot$ は勝手にとっていいわけではなく，[分配法則]という加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の整合性を保つように取る必要がある．

また，環においては，乗法 $\cdot$ に関して，逆元を持たない元があっても良い．

群においてもそうであったが，「有理数の集合 $\Q$ は環か？」などと問われても，演算が何であるか分からないため環であるかどうか答えようがない．「 $\Q$ に定義されている加法と乗法は何ですか？」と逆に問い返すことになる．

零環

1つの元のみからなる集合 $X={x}$ を考える．

このとき， $X$ 上の演算は $(x,x)\to x$ しかあり得ないが，この演算を加法 $+$ と乗法 $\cdot$ とすることにより $(X,+,\cdot)$ は可換環となる．

この群1つの元のみからなる集合を「零環」という．

零環では，加法単位元 $0$ と乗法単位元 $1$ は一致するが，こうなると例外的なことが起きてしまい面倒になる．

そのため，初めから $0\neq1$ として零環を除いておくことが多い．

環の例

以下に環の例を挙げる．

例1

有理数の集合 $\Q$ と，通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\Q,+,\cdot)$ は可換環である．

加法に関しては可換群である：
1. 加法単位元 $0$ が存在する：任意の $x\in\Q$ に対して， $x+0=0+x=x$ が成り立つ．
2. 任意の $x\in\Q$ に対して， $-x$ が $x$ の逆元である： $x+(-x)=(-x)+x=0$ が成り立つ．
3. 有理数の足し算なので，[結合法則]は成り立つ．
4. 有理数の足し算なので，[交換法則]は成り立つ．
乗法単位元 $1$ が存在する：任意の $r\in\Q$ に対して， $1\cdot r=r\cdot 1=r$ が成り立つ．
有理数の掛け算なので，[結合法則]が成り立つ．
有理数の足し算と掛け算なので，[分配法則]は成り立つ．
有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(\Q,+,\cdot)$ が可換環であることが分かった．

例2

$\Z/6\Z=\{0,1,2,3,4,5\}$ と，次で定まる加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\Z/6\Z,+,\cdot)$ は可換環である．

加法 $+$ ： $a,b\in\Z/6\Z$ に対して， $\Z$ の通常の加法で $a+b$ を計算して，6で割った余りを $\Z/6\Z$ の和とする．
乗法 $\cdot$ ： $a,b\in\Z/6\Z$ に対して， $\Z$ の通常の乗法で $a\cdot b$ を計算して，6で割った余りを $\Z/6\Z$ の積とする．

例えば，加法に関しては $1+2=3,2+3=5,3+5=2$ であり，乗法に関しては $1\cdot3=3,2\cdot3=0,3\cdot5=3$ である．イメージとしては， $0,1,2,3,4,5,0,1,2,\dots$ のように $6$ になると $0$ に戻る演算だと思えば良い．

加法に関しては可換群である：
1. 加法単位元 $0$ が存在する：任意の $x\in\Z/6\Z$ に対して， $n+0=0+n=n$ が成り立つ．
2. 任意の $n\in\Z/6\Z$ に対して， $-n$ が $n$ の逆元である： $n+(-n)=(-n)+n=0$ が成り立つ．
3. $\Z$ の通常の加法 $+$ では[結合法則]が成り立つから， $\Z$ の計算をして $6$ で割った余りを考えることで[結合法則]は成り立つ．
4. $\Z$ の通常の加法 $+$ では[交換法則]が成り立つから， $\Z$ の計算をして $6$ で割った余りを考えることで[交換法則]は成り立つ．
乗法単位元 $1$ が存在する：任意の $n\in\Z/6\Z$ に対して， $1\cdot n=n\cdot 1=n$ が成り立つ．
$\Z$ の通常の乗法 $\cdot$ では[結合法則]が成り立つから， $\Z$ の計算をして $6$ で割った余りを考えることで[結合法則]は成り立つ．
$\Z$ の通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ では[分配法則]が成り立つから， $\Z$ の計算をして $6$ で割った余りを考えることで[分配法則]は成り立つ．
$\Z$ の通常の乗法 $\cdot$ では[交換法則]が成り立つから， $\Z$ の計算をして $6$ で割った余りを考えることで[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(\Z/6\Z,+,\cdot)$ が可換環であることが分かった．

