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書評/代数学1 群論入門(雪江明彦著,日本評論社)

  
代数学1 群論入門
   

【書名】 代数学1 群論入門

【著者】 雪江明彦

【出版】 日本評論社

群論の入門書.続巻として2巻,3巻がある.

2巻:代数学2 環と体とガロア理論 (雪江明彦 著,日本評論社)

3巻:代数学3 代数学の広がり (雪江明彦 著,日本評論社)

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全体の感想

代数は抽象的な部分が多く,定義を読んで即座に理解することは難しい.

しかし,代数は一度分かってしまえば,当たり前に思える事項も多い.とくに,代数の初歩はそれが顕著である.

そのためか,多くの代数の本は基本的な部分を深く説明することなく,説明を進めてしまっているように私は感じる.これでは,初学者が代数を独学で学ぶにはハードルが高くなってしまう.

つまり,多くの代数の本は初学者向けではなく,一度何らかの形で代数を学んだ人向けの本であることが多いように私は感じる.

一方,雪江先生のこの「群論入門」は基本的な部分から説明が非常に丁寧で行間も少ない.例が非常に豊富なので,代数の抽象的な概念を具体的に理解することができる.

また,章末問題もこれまた非常に豊富である.例題として扱った問題が自分の手で解けるかの確認として,有効に活用できる.

抽象論といっても,やはり具体例を一般化させたものに過ぎないことがほとんどである.このことを考えると,抽象論こそ具体例を理解することが重要であろう.

その意味で,例が豊富なこの「群論入門」は,独学で代数を学ぶ人にもオススメできるし,授業の補助としての活躍も期待できる.

必要な知識

集合論

写像の知識は欲しいところだが,第1章で集合論がまとめてあるので,分からなくなったら第1章を読み返せば良い.

ただし,選択公理,ツォルンの補題に関しては,(この本ではほとんど用いないが,理解したいならば)集合論の教科書でしっかり学んだ方が良い.

たとえば,集合論の教科書としては【集合・位相入門】(松坂和夫 著,岩波書店)などがある.

線形代数学

非可換な演算の例として行列がよく例に用いられるので,行列の計算,行列式などには慣れておくことが望まれる.

また,線形代数では行列式を定義するための役目程度に留まっていた置換が,重要な群(対称群や交代群)に登場するので置換もしっかり復習しておきたい.

良い点と悪い点

良い点

  • 説明が非常に丁寧で,例が豊富.
  • 第1章「集合論」でwell-defined性について詳しく説明している.ここまでwell-defined性を詳しく説明している本は多くないであろう.
  • 演習問題が非常に多い.
  • 群を学ぶ理由について一つの章を充てている.群論がどのように応用されるかを知ることは,群を学ぶ興味をもつという面でも重要であろう.

不満な点

  • 可解群の応用が分かりにくい(が,これについては2巻4章10節の「方程式の可解性」の中で詳しく説明される).

目次

第1章:集合論

  1. 集合と論理の復習
  2. well-definedと自然な対象
  3. 選択公理とツォルンの補題
  4. 集合の濃度

第2章:群の基本

  1. 群の定義
  2. 環・体の定義
  3. 部分群と生成元
  4. 元の位数
  5. 準同型と同型
  6. 同値関係と剰余類
  7. 両側剰余類
  8. 正規部分群と剰余群
  9. 群の直積
  10. 準同型定理

第3章:群を学ぶ理由

  1. 3次方程式と4次方程式の解法
  2. なぜ群を学ぶか
  3. 群のどのような性質を調べるか

第4章:群の作用とシローの定理

  1. 群の作用
  2. 対称群の共役類
  3. 交換子群と可解群
  4. p
  5. シローの定理
  6. 生成元と関係式
  7. 位数12の群の分類
  8. 有限アーベル群
  9. 交代群
  10. 正多面体群

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