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一様可積分性の判定条件|十分条件と必要十分条件

一様可積分性をもつ確率変数列は,積分と極限の順序交換に関する[Vitaliの収束定理]が成り立ちます.

[Vitaliの収束定理]は一様可積分な確率変数列が0に概収束していれば期待値も0に収束することが言えるため,[Lebesgueの収束定理]とは違って優関数をとってこなくても適用できる点が大きなメリットです.

この[Vitaliの収束定理]については前回の記事で説明したので参照してください.

したがって,[Vitaliの収束定理]を適用するには,確率変数列が一様可積分であることを判定する必要があリマス.

今回の記事では一様可積分性が成り立つための

  • 十分条件
  • 必要十分条件

を説明します.

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一様可積分性の確認

まずは一様可積分の定義を確認しておきます.

[一様可積分] 実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が

\begin{align*} \lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}=0 \end{align*}

を満たすとき,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分(uniformly integrable)であるという.

ただし,確率空間を$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$とし,$\mathbb{E}$は期待値です:

\begin{align*} \mathbb{E}[X]=\int_{\Omega}X_n(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega). \end{align*}

また,集合$A\subset\Omega$に対して$I_{A}$は$A$上の定義関数です:

\begin{align*} I_{A}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A,\\0&\omega\notin A.\end{cases} \end{align*}

一様可積分性の十分条件

一様可積分の十分条件を2つ示します.

十分条件1

確率関数列に優関数が存在すれば,一様可積分となります.

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について,可積分な確率変数$X$が存在して,任意の$n\in\N$, $\omega\in\Omega$に対して$|X_n(\omega)|\le X(\omega)$が成り立てば,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

確率変数族$\{|X|I_{|X|\ge\lambda}\}_{\lambda>0}$について,

  • $\{|X|I_{|X|\ge\lambda}\}_{\lambda>0}$は$\lambda\to0$で0に概収束し,
  • 任意の$\omega\in\Omega$に対して$\abs{|X(\omega)|I_{|X|\ge\lambda}(\omega)}\le X(\omega)$が成り立ち,
  • 仮定より$X$は可積分である.

よって,Lebesgueの収束定理が適用できて,

\begin{align*} \lim_{\lambda\to\infty}\mathbb{E}\brc{|X|I_{|X|\ge\lambda}}=0 \end{align*}

が成り立つ.仮定より,任意の$n\in\N$に対して$|X_n|\le X$だから,

\begin{align*} \mathbb{E}\brc{|X_n|I_{|X_n|\ge\lambda}} \le&\mathbb{E}\brc{|X|I_{|X_n|\ge\lambda}} \\\le&\mathbb{E}\brc{|X|I_{|X|\ge\lambda}} \\\to&0\quad (\lambda\to\infty) \end{align*}

が成り立つ.よって,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

例えば,可積分な実数値確率変数$X$に対して,$X=X_1=X_2=\dots$で定まる確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$ (全ての項が$X$の確率変数列)は一様可積分です.

実際,$X$が可積分であることから,$|X|$も可積分で$|X_n|\le |X|$をみたします.

すなわち,$|X|$を優関数にとれるので,$\{X\}_{n\in\N}$は一様可積分となります.

十分条件2

1次より大きい増大をもち,期待値を有限にする正値関数が存在すれば,一様可積分となります.

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について,Borel可測関数$\psi:\R\to\R_{>0}$が存在して,

\begin{align*} &\lim_{|x|\to\infty}\dfrac{|x|}{\psi(x)}=0, \\&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]<\infty \end{align*}

が同時に成り立てば,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

任意の$\epsilon>0$をとる.2つ目の条件式より,

\begin{align*} M:=\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]<\infty \end{align*}

が成り立つ.1つ目の条件式より,ある$R>0$が存在して,$|x|\ge R$なら

\begin{align*} \dfrac{|x|}{\psi(x)}<\frac{\epsilon}{M} \iff|x|<\frac{\epsilon\psi(x)}{M} \end{align*}

が成り立つので,

\begin{align*} &\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{\frac{\epsilon\psi(X_n)}{M} I_{\{|X_n|\ge R\}}} \\=&\frac{\epsilon}{M}\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{\psi(X_n) I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\\le&\frac{\epsilon}{M}\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)]} \\=&\frac{\epsilon}{M}\times M =\epsilon \end{align*}

だから,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

この系として,$L^p(\Omega)$上の確率変数列は一様可積分となることが分かります.

$p$乗可積分な確率変数列は一様可積分である.

関数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が$p$乗可積分であるとする:

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|^p]<\infty. \end{align*}

このとき,$\psi(x)=|x|^p$ととれば,

\begin{align*} \lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|}{\psi(x)} =&\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|}{|x|^p} \\=&\lim_{|x|\to\infty}|x|^{1-p} =0, \\\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[\psi(X_n)] =&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|^p] <\infty \end{align*}

が成り立つから,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

一様可積分性の必要十分条件

次に,一様可積分の必要十分条件について説明します.