例3

有理数の集合 $\Q$ と，通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\Q,+,\cdot)$ は可換環である．

加法に関しては可換群である：
1. 加法単位元 $0$ が存在する：任意の $x\in\Q$ に対して， $x+0=0+x=x$ が成り立つ．
2. 任意の $x\in\Q$ に対して， $-x$ が $x$ の逆元である： $x+(-x)=(-x)+x=0$ が成り立つ．
3. 有理数の足し算なので，[結合法則]は成り立つ．
4. 有理数の足し算なので，[交換法則]は成り立つ．
乗法単位元 $1$ が存在する：任意の $r\in\Q$ に対して， $1\cdot r=r\cdot 1=r$ が成り立つ．
有理数の掛け算なので，[結合法則]が成り立つ．
有理数の足し算と掛け算なので，[分配法則]は成り立つ．
有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立つ．

したがって，組 $(\Q,+,\cdot)$ が可換環であることが分かった．

例4

$\R$ 成分の $n$ 次正方行列の集合 $M_n(\R)$ と，通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(M_n(\R),+,\cdot)$ は環であるが，可換環ではない．

加法に関しては可換群である：
1. 加法単位元として，零行列 $O$ が存在する．
2. 任意の $A\in M_n(\R)$ に対して， $-A$ が $A$ の逆元である．
3. 通常の行列の加法 $+$ なので，[結合法則]は成り立つ．
4. 通常の行列の加法 $+$ なので，[交換法則]は成り立つ．
乗法単位元として，単位行列 $I$ が存在する．
通常の行列の乗法 $\cdot$ なので，[結合法則]は成り立つ．
通常の行列の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ なので，[分配法則]は成り立つ．
通常の行列の乗法 $\cdot$ なので，[交換法則]は成り立たない．

したがって，組 $(\R[x],+,\cdot)$ が環であるが，可換環ではないことが分かった．

体

この節では，体を定義し，体の例を挙げる．

体の定義

体の定義は次の通りである．

[体]　組 $(F,+,\cdot)$ が零環でない可換環であり，さらに加法単位元を除く全ての元に乗法 $\cdot$ に関する逆元が存在するとき， $(F,+,\cdot)$ を体(Field)であるという．

可換環においては，乗法 $\cdot$ に関する逆元は条件に含まれていない．そこで，可換環の全ての元に逆元が存在する，という条件を付け加えたものが体である．

要するに，体は可換な加乗除ができる集合ということである．

また，加法単位元 $0$ 以外の全ての元に逆元を持つ環を「可除環(division ring)」という．さらに，非可換な可除環を「斜体(skew field)」という．

ただし，「可除環」と「斜体」の定義を同じとする流儀もあり，斜体と書かれていても可換である可能性もあるので，その場合は文脈を確認されたい．

体の例

以下に体の例を挙げる．

例1

有理数の集合 $\Q$ と，通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\Q,+,\cdot)$ は体である．

環の例1で可換環であることは確かめた．また，乗法単位元は1であり，任意の $x\in\Q\setminus\{0\}$ に対して， $x$ の乗法 $\cdot$ に関する逆元 $\dfrac{1}{x}\in\Q$ が存在する．

したがって，組 $(\Q,+,\cdot)$ が体であることが分かった．

例2

$\mathbb{F}_7=\Z/7\Z=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ と，次で定まる加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$ は体である．

加法 $+$ ： $a,b\in\mathbb{F}_7$ に対して， $\Z$ の通常の加法で $a+b$ を計算して，7で割った余りを $\mathbb{F}_7$ の和とする．
乗法 $\cdot$ ： $a,b\in\mathbb{F}_7$ に対して， $\Z$ の通常の乗法で $a\cdot b$ を計算して，7で割った余りを $\mathbb{F}_7$ の積とする．

環の例2と同様に，イメージとしては $0,1,2,3,4,5,6,0,1,2,\dots$ のように $7$ になると $0$ に戻る演算だと思えば良い．また，環の例2と同様に考えて， $\mathbb{F}_7$ が可換環であることが分かる．

