級数の中でも「全ての項が０以上の級数」を正項級数といい，負の項をもつ級数より収束・発散の判定をしやすい場合が多く，実際に多くの収束判定条件が知られています．
とくに正項級数の３つの収束判定条件「比較定理（比較原理）」「ダランベールの判定法（ratio test）」「コーシーの判定法」は当たり前にしておきたい基本的な条件です．
さらに，どの収束判定条件がどのような良さをもっているのかも併せて理解しておきたいところです．
この記事では
- 正項級数とは全ての項が非負の級数のこと
- 比較定理（比較原理）
- ダランベールの判定法（ratio test）
- コーシーの判定法
を順に解説します．
「微分積分学の基本」の一連の記事
微分積分学の参考文献
以下は微分積分学に関するオススメの教科書です．
微分積分学（笠原晧司 著）
数学科など理論系の学生向けの微分積分学の入門書です．基本的な例から発展的な例まで扱われており，バランスの良い教科書です．
正項級数とは全ての項が非負の級数のこと
全ての項が０以上の実数列$\{a_n\}$の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$を正項級数（positive term series）という．
例えば，
\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\abs{\frac{\sin{n}}{n^2+1}}\end{align*}
は全て正項級数です．
全ての項が非負（０以上の実数）なので「非負項級数」というのが正確かもしれませんが，慣習的に正項級数というのが普通です．
絶対収束で考える級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$は正項級数なので，絶対収束を示すためにこの記事で紹介する収束条件が使えます．つまり，
- 級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$に正項級数の収束条件を適用して収束を示す
- 一般に絶対収束する級数は収束するので級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する
という流れで級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の収束を示すことができます．これは級数の収束を示す際に真っ先に考える基本的な方法なので当たり前にしておきましょう．
比較定理（比較原理）
既に収束・発散が分かっている正項級数と比較することで，別の正項級数の収束・発散を示すことができます．
比較定理の主張と証明
［比較定理（比較原理）］正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$は，全ての$n\in\N$に対して$b_n\le a_n$を満たすとする．このとき，次が成り立つ．
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が収束するなら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$は収束する．
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$が発散するなら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
つまり，収束する正項級数で上から抑えられていれば収束し，発散する正項級数で下から浮かされていれば発散ということですね．
(1)と(2)は対偶なので，(1)を示せば十分である．級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$の第$n$項までの部分和をそれぞれ$A_n$, $B_n$とおく．
級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$の各項は０以上だから実数列$\{B_n\}$は単調増加である．また，任意の$n\in\N$に対して$b_n\le a_n$だから$B_n\le A_n$であり，仮定より$\{A_n\}$は単調増加で
\begin{align*}\lim_{n\to\infty}A_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\end{align*}
と収束するから実数列$\{B_n\}$は上に有界である（級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が上界のひとつ）．
よって，単調有界実数列の収束定理より$\{B_n\}$は収束する．すなわち，級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$は収束する．
比較定理でよく基準として用いられる級数として
- 平方数の逆数和の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$は収束する
- 調和級数（正の整数の逆数和の級数）$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$は発散する
があります（以下の具体例でも用います）．これらの収束・発散は当たり前にしておきましょう．
比較定理（比較原理）の系
最初の有限項は収束・発散に全く影響しませんから，十分大きな$n$に対して$b_n\le a_n$が成り立っていれば比較定理（比較原理）は成り立ちます．
すなわち，次の系が成り立ちます．
正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$は，ある$N\in\N$が存在して，$n>N\Ra b_n\le a_n$を満たすとする．このとき，次が成り立つ．
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$が収束するなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$は収束する．
- $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$が発散するなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
この系を比較定理（比較原理）ということもあります．
具体例１（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n}}{\sqrt{1+n^4}}$は収束する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin{n}}{\sqrt{1+n^4}}$が収束することを示せ．
任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\abs{\frac{\sin{n}}{\sqrt{1+n^4}}}\le\frac{1}{\sqrt{0+n^4}}=\frac{1}{n^2}\end{align*}
であり，平方数の逆数和の級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$は収束するから，比較定理より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\abs{\dfrac{\sin{n}}{\sqrt{1+n^4}}}$は収束する．
よって，級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin{n}}{\sqrt{1+n^4}}$は絶対収束するから収束する．
この解答例では，正項級数の説明の最後で説明したように
- 級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|$に正項級数の収束条件を適用して収束を示す
- 一般に絶対収束する級数は収束するので級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する