この必要十分条件を用いれば,一様可積分な2つの確率変数列の和も一様可積分であることを容易に示すことができます.

一様可積分性の必要十分条件

以下は一様可積分の必要十分条件です.

実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$について,$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることと,次が同時に成り立つことは同値である.

  1. $\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$が成り立つ.
  2. 任意の$\epsilon>0$に対して,ある$\delta>0$が存在して,$A\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\delta$をみたすなら$\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{A}]<\epsilon$が成り立つ.

[必要性の証明] 実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であるとする.

このとき,1つ目の条件$\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$が成り立つことは次の記事で示した.

よって,2つ目の条件を示せばよい.

任意に$\epsilon>0$をとる.$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることから,ある$R>0$が存在して,

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}

が成り立つ.ここで,$A\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\frac{\epsilon}{2R}$とすると,

\begin{align*} &\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{A}] \\=&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{A\cap\{|X_n|\ge R\}}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{A\cap\{|X_n|<R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}+\mathbb{E}\brc{R I_{A\cap\{|X_n|<R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}+R\mathbb{E}\brc{I_{A}}} \\\le&\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|<R\}}}}+R\mathbb{P}(A) \\<&\frac{\epsilon}{2}+R\cdot\frac{\epsilon}{2R} =\epsilon \end{align*}

となって,2つ目の条件も成り立つ.

[十分性の証明] 実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が2つの条件を同時に満たすとし,1つ目の条件について$M:=\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$とする.

任意の$\lambda>0$に対して,$\delta=\frac{2M}{\lambda}$とすると,

\begin{align*} &\mathbb{P}\bra{\set{\omega\in\Omega}{|X_n(\omega)|\ge\lambda}} \\=&\mathbb{E}\brc{I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}} \\\le&\mathbb{E}\brc{\frac{|X_n|}{\lambda}I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}} \\=&\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}} \\\le&\frac{1}{\lambda}\mathbb{E}\brc{|X_n|} \\\le&\frac{M}{\lambda} =\frac{\delta}{2} <\delta \end{align*}

が成り立つから,2つ目の条件より

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}]<\epsilon \end{align*}

が成り立つ.すなわち,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

一様可積分と和

一様可積分な確率変数列の和は一様可積分となります.

一様可積分な2つの確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$, $\{Y_n\}_{n\in\N}$に対して,$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

一様可積分性の必要十分条件より,$\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]<\infty$, $\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|]<\infty$が成り立つから,

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n+Y_n|] \le&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|+|Y_n|] \\=&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[|X_n|]+\mathbb{E}[|Y_n|]} \\\le&\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|]}+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|]} \\<&\infty \end{align*}

が成り立つ.

また,一様可積分性の必要十分条件より,任意の$\epsilon>0$に対して,ある$\delta,\eta>0$が存在して,$A,B\in\mathcal{F}$が$\mathbb{P}(A)<\delta$, $\mathbb{P}(B)<\eta$をみたすなら$\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{A}]<\frac{\epsilon}{2}$, $\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|I_{B}]<\frac{\epsilon}{2}$が成り立つ.

よって,$\mathbb{P}(C)<\min\{\delta,\eta\}$を満たす$C\in\mathcal{F}$をとると,

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{C}]<\frac{\epsilon}{2},\quad \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|I_{C}]<\frac{\epsilon}{2} \end{align*}

が成り立つ.よって,

\begin{align*} &\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n+Y_n|I_{C}] \\\le&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|+|Y_n|I_{C}] \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[|X_n|I_{C}]+\mathbb{E}[|Y_n|I_{C}]} \\\le&\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{C}]}+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|Y_n|I_{C}]} \\<&\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} <\epsilon \end{align*}

が成り立つ.

以上より,$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分性の必要十分条件を満たすことが分かったから,$\{X_n+Y_n\}_{n\in\N}$は一様可積分である.

参考文献

確率論 (舟木直久著,朝倉書店)

本書は確率論の入門書である.

全体を通して丁寧に書かれており,初学者にも読み始めやすい教科書である.

第1章で

  • 確率論における基礎的な概念について整理されている点
  • 確率論の重要なテーマである「大数の法則」と「中心極限定理」の概観がなされている点

は非常にありがたい.

また,確率論では確率変数の扱いとしてLebesgue積分が必須の知識である.

このため,第2章ではLebesgue積分など測度論に関する基本的な知識について丁寧に整理されているので,必要に応じて第2章を参照することによりLebesgue積分について習熟していなくても読み進めやすくなっている.

最後までありがとうございました!

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