トマエ関数とは
- 無理数$x$に対して$f(x)=0$
- 有理数$x=\frac{q}{p}$に対して$f(x)=\frac{1}{p}$（$p,q\in\Z$は互いに素で$p>0$）
で定まる関数$f:\R\to\R$のことをいいます．
このトマエ関数$f$の性質として
- 有理数点で不連続・無理数点で連続
- 任意の有界閉区間上でリーマン積分可能
- $\R$上で上半連続
- 任意の有界閉区間$[a,b]$上で有界変動でない（$a<b$）
などが挙げられます．とくに，連続性については微分積分学の$\epsilon\text{-}\delta$論法による関数の連続性に関する少し難しめの問題として有名です．
$\R$は実数全部の集合，$\Q$は有理数全部の集合です．$\R\setminus\Q$は$\R$から$\Q$を除いてできる差集合，すなわち無理数全部の集合です．
この記事では
- トマエ関数の定義とグラフ
- トマエ関数の性質
- 補足：有理数点で連続・無理数点で不連続な関数は存在しない
を順に解説します．
トマエ関数の定義とグラフ
まずはトマエ関数の基本事項を考えます．
トマエ関数の定義と周期性
次で定まる関数$f:\R\to\R$をトマエ（Thomae）関数という：
\begin{align*}f(x)=\begin{cases}0,&x\in\R\setminus\Q,\\\frac{1}{p},&x=\frac{q}{p}\end{cases}\end{align*}
ただし，$p\in\{1,2,\dots\}$と$q\in\Z$は互いに素である．
$x=0$のときは$p=1$, $q=0$です．
まずは次のトマエ関数の基本性質を示しておきましょう．
トマエ関数$f:\R\to\R$は周期１の周期関数である．
任意に$\gamma\in\R\setminus\Q$をとる．このとき，$\gamma+1\in\R\setminus\Q$なので，$f(\gamma)=0=f(\gamma+1)$が成り立つ．
任意に$r\in\Q$をとる．このとき，$r=\frac{q}{p}$（$p\in\{1,2,\dots\}$と$q\in\Z$は互いに素）と表せる．ユークリッドの互除法により$p+q$と$p$の最大公約数と，$p$と$q$の最大公約数は等しい．
$p$と$q$は互いに素だったから，$p+q$と$p$も互いに素となるので
\begin{align*}f(r+1)=f\bra{\frac{p+q}{p}}=\frac{1}{p}=f\bra{\frac{q}{p}}\end{align*}
が成り立つ．
以上より，任意の$x\in\R$に対して$f(x+1)=f(x)$が成り立つから，$f$は周期１の周期関数である．
トマエ関数のグラフ
トマエ関数がどのような関数かを捉えるためにトマエ関数のグラフを描きましょう．補題で示したように，トマエ関数は周期１の周期関数ですし，整数点では値１をとりますから，あとは$(0,1)$でグラフを描ければ十分ですね．
さらに，無理数点では値０をとりますから，$x=\frac{q}{p}$（$p\in\{2,3,\dots\}$, $q\in\{1,2,\dots,p-1\}$）でどのような値をとるかが分かれば良いですね．
いくつか具体的な$p$, $q$で考えてみると
- $p=2$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\end{align*}
- $p=3$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{3}}=f\bra{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\end{align*}
- $p=4$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{4}}=f\bra{\frac{3}{4}}=\frac{1}{4},\ f\bra{\frac{2}{4}}=\frac{1}{2}\end{align*}
- $p=5$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{5}}=f\bra{\frac{2}{5}}=f\bra{\frac{3}{5}}=f\bra{\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\end{align*}
- $p=6$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{6}}=f\bra{\frac{5}{6}}=\frac{1}{6},\ f\bra{\frac{2}{6}}=f\bra{\frac{4}{6}}=\frac{1}{3},\ f\bra{\frac{3}{6}}=\frac{1}{2}\end{align*}
- $p=7$のとき\begin{align*}f\bra{\frac{1}{7}}=f\bra{\frac{2}{7}}=\dots=f\bra{\frac{6}{7}}=\frac{1}{7}\end{align*}
