書評|代数学1 群論入門(雪江明彦著/日本評論社)

この記事では「代数学1 群論入門」(雪江明彦著/日本評論社)を紹介します.

本書は群論の入門書です.

続巻として

  • 「代数学2 環と体とガロア理論」
  • 「代数学3 代数学の広がり」

があります.

本書は具体例が豊富な上に解説が非常に丁寧で,非常に理解しやすいのが特徴です.

群論の導入書として,強くオススメできる好著である.

目次

第1章:集合論

  1. 集合と論理の復習
  2. well-definedと自然な対象
  3. 選択公理とツォルンの補題
  4. 集合の濃度

第2章:群の基本

  1. 群の定義
  2. 環・体の定義
  3. 部分群と生成元
  4. 元の位数
  5. 準同型と同型
  6. 同値関係と剰余類
  7. 両側剰余類
  8. 正規部分群と剰余群
  9. 群の直積
  10. 準同型定理

第3章:群を学ぶ理由

  1. 3次方程式と4次方程式の解法
  2. なぜ群を学ぶか
  3. 群のどのような性質を調べるか

第4章:群の作用とシローの定理

  1. 群の作用
  2. 対称群の共役類
  3. 交換子群と可解群
  4. $p$群
  5. シローの定理
  6. 生成元と関係式
  7. 位数12の群の分類
  8. 有限アーベル群
  9. 交代群
  10. 正多面体群

必要な知識

集合論

写像と集合は数学の言葉です.

本書を読むためにはこれらの知識は必須ですが,第1章で集合論がまとめてあるので第1章を参照しながら読み進めることも可能です.

とはいえ,特に理論系の人は集合論もきちんと別に勉強すべきでしょう.

集合論の教科書として,以下の本はロングセラーの好著でオススメです.

線形代数学

線形代数学が本質的に扱われることはありませんが,具体例としてよく現れるので習得していることが望まれます.

行列の積が非可換な演算の例としてよく用いられるので,行列の計算,行列式あたりまで理解していればひとまず具体例も読むことができるでしょう.

また,線形代数では行列式を定義する際に置換を用いますが,置換は代数学の重要な具体例として登場します.

そのため,置換の性質も復習しておきたいところです.

良い点と悪い点

良い点

  • 具体例が豊富であり,それぞれの説明も丁寧.
  • 第1章の「集合論」でwell-defined性について詳しく説明している.ここまでwell-defined性を詳しく説明している本は多くない.
  • 演習問題が非常に多い.また「よくある誤答例」のようなポイントがあるのも理解の助けになる.
  • 群を学ぶ理由について第3章を丸々充てている.群論がどのように応用されるかを知ることは,群を学ぶ興味をもつという面でも重要であろう.

不満な点

  • 可解群の応用が分かりにくい(が,これについては2巻4章10節の「方程式の可解性」の中で詳しく説明される).

全体の感想

一般に代数学は抽象的な部分が多く,定義を読んで即座に理解することが難しいことも少なくありません.

一方で,代数学は一度分かってしまえば当たり前に思える事項も多い分野でもあります.

そのため著者が簡単に思ってしまうからか,多くの代数学の教科書は基本的な部分を深く説明することなく,説明を進めてしまっているように私は感じます.

これでは初学者が代数を独学で学ぶにはハードルが高くなってしまい,多くの代数の本は初学者には読みづらいものとなってしまいます.

この点で本書は基本的な部分から丁寧に解説されている本書は,初学者にとっても非常に読み進めやすいものとなっています.

抽象論をよく理解するために具体例を理解することは重要で,本書は具体例と問題が豊富なので代数の抽象的な概念を具体的に理解することができるのが素晴らしい点です.

この意味で,これまで群論をよく理解できなかった人や初学者に強くオススメできる一冊となっています.

最後までありがとうございました!

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