という流れで級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の収束を示していますね．
具体例２（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^2}$は発散する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2}$が発散することを示せ．
$n$が十分大きいとき$\frac{n+1}{n^2}\approx\frac{1}{n}$ですから，調和級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$と比較して発散を示しましょう．
任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\frac{n+1}{n^2}>\frac{n+0}{n^2}=\frac{1}{n}\end{align*}
であり，調和級数（正の整数の逆数和の級数）$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$は発散するから，比較定理より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{n^2}$は発散する．
具体例３（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$は発散する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^2+1}$が発散することを示せ．
本問も$n$が十分大きいとき$\frac{n}{n^2+1}\approx\frac{1}{n}$ですから，調和級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$と比較して発散を示しましょう．
任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\frac{n}{n^2+1}>\frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2n}\end{align*}
である．また，調和級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$は発散するから，
\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\end{align*}
も発散し，比較定理より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^2+1}$は発散する．
ダランベールの判定法（ratio test）
隣り合った項の比を考えることで，収束・発散の判定ができます．
ダランベールの判定法（ratio test）の主張と証明
［ダランベールの判定法（ratio test）］正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$について，次が成り立つ．
- ある$N\in\N$, $\rho<1$が存在して$n>N\Ra\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}<\rho$が成り立つなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
- ある$N\in\N$, $\rho>1$が存在して$n>N\Ra\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}>\rho$が成り立つなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
(1)は十分大きい$n$に対して$a_{n+1}<\rho a_n$が成り立っているということなので，十分大きい$n$に対しては公比$\rho$の等比級数よりも速く項が減衰していることになります．
公比$\rho<1$の等比級数は収束するので，比較定理より$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の収束が成り立つわけですね．
同様に考えれば，(2)では十分大きい$n$に対しては公比$\rho$の等比級数よりも速く項が減衰していることはなく，公比$\rho>1$の等比級数が発散することと併せて$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の発散が成り立つわけですね．
このように，ダランベールの判定法が等比級数を基準にした定理であることが分かっていれば，証明も難しくないでしょう．
(1)の証明
任意の$n>N$に対して，
\begin{align*}a_{n}<\rho a_{n-1}<\rho^{2}a_{n-2}<\dots<\rho^{n-N-1}a_{N+1}\end{align*}
であり，等比級数$\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\rho^{n-N-1}a_{N+1}$の公比は$\rho<1$なので収束する．
よって，比較定理（比較原理）の系より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
(2)の証明
任意の$n>N$に対して，
\begin{align*}a_{n}>\rho a_{n-1}>\rho^{2}a_{n-2}>\dots>\rho^{n-N-1}a_{N+1}\end{align*}
であり，等比級数$\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\rho^{n-N-1}a_{N+1}$の公比は$\rho>1$なので発散する．
よって，比較定理（比較原理）の系より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
ダランベールの判定法の系
極限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$が存在する場合，ダランベールの判定法は次のように簡単に書けますね．
正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$について，極限$\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$が存在するとする．このとき，次が成り立つ．
- $\rho<1$なら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
- $\rho>1$なら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
この系をダランベールの判定法ということもあります．
具体例４（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$は収束する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$が収束することを示せ．
一般項が$a_n=\dfrac{1}{n!}$の数列$\{a_n\}$の正項級数であり，任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2}\end{align*}
だから，ダランベールの判定法（ratio test）より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$は収束する．
この問題では$\frac{a_{n+1}}{a_n}$がうまく約分できるため，ダランベールの判定法でうまく判定できるわけですね．
