ガウス関数のフーリエ変換１｜コーシーの積分定理から計算する

$x\to\pm\infty$で負冪の指数関数は多項式の逆数よりも早く減衰するから，ある$R>0$が存在して，$|x|\ge R$なら

\begin{align*}x^2G(x)<1
\iff G(x)<\frac{1}{x^2}\end{align*}

が成り立つ．

また，任意の$x\in\R$に対して(したがって$x\in[0,R]$に対して)，$e^{-\eta x^2}\le1$だから

\begin{align*}\int_{\R}|G(x)|\,dx
&=2\int_{0}^{\infty}|G(x)|\,dx
\\&=2\int_{0}^{R}|G(x)|\,dx+2\int_{R}^{\infty}|G(x)|\,dx
\\&=2\int_{0}^{R}\,dx+\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
\\&=\frac{2}{R}+2R
<\infty\end{align*}

となるから，$G$は可積分関数である．

フーリエ変換の定義より

\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R}e^{-\eta x^2-ix\xi}\,dx\end{align*}

である．被積分関数の冪の部分は$x$に関して

\begin{align*}-\eta x^2-ix\xi=-\eta\bra{x+\frac{\xi}{2\eta}i}^2-\frac{\xi^2}{4\eta}\end{align*}

と平方完成できるから，$\lambda:=\frac{\xi}{2\eta}\in\R$とおくと

\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx\end{align*}

となる．あとは$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}$を示せばよい．

複素関数と積分経路

複素関数$f$を$f(z)=e^{-\eta z^2}$で定め，$R>0$を任意にとる．$\lambda>0(\iff\xi>0)$のとき４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を

\begin{align*}&L:=\set{z\in\C}{z=x,x\in[-R,R]},
\\&L’:=\set{z\in\C}{z=x+i\lambda,x\in[-R,R]},
\\&L_{R}:=\set{z\in\C}{z=R+iy,y\in[0,\lambda]},
\\&L_{-R}:=\set{z\in\C}{z=-R+i(\lambda-y),y\in[0,\lambda]}\end{align*}

で定める．

$\lambda<0(\iff\xi<0)$のときも同様に下図のように４つの経路$L$, $L’$, $L_{R}$, $L_{-R}$を定める．

いずれの場合も$\dint_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz$である．

全体の積分と$L_{\pm R}$上の積分

$f$は$\C$上の正則関数で$L’\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}$は閉曲線だから，コーシーの積分定理より

\begin{align*}\dint_{L’\cup L_{-R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz=0\end{align*}

が成り立つ．よって，

\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx&=\lim_{R\to\infty}\bra{-\int_{L’}f(z)\,dz}
\\&=\lim_{R\to\infty}\int_{L_{R}\cup L\cup L_{R}}f(z)\,dz\end{align*}

が成り立つ．また

\begin{align*}\abs{\int_{L_{R}}f(z)\,dz}&=\abs{\int_{0}^{\lambda}e^{-\eta (R+yi)^2}\,idy}\le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R+iy)^2}}\,|dy|
\\&=\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2iRy-y^2)}}\,|dy|
\\&=\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-y^2)}\,|dy|\le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy|
\\&=|\lambda|e^{-\eta R^2}\to0\quad (R\to\infty)\end{align*}

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{R}}f(z)\,dz=0$が成り立ち，同様に

\begin{align*}\abs{\int_{L_{-R}}f(z)\,dz}&=\abs{\int_0^{\lambda}e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}\,(-i)dy}\le\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(-R+i(\lambda-y))^2}}\,|dy|
\\&=\int_0^{\lambda}\abs{e^{-\eta(R^2+2i(\lambda-y)-(\lambda-y)^2)}}\,|dy|
\\&=\int_0^{\lambda}e^{-\eta(R^2-(\lambda-y)^2)}\,|dy|\le\int_0^{\lambda}e^{-\eta R^2}\,|dy|
\\&=|\lambda| e^{-\eta R^2}\to0\quad (R\to\infty)\end{align*}

だから$\lim\limits_{R\to\infty}\dint_{L_{-R}}f(z)\,dz=0$が成り立つ．

ガウス関数のフーリエ変換$\mathcal{F}[G]$

よって，（変数変換$x=\dfrac{y}{\sqrt{\eta}}$を用いて）ガウス積分と併せて

\begin{align*}\int_{\R}e^{-\eta(x+i\lambda)^2}\,dx&=\lim_{R\to\infty}\int_{L}f(z)\,dz
\\&=\int_{\R}e^{-\eta x^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}\end{align*}

が従う．以上より，

\begin{align*}\mathcal{F}[G](\xi)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dint_{\R}e^{-ix\xi}G(x)\,dx
\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\sqrt{\frac{\pi}{\eta}}
\\&=\frac{1}{\sqrt{2\eta}}\exp\bra{-\frac{\xi^2}{4\eta}}\end{align*}

となって，確かにガウス関数のフーリエ変換はガウス関数である．