群と環と体の定義とそれらの具体例

代数学は数学の構造を研究する分野であり，群，環，体上において理論が展開されることは非常に多いです．

群，環，体といった代数構造を定義するためには，集合と２項演算が必要となります．

例えば，

• 整数の集合$\Z$は通常の加法$+$によって「群」
• 実数係数の１変数多項式$\R[x]$の集合は通常の加法$+$と乗法$\cdot$によって「環」
• 実数の集合$\R$は通常の加法$+$と乗法$\cdot$によって「体」

となります．

この記事では，最初に２項演算を説明し，そのあとに群，環，体の定義とそれらの例を挙げます．

２項演算

まず，２項演算について説明します．

２項演算の定義

集合$X$上の２項演算を次で定めます．

以降，２項演算は単に演算と書きます．

演算の定め方は無数にあります．例えば，任意の$a,b\in\R$に対して

• $f(a,b)=ab$
• $f(a,b)=a+4b$
• $f(a,b)=b\sin^3{a}$

で定まる$f:\R\times\R\to\R$はいずれも演算です．

要するに，２つの元$a,b\in X$に対して，行き先が１つに決まればそれは演算というわけですね．そのため，演算が必ずしも「良い性質」をみたすとは限りません．

しかし，無茶苦茶な演算が定まった集合を考えてもそれほど有用な結果は得られそうにありませんから，「良い性質をもった演算」が定まっている集合を考えましょう．

２項演算の３法則

いま「良い性質をもった演算」と書きましたが，ここで「良い性質」とは

• 結合法則
• 交換法則
• 分配法則

のことを指しています．

[結合法則]と[交換法則]は１つの演算に関する性質であり，[分配法則]は２つの演算に関する性質であることに注意してください．

算数以来，これらの３法則は当たり前に成り立ってきましたが，特に交換法則は成り立たないことは珍しくなく，交換法則が成り立つことを可換といい，交換法則が成り立たないことを非可換といいます．

群

この節では，群を定義し，群の例を挙げます．

群の定義

群の定義は次の通りです．

条件1の$e\in G$を単位元 (identity element)といい，条件2の$h\in G$を$g$の逆元 (inverse element)といいます．

単位元は全ての元に対して$e\cdot g=g\cdot e=g$を満たさなければなりませんが，逆元は$g\in G$ごとに決まることに注意してください．

群の定義から分かるように，群は「集合」と「演算」により定まるわけですね．

そのため，「自然数の集合$\N$は群か？」と問われても，演算が何であるか分からないため群であるかどうか答えようがなく，「$\N$に定義されている演算は何ですか？」と逆に問い返すことになりますね．

乗法と加法

群における慣習的な「乗法」と「加法」という言葉の使い分け方について説明します．

可換群の場合にも非可換群の場合にも群に定まっている演算は「乗法」と呼ばれることが多く，「乗法」と言う場合には演算の記号は$\cdot$で表すことが多いです．

一方，群に定まっている演算を「加法」と言った場合には，その演算は可換であることが普通です．すなわち，非可換な演算に「加法」ということはまずありません．

乗法による計算結果を積，加法による計算結果を和といいます．

また，乗法$\cdot$の記号はよく省略しますが，加法$+$の記号は省略しません．

さらに，乗法に関する$g$の逆元は$g^{-1}$で表し，加法に関する$g$の逆元は$-g$で表します．

群の例

以下に群の例を挙げます．

例１

１つの元のみからなる集合$X=\{x\}$を考えます．

このとき，$X$上の演算は$(x,x)\mapsto x$しかあり得ませんが，この演算を乗法$\cdot$とすることにより$(X,\cdot)$は可換群となります．

この群１つの元のみからなる集合を自明な群(trivial group)といいます．

例２

整数の集合$\Z$と，通常の加法$+$の組$(\Z,+)$を考えます．

ここで，「通常の加法」とは小学校から扱ってきた単なる足し算のことで，

1. 任意の$n\in\Z$に対して$n+0=0+n=n$が成り立つので，単位元は０です．
2. 任意の$n\in\Z$に対して$n+(-1)n=(-1)n+n=0$が成り立つので$-n=(-1)n$です．
3. 整数の足し算なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 整数の足し算なので，[交換法則]は成り立ちます．

よって，組$(\Z,+)$が可換群であることが分かりました．

例３

有理数の集合から０を除いた集合$\Q\setminus\{0\}$と，通常の乗法$\cdot$の組$(\Q\setminus\{0\},\cdot)$を考えます．