また，乗法単位元は $1$ であり，

$1\cdot1=1,\quad 2\cdot4=1,\quad 3\cdot5=1,\quad 6\cdot6=1$

だから，任意の $n\in\mathbb{F}_7\setminus\{0\}$ に対して， $n$ の乗法 $\cdot$ に関する逆元が存在する．

したがって，組 $(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$ が体であることが分かった．

一般に，素数 $p$ に対して $(\Z/p\Z,+,\cdot)$ は体となるので， $\Z/p\Z$ を $\mathbb{F}_p$ で表すことが多い．

例3

集合 $\Q[\sqrt{5}]=\set{a+b\sqrt{5}}{a,b\in\Q}$ と，通常の加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の組 $(\Q[\sqrt{5}],+,\cdot)$ は可換環である．

加法 $+$ と乗法 $\cdot$ が演算になっていることを確認せばならないが，それは任意の $a+b\ro{5},c+d\ro{5}\in\Q[\sqrt{5}]$ に対して，

$(a+b\sqrt{5})+(c+d\sqrt{5})=(a+b)+(c+d)\sqrt{5}\in\Q[\sqrt{5}],$
$(a+b\sqrt{5})\cdot(c+d\sqrt{5})=(ac+5bd)+(ad+bc)\sqrt{5}\in\Q[\ro{5}]$

だから，加法 $+$ と乗法 $\cdot$ は $\Q[\sqrt{5}]$ 上の演算である．

加法に関しては可換群である：
1. 加法単位元 $0$ が存在する：任意の $x\in\Q[\sqrt{5}]$ に対して， $x+0=0+x=x$ が成り立つ．
2. 任意の $x\in\Q[\sqrt{5}]$ に対して， $-x$ が $x$ の逆元である： $x+(-x)=(-x)+x=0$ が成り立つ．
3. 実数の足し算なので，[結合法則]は成り立つ．
4. 実数の足し算なので，[交換法則]は成り立つ．
乗法単位元 $1$ が存在する：任意の $x\in\Q[\sqrt{5}]$ に対して， $x\cdot r=x\cdot 1=x$ が成り立つ．
実数の掛け算なので，[結合法則]が成り立つ．
実数の足し算と掛け算なので，[分配法則]は成り立つ．
有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立つ．
任意の $a+b\sqrt{5}\in\Q[\sqrt{5}]$ に対して， $\f{a-b\sqrt{5}}{a^2-5b^2}\in\Q[\sqrt{5}]$ が逆元として存在する．

したがって，組 $(\Q[\sqrt{5}],+,\cdot)$ が体であることが分かった．

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クロより:

5月 25, 2018 6:30 am

環の定義の中の環が群になってますよ！
群（ring）

返信
1. yama-taku より:
  
  5月 25, 2018 4:00 pm
  
  ご指摘をありがとうございます．
  
  ご指摘の通り，環の定義で「環」と書くべきところを「群」と表記しておりました．
  誤植部分を修正しました．
  
  返信
TKD より:

8月 18, 2018 12:16 am

体の定義の記述部分についてです。
「乗法単位元０」と記述されているのですが、０は加法元ではないのですか？
大学数学を学び始めたばかり故、間違っていたら説明していただけると幸いです。

返信
1. yama-taku より:
  
  8月 18, 2018 12:54 am
  
  ご質問をありがとうございます．
  ご指摘の通り，0は乗法単位元ではなく，加法単位元でした．
  誤植部分を修正しました．
  
  高校までの数学が「論理的に問題を解けることを重視している」とすれば，大学からの数学は「厳密に数学の構造を理解することを重視している」と言えると思います．
  そのため，考え方や表現の仕方に戸惑うこともあるかと思いますが，ぜひ楽しんでください．
  
  返信
ごたんより:

10月 4, 2018 6:37 am

独学で代数学を勉強しております。専門書に載っている $(\Q,+,\cdot)$ のような表記の意味などが良くわからずとても苦戦しておりましたが、この記事のお陰で理解が深まりました。ありがとうございます！！

返信
1. yama-taku より:
  
  10月 5, 2018 4:59 am
  
  コメントをありがとうございます．
  お力になれたようで嬉しく思います！
  
  返信

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群と環と体の定義とそれらの例