ルベーグ可測関数からできる関数の可測性を証明する

ルベーグ積分は前回の記事で定義したルベーグ可測関数に対して（のちの記事で）定義されます．

そのため，ルベーグ積分を学び進めるにあたって，ルベーグ可測関数の性質を整理しておくことは大切です．

この記事では，

可測関数たちの線形結合・和・積・商
可測関数の正成分・負成分・絶対値

を順に説明します．

この記事の内容は理論上重要ですが，証明は技術的なものが多いので，可測関数であることの証明に慣れるつもりで読むのが良いでしょう．

以下では

ルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」
ルベーグ可測関数のことを単に「可測関数」

と呼び，$\R$上のルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$で表します．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0. ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分
1. ルベーグ積分の基本性質を証明する(準備中)
2. 単関数列の項別積分定理のイメージと証明(準備中)
3. ルベーグの単調収束定理と具体例(準備中)
4. ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
線形結合・積・商
可測関数の正成分・負成分
連続関数の可測性

ルベーグ積分の参考文献

以下はルベーグ積分に関するオススメの教科書です．

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

線形結合・積・商

可測関数をもとにできる関数の多くは可測関数です．

ここでは基本的な可測関数を示します．

線形結合の可測性

補題を２つ示し，可測関数の線形結合の可測性を示します．

定数倍の可測性

可測集合$A$上の可測関数$f$と$k\in\R$に対して，関数$kf$は可測関数である．

任意の$\alpha\in\R$に対して，

$\begin{align*}A':=&\set{x\in A}{(kf)(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{k\cdot f(x)>\alpha}\end{align*}$

である．

[1] $k>0$のとき

$\begin{align*}A'=\set{x\in A}{f(x)>\frac{\alpha}{k}}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから$A’\in\mathcal{L}$である．

[2] $k=0$のとき

$\begin{align*}A'=\set{x\in A}{0>\alpha}=\begin{cases}A&(\alpha<0)\\\emptyset&(\alpha\ge0)\end{cases}\end{align*}$

が成り立つ．$A,\emptyset\in\mathcal{L}$だから$A’\in\mathcal{L}$である．

[3] $k<0$のとき

$\begin{align*}A'=\set{x\in A}{f(x)<\frac{\alpha}{k}}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから$A’\in\mathcal{L}$である．

[1]-[3]より，$kf$は可測関数である．

定数倍の可測性

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して，関数$f+g$は可測関数である．

$\R$における有理数全部の集合$\Q$の稠密性から

$\begin{align*}A':=&\set{x\in A}{(f+g)(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)+g(x)>\alpha} \\=&\bigcup_{r\in\Q}\set{x\in A}{f(x)>r>-g(x)+\alpha} \\=&\bigcup_{r\in\Q}\bra{\set{x\in A}{f(x)>r}\cap\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}}\end{align*}$

が成り立つ．$f,g$はともに可測関数だから

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>r},\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}\end{align*}$

はともに可測集合であり，一般に可測集合の共通部分も可測集合だから

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)>r}\cap\set{x\in A}{g(x)>-r+\alpha}\end{align*}$

も可測集合である．

さらに，$\Q$が可算集合であることと，一般に可測集合の和集合も可測集合であることを併せて$A’\in\mathcal{L}$である．

よって，$f+g$は可測関数である．

線形結合の可測性

いま示した２つの命題から次が従いますね．

可測集合$A$上の可測関数$f,g$と$k,\ell\in\R$に対して，関数$kf+\ell g$は可測関数である．

上の補題より，可測関数の定数倍は可測関数だから，$kf$, $\ell g$はともに可測関数である．

さらに，可測関数の和は可測関数だから，$kf+\ell g$は可測関数である．

この系より可測関数全部の集合は，通常の和・定数倍により線形空間となることが分かりますね．

積の可測性

補題を１つ示し，可測関数の積の可測性を示します．

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して，関数$f^2$は可測関数である．

任意に$\alpha\in\R$をとる．$\alpha<0$なら$\set{x\in A}{f^2(x)>\alpha}=A\in\mathcal{L}$が成り立つ．