ここで，「通常の乗法」とは小学校から扱ってきた単なる掛け算のことで，

1. ：任意の$x\in\Q\setminus\{0\}$に対して$1\cdot x=x\cdot1=x$が成り立つので，単位元は１です．
2. 任意の$x\in\Q\setminus\{0\}$に対して$x\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}\cdot x=1$が成り立つので，$x^{-1}=\dfrac{1}{x}$です．
3. 有理数の掛け算なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立ちます．

よって，組$(\Q\setminus\{0\},\cdot)$が可換群であることが分かりました．

例４

整数の集合$\Z$と，通常の乗法$\cdot$の組$(\Z,\cdot)$を考えます．

1. ：任意の$n\in\Z$に対して$1\cdot n=n\cdot1=n$が成り立つので，単位元は１です．
2. $2\in\Z$に対して$2\cdot n=1$をみたすような$\Z$の元は存在しません．よって，$2\in\Z$は逆元を持ちません．

群は任意の元に逆元を持たなければならりませんから，組$(\Z,\cdot)$は群ではありません．

なお，ここで

• 例２と例４を比較すれば，同じ集合であっても演算が異なれば群であったりなかったりする
• 例３と例４を比較すれば，同じ演算であっても集合が異なれば群であったりなかったりする

ということに注意してください．

例５

成分が$\R$の$(m,n)$型行列の集合$\Mat_{mn}(\R)$と，通常の加法$+$の組$(\Mat_{mn}(\R),+)$は可換群です．

1. 任意の$A\in\Mat_{mn}(\R)$に対して$A+O=O+A=A$が成り立つので，単位元は零行列$O$です．
2. 任意の$A\in\Mat_{mn}(\R)$に対して$A+(-1)A=(-1)A+A=0$が成り立つので，$(-1)A$が$A$の逆元です．
3. 各成分で$\R$の加法なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 各成分で$\R$の加法なので，[交換法則]は成り立ちます．

よって，組$(\Mat_{mn}(\R),+)$が可換群であることが分かりました．

例６

成分が$\R$の$n$次正則行列の集合$\mathrm{GL}_n(\R)$と，通常の乗法$\cdot$の組$(\mathrm{GL}_n(\R),\cdot)$は群ですが，可換ではありません．

1. 任意の$A\in\mathrm{GL}_n(\R)$に対して$AI=IA=A$が成り立つので，単位元は単位行列$I$です．
2. 任意の$A\in\mathrm{GL}_n(\R)$に対して，逆行列$A^{-1}$が$A$の逆元です．
3. 行列の積なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 行列の積なので，[交換法則]は成り立ちません．

よって，組$(\mathrm{GL}_n(\R),\cdot)$は群ですが，可換群ではないことが分かりました．

$(\mathrm{GL}_n(\R),+)$を一般線形群 (general linear group)といいます．

例７

$n$次の置換全体の集合$S_n$と，置換の合成$\circ$として定まる積$\cdot$の組$(S_n,\cdot)$は群ですが，可換ではありません．

1. $\epsilon\in S_n$を単位置換とすると，任意の$\sigma\in S_n$に対して$\sigma\cdot\epsilon=\epsilon\cdot\sigma=\sigma$が成り立つので，単位元は$\epsilon$です．
2. 任意の$\sigma\in S_n$に対して，$\sigma^{-1}$が$\sigma$の逆元です．
3. 置換の積(合成)なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 置換の積(合成)なので，[交換法則]は成り立ちません．

よって，組$(S_n,\cdot)$は群ですが，可換群ではないことが分かりました．

$(S_n,\cdot)$を$n$次対称群 (symmetric group)といいます．

参考文献

なお，本書について，詳しくは以下の書評を参照してください．

環

この節では，環を定義し，環の例を挙げます．

環の定義

環の定義は次の通りです．

条件１の加法$+$に関する単位元を加法単位元 (additive identity)と零元 (zero element)といい０で表し，条件２の$e\in R$を乗法単位元 (multiplicative identity)といい１で表します．

条件１は加法$+$に関する条件であり，条件２と条件３は乗法$\cdot$に関する条件ですね．さらに，条件4は加法と乗法に関する条件です．

条件４によって，加法$+$と乗法$\cdot$は別々に勝手にとっていいわけではなく，[分配法則]が成り立つ程度に加法$+$と乗法$\cdot$の整合性を保っていなければならないというわけですね．

また，環においては，乗法$\cdot$に関して，逆元を持たない元があっても構いません．

群においてもそうでしたが，「有理数の集合$\Q$は環か？」などと問われても，演算が何であるか分からないため環であるかどうか答えようがなく，「$\Q$に定義されている加法と乗法は何ですか？」と逆に問い返すことになります．

