ルベーグ積分8|可測関数からなる種々の関数の可測性を証明

ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本

ルベーグ積分は前回の記事で定義したルベーグ可測関数に対して(のちの記事で)定義されます.

そのため,ルベーグ積分を学び進めるにあたって,ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です.

この記事では,

  • 可測関数たちの線形結合・和・積・商
  • 可測関数の正成分・負成分・絶対値

を順に説明します.

この記事の内容は理論上重要ですが,証明は技術的なものが多いので,可測関数であることの証明に慣れるつもりで読むのが良いでしょう.

以下では

と呼び,$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します.

ルベーグ積分の参考文献

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ルベグ積分入門

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ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です.

線形結合・積・商

可測関数をもとにできる関数の多くは可測関数です.

ここでは基本的な可測関数を示します.

線形結合の可測性

補題を2つ示し,可測関数の線形結合の可測性を示します.

定数倍の可測性

可測集合$A$上の可測関数$f$と$k\in\R$に対して,関数$kf$は可測関数である.

任意の$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}A':=&\set{x\in A}{(kf)(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{k\cdot f(x)>\alpha}\end{align*}

である.

[1] $k>0$のとき

   \begin{align*}A'=\set{x\in A}{f(x)>\frac{\alpha}{k}}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから$A’\in\mathcal{L}$である.

[2] $k=0$のとき

   \begin{align*}A'=\set{x\in A}{0>\alpha}=\begin{cases}A&(\alpha<0)\\\emptyset&(\alpha\ge0)\end{cases}\end{align*}

が成り立つ.$A,\emptyset\in\mathcal{L}$だから$A’\in\mathcal{L}$である.

[3] $k<0$のとき

   \begin{align*}A'=\set{x\in A}{f(x)<\frac{\alpha}{k}}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから$A’\in\mathcal{L}$である.

[1]-[3]より,$kf$は可測関数である.

定数倍の可測性

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して,関数$f+g$は可測関数である.

$\R$における有理数全部の集合$\Q$の稠密性から

   \begin{align*}A':=&\set{x\in A}{(f+g)(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)+g(x)>\alpha} \\=&\bigcup_{r\in\Q}\set{x\in A}{f(x)>r>-g(x)+\alpha} \\=&\bigcup_{r\in\Q}\bra{\set{x\in A}{f(x)>r}\cap\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}}\end{align*}

が成り立つ.$f,g$はともに可測関数だから

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>r},\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}\end{align*}

はともに可測集合であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>r}\cap\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}\end{align*}

も可測集合である.

さらに,$\Q$が可算集合であることと,一般に可測集合の和集合も可測集合であることを併せて$A’\in\mathcal{L}$である.

よって,$f+g$は可測関数である.

線形結合の可測性

いま示した2つの命題から次が従いますね.

可測集合$A$上の可測関数$f,g$と$k,\ell\in\R$に対して,関数$kf+\ell g$は可測関数である.

上の補題より,可測関数の定数倍は可測関数だから,$kf$, $\ell g$はともに可測関数である.

さらに,可測関数の和は可測関数だから,$kf+\ell g$は可測関数である.

この系より可測関数全部の集合は,通常の和・定数倍により線形空間となることが分かりますね.

積の可測性

補題を1つ示し,可測関数の積の可測性を示します.

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して,関数$f^2$は可測関数である.

任意に$\alpha\in\R$をとる.$\alpha<0$なら$\set{x\in A}{f^2(x)>\alpha}=A\in\mathcal{L}$が成り立つ.

一方,$\alpha\ge0$なら

   \begin{align*}A':=&\set{x\in A}{f^2(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)<-\sqrt{\alpha}}\cup\set{x\in A}{f(x)>\sqrt{\alpha}}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)<-\sqrt{\alpha}},\set{x\in A}{f(x)>\sqrt{\alpha}}\end{align*}

はともに可測集合であり,一般に可測集合の和集合も可測集合だから$A’\in\mathcal{L}$である.

よって,$f^2$は可測関数である.

先ほど示した可測関数の線形結合の可測性と,いまの補題を併せて次が従います.

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して,関数$fg$は可測関数である.

$f,g$の線形結合で表せる$f+g$, $f-g$はともに可測関数だから,補題より$(f+g)^2$, $(f-g)^2$もともに可測関数である.

よって,これらの線形結合で表せる$fg=\dfrac{1}{4}((f+g)^2-(f-g)^2)$も可測関数である.

商の可測性

補題を1つ示し,可測関数の商の可測性を示します.

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して,関数$\dfrac{1}{f}$は可測関数である.ただし,任意の$x\in A$に対して$f(x)\neq0$とする.

任意に$\alpha\in\R$をとる.

[1] $\alpha>0$のとき

   \begin{align*}A_1:=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha} \\=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha\ \text{and}\ f(x)>0} \\=&\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\cap\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}},\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}

はともに可測集合であり,一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$A_1\in\mathcal{L}$である.

