代数学 代数学の基本｜群・環・体の定義と具体例をゼロから解説
代数学において「群」「環」「体」は基本的な概念で，この３つを元に議論が進められることが非常に多いです．この記事では，群，環，体の定義を丁寧に考えてイメージを説明し，それらの具体例を挙げます．
山本 拓人
代数学 
関数解析 作用素の弱Lᵖ有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理
マルチンキーヴィッツの実補間定理は，ある不等式を満たす作用素Tが弱L¹有界かつ弱Lᶢ有界(1<g)であるとき，任意のp∈(1,g)に対してTが強Lᵖ有界になるという定理です．この記事では定理の主張と証明をしています．
微分積分学 ラグランジュの未定乗数法を直観的に理解する｜具体例とともに解説
「x+y=1上でf(x,y)の極値を求めたい」といったように，制約条件のもとでの関数の極値は単なる導関数だけでは求めることができません．この記事では，ラグランジュの未定乗数法の直感的な考え方を説明し，具体例を考えます．
偏微分方程式 線形シュレディンガー方程式｜基本解と解作用素のユニタリ群
非線形項が0のシュレディンガー方程式の初期値問題の解は，自由シュレディンガー発展作用素によって表される．この記事では，自由シュレディンガー発展作用素の基本性質として，LpLqノルムの評価式を導出する
線形代数学 ペロン-フロベニウスの定理｜成分が正の行列の最大固有値の性質
ペロン-フロベニウスの定理は「全ての成分が正の正方行列には最大実固有値が唯一存在し，全ての成分が正のベクトルはこの固有値に属する」という定理で，工学系や経済系の分野など広く応用されています．
微分積分学 微分積分学の基本定理とその証明｜微分と積分の超重要な関係
リーマン積分は微分とは無関係に定義されますが，連続関数に対しては結果的に積分と微分を関係付ける「微分積分学の基本定理」が成り立ち，多くの場合でリーマン積分は微分の逆演算として計算することができます．
関数解析 双対性議論（duality argument）とは？｜Lᵖ双対性を証明する
ヘルダー共役p,qに対して，ルベーグ空間Lᵖ(ℝⁿ)の共役空間Lᵖ(ℝⁿ)*と，ルベーグ空間$L^q(ℝⁿ)は同型であることが知られており，この関係をLᵖ双対性といいます．この双対性を用いる議論を双対性議論（duality argument）といい，間接的にLᵖ(ℝⁿ)を扱う方法として有用です．
ルベーグ積分 フビニの定理とトネリの定理｜重積分と逐次積分が等しい条件
重積分と累次積分（逐次積分）が一致するための十分条件としてフビニの定理，トネリの定理，フビニ-トネリの定理は非常に重要です．この記事では，これらがどのような場合に使えるかを説明しています．
関数解析 リース-トーリンの複素補間定理｜線形作用素Lᵃ→Lᵇの有界性を示す
三線定理を用いて証明される「リース-トーリン（Riesz-Thorin）の複素補間定理」は線形作用素Lᵃ→Lᵇが有界であるための十分条件を述べた定理です．この定理を用いるとシュレディンガー方程式の線形解の分散型評価を証明することができます．
関数解析 ストーンの定理｜作用素の族がユニタリ群になるための条件
ヒルベルト空間における有界線形作用素の族がユニタリ群であるための必要十分条件を与える[Stoneの定理]を説明します．[Hille(ヒレ)-Yosida(吉田)の定理]の特別な場合として，シュレディンガー方程式にも応用されます．