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一様可積分とヴィタリの収束定理|ルベーグの収束定理の一般化

前回の記事で,確率変数列の基本の収束については

  • 概収束平均収束の間に関係はなく
  • 確率収束しても平均収束しない

のでした.しかし,一様可積分性のもとで確率変数列の収束を考えると

  • 概収束すれば1次平均収束する
  • 1次平均収束と確率収束は同値である

ということが示されます.

とくに前者は[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]と呼ばれ,[Lebesgue(ルベーグ)の収束定理]の一般化となっています.

この記事で[Vitali(ヴィタリ)の収束定理]の証明をし,一様可積分性のもとで1次収束平均と確率収束が同値であることは次の記事で証明する.

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一様可積分

一様可積分性は有限測度空間上の可測関数列に対して定義できますが,同様に考えることができるので,この記事では確率空間上の確率変数列の一様可積分性を考えます.

この記事では,$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$を確率空間とし,$\mathbb{E}$で期待値を表します:

\begin{align*} \mathbb{E}[X]=\int_{\Omega}X_n(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega). \end{align*}

また,集合$A\subset\Omega$上の定義関数を$I_{A}$で表します:

\begin{align*} I_{A}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A,\\0&\omega\notin A.\end{cases} \end{align*}

一様可積分性

[一様可積分] 実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が

\begin{align*} \lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}}=0 \end{align*}

を満たすとき,$\{X_n\}_{n\in\N}$は一様可積分(uniform integrable)であるという.

すなわち,$\lambda\to\infty$とするとき,$n$によらず一様に$|X_n(\omega)|>\lambda$を満たす$\omega\in\Omega$での$|X_n|$の期待値が0となることを一様可積分といいます.

また,この定義式は

\begin{align*} &\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\Omega}|X_n(\omega)|I_{\{|X_n|\ge\lambda\}}(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega)=0 \\\iff&\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\int_{\{|X_n|\ge\lambda\}}|X_n(\omega)|\,\mathbb{P}(d\omega)=0 \\\iff&\lim_{\lambda\to\infty}\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|,|X_n|\ge\lambda]=0 \end{align*}

とも書けます.

また,一様可積分性が成り立つための

  • 十分条件
  • 必要十分条件

なども知られており,これらについては次の記事を参照してください.

一様可積分と概収束

一様可積分な確率変数列の極限について,のちに用いる補題を示しておきます.

一様可積分な確率変数列が概収束するとき,確率変数列の期待値は一様に有界で,極限の確率変数の期待値も有限となります.

[補題] 一様可積分な確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$に対して,$X_n$の期待値は$n$によらず一様に有界である:$\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[X_n]<\infty$.

さらに,確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が確率変数$X$に概収束するとき,$X$は可積分($X$の期待値は有限)である:$\mathbb{E}[X]<\infty$.

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が確率変数$X$に概収束するとは,ほとんど全ての$\omega\in\Omega$に対して,$X_n(\omega)\to f(\omega)$ ($n\to\infty$)が成り立つことをいうのであった:

\begin{align*} \mathbb{P}\bra{\set{\omega\in\Omega}{\lim_{n\to\infty}|X_n(\omega)-X(\omega)|=0}}=1. \end{align*}

確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が一様可積分であることから,ある$R>0$が存在して

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}]<1 \end{align*}

が成り立つ.よって

\begin{align*} \sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|] =&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{|X_n|<R}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}\brc{R I_{|X_n|<R}}+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\\le&\sup_{n\in\N}\bra{\mathbb{E}[R]+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\=&\sup_{n\in\N}\bra{R+\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\=&R+\bra{\sup_{n\in\N}\mathbb{E}\brc{|X_n|I_{\{|X_n|\ge R\}}}} \\<&R+1 <\infty \end{align*}

である.また,Fatou(ファトゥー)の補題より

\begin{align*} \mathbb{E}[|X|] \le&\liminf_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|] \\\le&\sup_{n\in\N}\mathbb{E}[|X_n|] <\infty \end{align*}

が成り立つ.

Lebesgueの収束定理とVitaliの収束定理

それでは,本題の[Lebesgueの収束定理]と[Vitaliの収束定理]について述べる.

これらはいずれも極限と積分の順序交換に関する定理である.

Lebesgueの収束定理

[Lebesugueの収束定理]は以下の通りである.

[Lebesgueの収束定理] $\R^d$上の関数列$\{f_n\}_{n\in\N}$と関数$f$が以下を満たすとする.

  • ほとんど全ての$x\in\R^d$に対して,$f_n(x)\to f(x)$ $(n\to\infty)$が成り立つ.
  • 実数値関数$g$が存在して,任意の$x\in\R^d$に対して$|f_n(x)|<g(x)$を満たす.
  • $g\in L^1(\R^d)$である.

このとき,

\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\int_{\R^d}|f_n(x)-f(x)|\,dx=0 \\\iff&\lim_{n\to\infty}\int_{\R^d}f_n(x)\,dx=\int_{\R^d}f(x)\,dx \end{align*}

が成り立つ.

なお,この定理の$g$を優関数(dominating function)といい,[Lebesgueの収束定理]は[Lebesgueの優収束定理]ということもよくあります.