環の例

以下に環の例を挙げます．

例１

１つの元のみからなる集合$X=\{x\}$を考えます．

このとき，$X$上の演算は$(x,x)\mapsto x$しかあり得ませんが，この演算を加法$+$と乗法$\cdot$とすることにより$(X,+,\cdot)$は可換環となります．

この群１つの元のみからなる集合を零環(zero ring)といいます．

環に関する多くの理論は加法単位元０と乗法単位元１が異なるとして考える方が都合が良く，これらが一致する零環には一般論が通用せず都合が悪いことが多いです．

そのため，環を考える際には初めから$0\neq1$として零環を除いておくことが多いです．

例２

有理数の集合$\Q$と，通常の加法$+$と乗法$\cdot$の組$(\Q,+,\cdot)$は可換環です．

1. 加法$+$に関して$\Q$は可換群です：
   1. 任意の$x\in\Q$に対して$x+0=0+x=x$が成り立つので，加法単位元は０です．
   2. 任意の$x\in\Q$に対して$x+(-1)x=(-1)x+x=0$が成り立つので，$-x=(-1)x$です．
   3. 有理数の足し算なので，[結合法則]は成り立ちます．
   4. 有理数の足し算なので，[交換法則]は成り立ちます．
2. 任意の$r\in\Q$に対して$1\cdot r=r\cdot 1=r$が成り立つので，乗法単位元は１です．
3. 有理数の掛け算なので，[結合法則]が成り立ちます．
4. 有理数の足し算と掛け算なので，[分配法則]は成り立ちます．
5. 有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立ちます．

したがって，組$(\Q,+,\cdot)$が可換環であることが分かりました．

例３

$\Z/6\Z=\{0,1,2,3,4,5\}$において，加法$+$と乗法$\cdot$を

• 加法$+$：$a,b\in\Z/6\Z$に対して，$\Z$の通常の加法で$a+b$を計算して，６で割った余りを$\Z/6\Z$の和とする．
• 乗法$\cdot$：$a,b\in\Z/6\Z$に対して，$\Z$の通常の乗法で$a\cdot b$を計算して，６で割った余りを$\Z/6\Z$の積とする．

と定めると，組$(\Z/6\Z,+,\cdot)$は可換環です．

例えば，加法に関しては

• $1+2=3$
• $2+3=5$
• $3+5=2$

であり，乗法に関しては

• $1\cdot3=3$
• $2\cdot3=0$
• $3\cdot5=3$

ですね．イメージとしては，$0,1,2,3,4,5,0,1,2,\dots$のように６になると０に戻る演算だと思えばよいですね．

1. 加法$+$に関して$\Z/6\Z$は可換群です：
   1. 任意の$x\in\Z/6\Z$に対して$n+0=0+n=n$が成り立つので，加法単位元は０です．
   2. $0+0=0$, $1+5=5+1=0$, $2+4=4+2=0$, $3+3=0$なので，$-0=0$, $-1=5$, $-2=4$, $-3=3$, $-4=2$, $-5=1$となって，任意の$n\in\Z/6\Z$に対して，$n$の逆元が存在します．
   3. $\Z$の通常の加法$+$では[結合法則]が成り立つから，$\Z$の計算をして６で割った余りを考えることで[結合法則]は成り立ちます．
   4. $\Z$の通常の加法$+$では[交換法則]が成り立つから，$\Z$の計算をして６で割った余りを考えることで[交換法則]は成り立ちます．
2. 任意の$n\in\Z/6\Z$に対して$1\cdot n=n\cdot 1=n$が成り立つので，乗法単位元は１です．
3. $\Z$の通常の乗法$\cdot$では[結合法則]が成り立つので，$\Z$の計算をして６で割った余りを考えることで[結合法則]は成り立ちます．
4. $\Z$の通常の加法$+$と乗法$\cdot$では[分配法則]が成り立つので，$\Z$の計算をして６で割った余りを考えることで[分配法則]は成り立ちます．
5. $\Z$の通常の乗法$\cdot$では[交換法則]が成り立つので，$\Z$の計算をして６で割った余りを考えることで[交換法則]は成り立ちます．

したがって，組$(\Z/6\Z,+,\cdot)$が可換環であることが分かりました．

例４

$\R$成分の$n$次正方行列の集合$M_n(\R)$と，通常の加法$+$と乗法$\cdot$の組$(M_n(\R),+,\cdot)$は環ですが，可換環ではありません．

