有理数は実数（数直線）上に密に存在しています．
もっと砕けた言い方をすれば，数直線をどんなに「拡大」しても必ず有理数があるということもできます．
この性質を有理数の集合の稠密性といいます（稠のつくりが「周」でないことに注意）．
さて，この有理数の集合の稠密性を証明するために，極限
が成り立つことを用います．
しかし，高校数学で数列の極限を学ぶ際には，収束$(*)$は証明なしに認めて話を進めるのが普通です．
高校数学で証明しない（できない）のは，証明のためにはアルキメデスの性質と呼ばれる実数の性質を用いることになるためです．
アルキメデスの性質はアルキメデスの原理と呼ばれることもありますが，物理の浮力に関するアルキメデスの原理とは全くの別物です．
この記事では
- 有理数の集合の稠密性
- アルキメデスの性質（アルキメデスの原理）
- 無理数の集合の稠密性
を順に説明します．
「微分積分学の基本」の一連の記事
微分積分学の参考文献
以下は微分積分学に関するオススメの教科書です．
微分積分学（笠原晧司 著）
数学科など理論系の学生向けの微分積分学の入門書です．基本的な例から発展的な例まで扱われており，バランスの良い教科書です．
有理数の集合の稠密性
実数の集合における次の性質を有理数の集合の稠密性といいます．
[有理数の集合の稠密性] $a<b$を満たす任意の$a,b\in\R$に対して，$a<r<b$なる有理数$r$が存在する．
つまり，どんなに実数$a,b$が近くてもその間に有理数が存在するということですね．
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$より，$\dfrac{1}{N}<b-a$を満たす正の整数$N$が存在する．
この$N$に対して$\dfrac{k}{N}\le a<b\le\dfrac{k+1}{N}$なる整数$k$は存在しないから，$a<\dfrac{K}{N}<b$を満たす整数$K$が存在する．
$\dfrac{K}{N}$は有理数だから，$a<r<b$を満たす有理数$r$が存在する．
しかし，ここで気にしたいポイントは，冒頭で触れたように$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$の証明がまだされていない点です．
アルキメデスの性質（アルキメデスの原理）
よって，収束$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$を示すことができれば，有理数の集合の稠密性がきちんと証明できたことになりますね．
この収束を示すためにアルキメデスの性質を用います．
アルキメデスの性質と証明
次の定理をアルキメデスの性質（またはアルキメデスの原理）と言います．
[アルキメデスの性質] 任意の正の実数$p,q$に対して，ある正の整数$N$が存在して$p<Nq$が成り立つ．
どんなに$p$が$q$より大きくても，$q$の２倍$2q$，３倍$3q$，……と$q$にかける正の整数を大きくしていくと，いつかは$p$より$nq$ ($n\in\N$)の方が大きくなるというわけですね．
直感的にはそう難しくないと思いますが，証明には実数の連続性公理（上限性質）を本質的に用います．
背理法により示す．すなわち，ある$q\in\R$が存在して，任意の$n\in\N$に対して$p\ge nq$が成り立つと仮定して矛盾を導く．
背理法の仮定から$\R$の部分集合$\set{nq\in\R}{n\in\N}$は$p$を上界にもつから，実数の連続性公理より
が存在する．
このとき，上限$\sup$の性質から任意の$\epsilon>0$に対して$\alpha-\epsilon<mq$を満たす$m\in\N$が存在する．$\epsilon$は任意なので$\epsilon=q$としてもよく，このとき
が成り立つ．$m+1\in\N$より
なので，$\alpha$より大きい$\set{nq\in\R}{n\in\N}$の元が存在することになり，$\alpha$が上限であることに矛盾する．
よって，仮定は誤りなので定理が成り立つ．
収束$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$の証明
いまのアルキメデスの性質で$p=1$, $q=\epsilon$とすると，収束$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$が得られます．
極限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$が成り立つ．
任意に$\epsilon>0$をとる．アルキメデスの原理より，ある$N\in\N$が存在して
が成り立つ．よって，$n>N$なら
となって，$\epsilon\text{-}N$論法による収束の定義から$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$を得る．
これで有理数の集合の稠密性もきちんと証明されたことになりますね．
無理数の集合の稠密性
実は有理数の集合だけではなく，無理数の集合にも稠密性があります．
[無理数の集合の稠密性] $a<b$を満たす任意の$a,b\in\R$に対して，$a<\gamma<b$なる無理数$\gamma$が存在する．
証明は有理数の場合とほとんど同じです．
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$より，
を満たす正の整数$N$が存在する．
この$N$に対して$\dfrac{k}{\sqrt{2}N}\le a<b\le\dfrac{k+1}{\sqrt{2}N}$なる整数$k$は存在しないから，$a<\dfrac{K}{\sqrt{2}N}<b$を満たす整数$K$が存在する．
$\dfrac{K}{\sqrt{2}N}$は無理数だから，$a<\gamma<b$を満たす無理数$\gamma$が存在する．
なお，有理数も無理数も実数上に密に存在しているなら，有理数と無理数ではどちらの方が多いのか気になるかも知れません．
数学には集合の元の「多さ」の指標に濃度 (cardinality)というものがあり，
- 有理数全部の集合$\Q$の濃度
- 無理数全部の集合$\R\setminus\Q$の濃度
を比較すると，無理数の方が多いことが証明できます．このことについて詳しくは以下の記事を参照してください．
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