具体例５（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{n!}$は発散する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{n!}$が発散することを示せ．ただし，$n\in\{1,2,\dots\}$に対して$(2n-1)!!$は$2n-1$の二重階乗といい，$2n-1$以下の正の奇数全部の積を表す：
\begin{align*}(2n-1)!!=(2n-1)\times(2n-3)\times\dots\times3\times1.\end{align*}
一般項が$a_n=\dfrac{(2n-1)!!}{n!}$の数列$\{a_n\}$の正項級数であり，任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(2n+1)!!}{(n+1)!}}{\frac{(2n-1)!!}{n!}}=\frac{(2n+1)!!n!}{(2n-1)!!(n+1)!}=\frac{2n+1}{n+1}\xrightarrow[]{n\to\infty}2>1\end{align*}
だから，ダランベールの判定法（ratio test）より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$は発散する．
この問題でも$\frac{a_{n+1}}{a_n}$がうまく約分できるためダランベールの判定法がうまく機能しています．また，解く前に
\begin{align*}a_n=\frac{(2n-1)\times(2n-3)\times\dots\times3\times1}{n\times(n-1)\times\dots\times2\times1}\ge1\end{align*}
なので発散するのは当たり前だと考えられるようになっておけるとなお良いです．
コーシーの判定法
第$n$項の$n$乗根を考えることで，収束・発散の判定ができます．
コーシーの判定法の主張と証明
［コーシーの判定法］正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$について，次が成り立つ．
- ある$N\in\N$, $\rho<1$が存在して$n>N\Ra\sqrt[n]{a_n}<\rho$が成り立つなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
- ある$N\in\N$, $\rho>1$が存在して$n>N\Ra\sqrt[n]{a_n}>\rho$が成り立つなら，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
ダランベールの判定法と同じく，コーシーの判定法も等比級数と比較することで成り立つことがみてとれます．
(1)は十分大きい$n$に対して$a_{n}<\rho^n$が成り立っているということなので，十分大きい$n$に対しては公比$\rho$の等比級数よりも速く項が減衰していることになります．
公比$\rho<1$の等比級数は収束するので，比較定理より$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の収束が成り立つわけですね．
同様に考えれば，(2)では十分大きい$n$に対しては公比$\rho$の等比級数よりも速く項が減衰していることはなく，公比$\rho>1$の等比級数が発散することと併せて$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$の発散が成り立つわけですね．
このように，コーシーの判定法が等比級数を基準にした定理であることが分かっていれば，証明も難しくないでしょう．
(1)の証明
任意の$n>N$に対して$a_{n}<\rho^n$であり，等比級数$\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}\rho^{n}$の公比は$\rho<1$なので収束する．
よって，比較定理（比較原理）の系より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
(2)の証明
任意の$n>N$に対して$a_{n}>\rho^n$であり，等比級数$\sum_{n=N+1}^{\infty}\rho^{n}$の公比は$\rho>1$なので発散する．
よって，比較定理（比較原理）の系より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
コーシーの判定法の系
極限$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}$が存在する場合，コーシーの判定法は次のように簡単に書けますね．
正項級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$について，極限$\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$が存在するとする．このとき，次が成り立つ．
- $\rho<1$なら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は収束する．
- $\rho>1$なら$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$は発散する．
この系をコーシーの判定法ということもあります．
具体例６（級数$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2n+1})^n$は収束する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\bra{\dfrac{n}{2n+1}}^n$が収束することを示せ．
一般項が$a_n=(\dfrac{n}{2n+1})^n$の数列$\{a_n\}$の正項級数であり，任意の$n\in\{1,2,\dots\}$に対して
\begin{align*}\sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{2n+1}<\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\end{align*}
だから，コーシーの判定法より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\bra{\dfrac{n}{2n+1}}^n$は収束する．
この問題では$\sqrt[n]{a_n}$の$n$乗根と一般項$(\frac{n}{2n+1})^n$の$n$乗がうまく消えるため，コーシーの判定法でうまく判定できるわけですね．
具体例７（級数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n^n}{10^n}$は発散する）
級数$\dsum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1+n^n}{10^n}$が発散することを示せ．
一般項が$a_n=\dfrac{1+n^n}{10^n}$の数列$\{a_n\}$の正項級数であり，任意の$n\in\{11,12,\dots\}$に対して
\begin{align*}\sqrt[n]{a_n}&=\frac{\sqrt[n]{1+n^n}}{10}\ge\frac{\sqrt[n]{0+n^n}}{10}=\frac{n}{10}\ge\frac{11}{10}\end{align*}
だから，コーシーの判定法（ratio test）より級数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1+n^n}{10^n}$は発散する．
この問題でも$\sqrt[n]{a_n}$の$n$乗根と一般項$\frac{1+n^n}{10^n}$の$n$乗がうまく消えるため，コーシーの判定法がうまく機能しています．
また，解く前に$n$が十分大きければ$a_n$は１よりもずっと大きくなるので発散するのは当たり前だと考えられるようになっておけるとなお良いです．
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