一方，$\alpha\ge0$なら

$\begin{align*}A':=&\set{x\in A}{f^2(x)>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)<-\sqrt{\alpha}}\cup\set{x\in A}{f(x)>\sqrt{\alpha}}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)<-\sqrt{\alpha}},\set{x\in A}{f(x)>\sqrt{\alpha}}\end{align*}$

はともに可測集合であり，一般に可測集合の和集合も可測集合だから$A’\in\mathcal{L}$である．

よって，$f^2$は可測関数である．

先ほど示した可測関数の線形結合の可測性と，いまの補題を併せて次が従います．

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して，関数$fg$は可測関数である．

$f,g$の線形結合で表せる$f+g$, $f-g$はともに可測関数だから，補題より$(f+g)^2$, $(f-g)^2$もともに可測関数である．

よって，これらの線形結合で表せる$fg=\dfrac{1}{4}((f+g)^2-(f-g)^2)$も可測関数である．

商の可測性

補題を１つ示し，可測関数の商の可測性を示します．

可測集合$A$上の可測関数$f$に対して，関数$\dfrac{1}{f}$は可測関数である．ただし，任意の$x\in A$に対して$f(x)\neq0$とする．

任意に$\alpha\in\R$をとる．

[1] $\alpha>0$のとき

$\begin{align*}A_1:=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha} \\=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha\ \text{and}\ f(x)>0} \\=&\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\cap\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}},\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}$

はともに可測集合であり，一般に可測集合の共通部分も可測集合だから$A_1\in\mathcal{L}$である．

[2] $\alpha=0$のとき

$\begin{align*}A_2:=\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha}=\set{x\in A}{f(x)>0}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから$A_2\in\mathcal{L}$である．

[3] $\alpha<0$のとき

$\begin{align*}A_3:=&\set{x\in A}{\frac{1}{f(x)}>\alpha} \\=&\set{x\in A}{f(x)\ge0\ \text{or}\ \bra{\frac{1}{f(x)}>\alpha\ \text{and}\ f(x)<0}} \\=&\set{x\in A}{f(x)\ge0}\cup\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\end{align*}$

が成り立つ．$f$は可測関数だから

$\begin{align*}\set{x\in A}{f(x)\ge0},\set{x\in A}{f(x)<\frac{1}{\alpha}}\end{align*}$

はともに可測集合であり，一般に可測集合の和集合も可測集合だから$A_3\in\mathcal{L}$である．

よって，$\frac{1}{f}$は可測関数である．

先ほど示した可測関数の積の可測性と，いまの補題を併せて次が従います．

可測集合$A$上の可測関数$f,g$に対して，関数$\dfrac{f}{g}$は可測関数である．ただし，任意の$x\in A$に対して$g(x)\neq0$とする．

$g$は可測関数だから，補題より$\dfrac{1}{g}$も可測関数である．

もとより$f$は可測関数だから，$f$, $\dfrac{1}{g}$の積で表せる$\dfrac{f}{g}=f\cdot\dfrac{1}{g}$も可測関数である．

可測関数の正成分・負成分

関数の正成分・負成分はのちにルベーグ積分を定義する際に必要となるので，ここで定義して可測性も示しておきましょう．

正成分と負成分の定義

まずは関数の正成分と負成分を定義します．

$A\subset\R$とする．関数$f:A\to\R$に対して，

$\begin{align*}f_+(x)=\max\{f(x),0\},\quad f_-(x)=\max\{-f(x),0\}\end{align*}$

で定まる関数$f_+,f_-:A\to\R$をそれぞれ$f$の正成分，負成分という．

$a,b\in\R$に対して$\max{a,b}$は$a,b$の小さくない方のことですね．

例えば，$f:\R\to\R;x\mapsto x^2-2$に対しては

$\begin{align*}f_+(x)=&\max\{x^2-2,0\} \\=&\begin{cases}x^2-2&(x<-\sqrt{2},\sqrt{2}<x)\\0&(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}),\end{cases} \\f_-(x)=&\max\{-(x^2-2),0\} \\=&\begin{cases}-x^2+2&(-\sqrt{2}<x<\sqrt{2})\\0&(x\le-\sqrt{2},\sqrt{2}\le x)\end{cases}\end{align*}$