[2] $\alpha=0$のとき

   \begin{align*}A_2:=\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha}=\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから$A_2\in\mathcal{L}$である.

[3] $\alpha<0$のとき

   \begin{align*}A_3:=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)\ge0\ \text{or}\ \bra{\frac{1}{f(x)}>\alpha\ \text{and}\ f(x)<0}} \\=&\set{x\in A}{f(x)\ge0}\cup\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だから

   \begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge0},\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\end{align*}

はともに可測集合であり,一般に可測集合の和集合も可測集合だから$A_3\in\mathcal{L}$である.

よって,$\frac{1}{f}$は可測関数である.

先ほど示した可測関数の積の可測性と,いまの補題を併せて次が従います.

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して,関数$\dfrac{f}{g}$は可測関数である.ただし,任意の$x\in A$に対して$g(x)\neq0$とする.

$g$は可測関数だから,補題より$\dfrac{1}{g}$も可測関数である.

もとより$f$は可測関数だから,$f$, $\dfrac{1}{g}$の積で表せる$\dfrac{f}{g}=f\cdot\dfrac{1}{g}$も可測関数である.

可測関数の正成分・負成分

関数の正成分負成分はのちにルベーグ積分を定義する際に必要となるので,ここで定義して可測性も示しておきましょう.

正成分と負成分の定義

まずは関数の正成分負成分を定義します.

$A\subset\R$とする.関数$f:A\to\R$に対して,

   \begin{align*}f_+(x)=\max\{f(x),0\},\quad f_-(x)=\max\{-f(x),0\}\end{align*}

で定まる関数$f_+,f_-:A\to\R$をそれぞれ$f$の正成分負成分という.

$a,b\in\R$に対して$\max{a,b}$は$a,b$の小さくない方のことですね.

例えば,$f:\R\to\R;x\mapsto x^2-2$に対しては

   \begin{align*}f_+(x)=&\max\{x^2-2,0\} \\=&\begin{cases}x^2-2&(x<-\sqrt{2},\sqrt{2}<x)\\0&(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}),\end{cases} \\f_-(x)=&\max\{-(x^2-2),0\} \\=&\begin{cases}-x^2+2&(-\sqrt{2}<x<\sqrt{2})\\0&(x\le-\sqrt{2},\sqrt{2}\le x)\end{cases}\end{align*}

となりますね.

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ざっくり言えば,関数の負の部分を全て0にしたものが正成分で,関数の正の部分を全て0にして$-1$をかけたものが負成分ですね.

また,一般に$t\in\R$に対して$\max\{t,0\}\ge0$なので,正成分$f_+$と負成分$f_-$は定義より非負値関数ですね.

正成分・負成分の可測性

可測関数の正成分・負成分の可測性を示します.

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して,正成分$f_+$と負成分$f_-$は可測関数である.

任意に$\alpha\in\R$をとる.

[1] $\alpha<0$のとき,

   \begin{align*}&\set{x\in A}{f_+(x)>\alpha}=A\in\mathcal{L}, \\&\set{x\in A}{f_-(x)>\alpha}=A\in\mathcal{L}\end{align*}

が成り立つ.

[2] $\alpha\ge0$のとき,

   \begin{align*}&\set{x\in A}{f_+(x)>\alpha}=\set{x\in A}{f(x)>\alpha}, \\&\set{x\in A}{f_-(x)>\alpha}=\set{x\in A}{f(x)<-\alpha}\end{align*}

が成り立つ.$f$は可測関数だからこれらは可測集合である.

よって,$f_+,f_-$はともに可測関数である.

絶対値の可測性

いまの命題より,可測関数の絶対値も可測であることが従います.

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して,$|f|$は可測関数である.

いま示した命題より$f_{+},f_{-}$である.

よって,これらの線形結合で表せる$|f|=f_{+}+f_{-}$も可測関数である.

連続関数の可測性

最後に連続関数の可測性を示します.

可測集合$A$上の連続関数は可測関数である.

$f$を$A$上の連続関数とする.任意の$\alpha\in\R$に対して,

   \begin{align*}\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}=f^{-1}([\alpha,\infty))\cup f^{-1}(\{\infty\})\end{align*}

である.ただし,ルベーグ積分で扱う関数の終集合は拡大実数$\overline{\R}=\R\cup\{\infty,-\infty\}$であることに注意.

位相空間における連続関数の定義から,開集合の引き戻しは開集合だから$f^{-1}([\alpha,\infty))$は開集合である.一般に開集合は可測集合だから$f^{-1}([\alpha,\infty))$は可測集合である.

また,1点集合$\{\infty\}$は閉集合で,位相空間における連続関数の性質から,閉集合の引き戻しは閉集合だから$f^{-1}(\{\infty\})$は開集合である.一般に閉集合は可測集合だから$f^{-1}(\{\infty\})$は可測集合である.

一般に可測集合の和集合は可測集合だから,$\set{x\in\R}{f(x)\ge\alpha}\in\mathcal{L}$となって,$f$は可測関数である.

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