1. 加法$+$に関して$M_n(\R)$は可換群です：
   1. 加法単位元は零行列$O$です．
   2. 任意の$A\in M_n(\R)$に対して，$(-1)A$が$A$の逆元です．
   3. 通常の行列の加法$+$なので，[結合法則]は成り立ちます．
   4. 通常の行列の加法$+$なので，[交換法則]は成り立ちます．
2. 乗法単位元は単位行列$I$です
3. 通常の行列の乗法$\cdot$なので，[結合法則]は成り立ちます．
4. 通常の行列の加法$+$と乗法$\cdot$なので，[分配法則]は成り立ちます．
5. 通常の行列の乗法$\cdot$なので，[交換法則]は成り立ちません．

したがって，組$(M_n(\R),+,\cdot)$が環ですが，可換環ではないことが分かりました．

体

この節では，体を定義し，体の例を挙げます．

体の定義

体の定義は次の通りです．

可換環においては，乗法$\cdot$に関する逆元は条件に含まれていませんでした．

そこで「可換環の全ての元に逆元が存在する」という条件を付け加えたものが体というわけです．

要するに，体は可換な加乗除ができる集合ということですね．

また，加法単位元０以外の全ての元に逆元を持つ環を可除環 (division ring)といいます．さらに，非可換な可除環を斜体 (skew field)という．

ただし，「可除環」と「斜体」の定義を同じとする流儀もあるので注意が必要です．

体の例

以下に体の例を挙げます．

例１

有理数の集合$\Q$と，通常の加法$+$と乗法$\cdot$の組$(\Q,+,\cdot)$は体です．

環の例１で可換環であることは確かめました．

また，乗法単位元は１であり，任意の$x\in\Q\setminus\{0\}$に対して，$x$の乗法$\cdot$に関する逆元$\dfrac{1}{x}\in\Q$が存在します．

したがって，組$(\Q,+,\cdot)$が体であることが分かりました．

例２

$\mathbb{F}_7=\Z/7\Z=\{0,1,2,3,4,5,6\}$において，加法$+$と乗法$\cdot$を

• 加法$+$：$a,b\in\mathbb{F}_7$に対して，$\Z$の通常の加法で$a+b$を計算して，７で割った余りを$\mathbb{F}_7$の和とする．
• 乗法$\cdot$：$a,b\in\mathbb{F}_7$に対して，$\Z$の通常の乗法で$a\cdot b$を計算して，７で割った余りを$\mathbb{F}_7$の積とする．

と定めると，組$(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$は体です．

環の例３と同様にイメージとしては$0,1,2,3,4,5,6,0,1,2,\dots$のように７になると０に戻る演算だと思えばよく，環の例３と同様に考えて$\mathbb{F}_7$が可換環であることが分かります．

また，乗法単位元は１であり，

   

なので，任意の$n\in\mathbb{F}_7\setminus\{0\}$に対して，$n$の乗法$\cdot$に関する逆元が存在します．

よって，組$(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$が体であることが分かりました．

一般に素数$p$に対して$(\Z/p\Z,+,\cdot)$は体となり，$\Z/p\Z$を$\mathbb{F}_p$で表すことが多いです．

例３

集合$\Q[\sqrt{5}]=\set{a+b\sqrt{5}}{a,b\in\Q}$と，通常の加法$+$と乗法$\cdot$の組$(\Q[\sqrt{5}],+,\cdot)$は可換環です．

加法$+$と乗法$\cdot$が演算になっていることを確認しなければなりませんが，それは任意の$a+b\sqrt{5},c+d\sqrt{5}\in\Q[\sqrt{5}]$に対して，

   

なので，確かに加法$+$と乗法$\cdot$は$\Q[\sqrt{5}]$上の演算ですね．

1. 加法$+$に関して$\Q[\sqrt{5}]$は可換群です：
   1. 任意の$x\in\Q[\sqrt{5}]$に対して$x+0=0+x=x$が成り立つので，加法単位元は０です．
   2. 任意の$x\in\Q[\sqrt{5}]$に対して$x+(-x)=(-x)+x=0$が成り立つので，$-x$が$x$の逆元です．
   3. 実数の足し算なので，[結合法則]は成り立ちます．
   4. 実数の足し算なので，[交換法則]は成り立ちます．
2. 任意の$x\in\Q[\sqrt{5}]$に対して$1\cdot x=x\cdot 1=x$が成り立つので，乗法単位元は１です．
3. 実数の掛け算なので，[結合法則]が成り立ちます．
4. 実数の足し算と掛け算なので，[分配法則]は成り立ちます．
5. 有理数の掛け算なので，[交換法則]は成り立ちます．
6. $\Q[\sqrt{5}]$の$0$でない任意の元$a+b\sqrt{5}$に対して，$\dfrac{a-b\sqrt{5}}{a^2-5b^2}\in\Q[\sqrt{5}]$が逆元として存在します．

したがって，組$(\Q[\sqrt{5}],+,\cdot)$が体であることが分かりました．

参考文献