実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$と確率変数$X$を考え,この[Lebesgueの収束定理]を確率変数列の場合に書き直しましょう.

[Lebesgueの収束定理]の3つの条件について,以下のようになります.

  • ほとんど全ての$\omega\in\Omega$に対して,$X_n(\omega)\to f(\omega)$ ($n\to\infty$)が成り立つ.このことは,$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に概収束することに他ならない.
  • 実数値確率変数$Y$が存在して,任意の$\omega\in\Omega$に対して$|X_n(\omega)|<Y(\omega)$を満たす.
  • 実数値確率変数$Y$が可積分である.このことは,

    \begin{align*} \int_{\Omega}Y(\omega)\,\mathbb{P}(d\omega)<\infty \end{align*}

    と表現でき,これは$Y$の期待値が有限であることに他ならない:$\mathbb{E}[Y]<\infty$.

また,結論の等式は以下のようになります.

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[|X_n-X|]=0 \end{align*}

このことは$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に1次平均収束するということに他ならない.

Vitaliの収束定理

先ほどの補題で見たように,一様可積分な確率変数列が概収束していれば,極限の確率変数の期待値も有限となるのでした.

このことに注意すると,一様可積分な確率変数列については,[Lebesgueの収束定理]の2つ目と3つ目の条件は自動的に満たされる(補題の証明の中の$R$を用いれば,$Y(\omega)=R+1$ととれる)ことが分かります.

このようにして得られる以下の定理を[Vitaliの収束定理]といいます.

[Vitaliの収束定理] 一様可積分な確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が確率変数$X$に概収束するとき,$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に1次平均収束する.

さて,前回の記事で述べたように,概収束と$p$次平均収束の間に強さの関係はありませんでした.すなわち,概収束しても$p$次平均収束しないことも,$p$次平均収束しても概収束しないこともあります.

ところが,一様可積分な確率変数列なら,概収束すれば1次平均収束するというのが[Vitaliの収束定理]です.

なお,実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が確率変数$X$に1次平均収束するなら,

\begin{align*} |\mathbb{E}[X_n]-\mathbb{E}[X]| =&|\mathbb{E}[X_n-X]| \\\le&\mathbb{E}[|X_n-X|] \\\to&0\quad (n\to\infty) \end{align*}

が成り立つから,$\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_n]=\mathbb{E}[X]$が成り立ちます.

このように,Vitaliの収束定理から一様可積分な確率変数列に対して極限と積分の順序交換ができるが,Lebesgueの収束定理と比べると優関数がとれない場合に適用できるのは大きなメリットである.

1次平均収束と確率収束

最後に,一様可積分性のもとで,1次平均収束と確率収束が同値であることを説明します.

この証明のためには,いまみた[Vitaliの収束定理]と以下の[補題]を併せて用います.

[補題] 実数値確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束するとき,$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に概収束する部分列をもつ.

この補題は[Borel-Cantelliの補題]を用いることで証明できますが,ここではこの[補題]を認めて一様可積分性のもとで1次平均収束と確率収束が同値性を示します.

一様可積分な確率変数列$\{X_n\}_{n\in\N}$と確率変数$X$について,以下は同値である.

  • $\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に1次平均収束する.
  • $\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に確率収束する.

$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に1次平均収束するとき,$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束することも次の記事で示した.

そのため,ここでは$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に確率収束すると仮定して,$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に1次平均収束することを示す.

$\{X_n\}_{n\in\N}$が$X$に1次平均収束しないと仮定すると,ある$\epsilon>0$とある部分列$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$が存在して,任意の$k\in\N$に対して

\begin{align*} \mathbb{E}[|X_{n(k)}-X|]\ge\epsilon \end{align*}

が成り立つ.よって,この部分列$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$の任意の部分列は$X$に1次平均収束しない.

一方,$\{X_n\}_{n\in\N}$は$X$に確率収束するから,部分列$\{X_n(k)\}_{k\in\N}$も$X$に確率収束し,上の補題より,更なる部分列$\{X_n(k(\ell))\}_{\ell\in\N}$で$X$に概収束するものが存在する.

[Vitaliの収束定理]から,部分列$\{X_n(k(\ell))\}_{\ell\in\N}$は$X$に1次平均収束し,$\{X_{n(k)}\}_{k\in\N}$の任意の部分列が$X$に1次平均収束しないことに矛盾する.

以上より,仮定は誤りで$\{X_n\}_{n\in\N}$は1次平均収束する.

参考文献

確率論 (舟木直久著,朝倉書店)

本書は確率論の入門書である.

全体を通して丁寧に書かれており,初学者にも読み始めやすい教科書である.

第1章で

  • 確率論における基礎的な概念について整理されている点
  • 確率論の重要なテーマである「大数の法則」と「中心極限定理」の概観がなされている点

は非常にありがたい.

また,確率論では確率変数の扱いとしてLebesgue積分が必須の知識である.

このため,第2章ではLebesgue積分など測度論に関する基本的な知識について丁寧に整理されているので,必要に応じて第2章を参照することによりLebesgue積分について習熟していなくても読み進めやすくなっている.

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