となります．これらを図示すると下図のようになります．
このようなグラフの見た目から雨滴関数（raindrop function）と呼ばれることもあるようです．
トマエ関数の性質
ここで，トマエ関数の性質として
- 連続性
- 上半連続性
- 非有界変動性
を解説します．
有理数点で不連続・無理数点で連続である
トマエ関数のグラフを見ると有理数点では点が浮き上がっていますから，有理数点で不連続であることはすぐに見てとれます（証明も難しくありません）．
一方，無理数点の連続性については，トマエ関数の定義から，$p\in\{1,2,\dots\}$と$q\in\Z$に対して，$f\bra{\frac{q}{p}}\ge\frac{1}{p}$となることが重要です（$\frac{q}{p}$が既約分数でないときは$>$となる）．これにより，任意の$\gamma\in\R\setminus\Q$と$\epsilon>0$に対して，十分小さな$\delta>0$をとれば，$|x-\gamma|<\delta$のとき$f(x)<\epsilon$となりそうですね．
グラフから視覚的に考えても，$\gamma\in\R\setminus\Q$の$\delta$近傍$B_\gamma(\delta)$について，$\delta>0$を小さくしていけば分母の小さい有理数は$B_\gamma(\delta)$に属さなくなっていくことが見てとれますね．
無理数点の連続性の証明の具体的な方法としては，無理数$\gamma$に対して
\begin{align*}\delta_n:=\min_{k\in\Z}\abs{\gamma-\frac{k}{n}}\end{align*}
とおきます．$\delta_n$は「$\gamma$と$\frac{k}{n}$（$k\in\Z$）の最短距離」を表しますね．
もし$\epsilon=\frac{1}{5}$なら$\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3,\delta_4,\delta_5\}$とおくと，$|\gamma-x|<\delta$のとき$|f(\gamma)-f(x)|<\frac{1}{5}=\epsilon$となりますね．
これと同じことを任意の$\epsilon>0$に対して行えばよいですね．
トマエ関数$f$は$\Q$上の各点で不連続，$\R\setminus\Q$上の各点で連続である．
$\Q$上の各点で不連続であることの証明
任意に$r\in\Q$をとる．このとき，$r=\frac{q}{p}$（$p\in\{1,2,\dots\}$と$q\in\Z$は互いに素）と表せる．
ここで，$\epsilon=\frac{1}{p+1}$とおき，任意に$\delta>0$をとる．$\R$における$\R\setminus\Q$の稠密性より$|r-x|<\delta$を満たす$x\in\R\setminus\Q$が存在するから，
\begin{align*}|f(r)-f(x)|=\abs{\frac{1}{p}-0}=\frac{1}{p}>\epsilon\end{align*}
が成り立つ．よって，$f$は$\Q$上で不連続である．
$\R\setminus\Q$上の各点で連続であることの証明
任意に$\gamma\in\R\setminus\Q$をとる．任意に$\epsilon>0$をとり，$N:=\lceil\frac{1}{\epsilon}\rceil$とおく．ここで，
\begin{align*}\delta_n:=\min_{k\in\Z}\abs{\gamma-\frac{k}{n}},\quad
\delta:=\min_{n\in\{1,2,\dots,N\}}\delta_n\end{align*}
とおくと，$|\gamma-t|<\delta$のとき
- $t$が無理数なら$f(t)=0$
- $t$が$\frac{q}{p}$（$p\in\{1,2,\dots,N\}$, $q\in\Z$）の形には表せない有理数なら$f(t)<\frac{1}{N}$
なので，
\begin{align*}|f(\gamma)-f(t)|=\abs{0-f(t)}=f(t)<\frac{1}{N}\le\epsilon\end{align*}
が成り立つ．よって，$f$は$\R\setminus\Q$上で連続である．
任意の有界閉区間上でリーマン積分可能である
トマエ関数と同じく無理数点では０で，有理数点では０でない関数として，ディリクレ関数
\begin{align*}\phi(x)=\begin{cases}0,&x\in\R\setminus\Q,\\1,&x\in\Q\end{cases}\end{align*}
が有名で，ディリクレ関数はリーマン積分不可能な関数として知られています．
ところが，トマエ関数はほとんどの点で小さい値をとるので，任意の有界閉区間上でリーマン積分可能であることが証明できます．この意味でトマエ関数は修正ディリクレ関数（modified Dirichlet function）と呼ばれることもあるようです．
$a,b\in\R$は$a<b$を満たすとする．トマエ関数$f$は$[a,b]$上でリーマン積分可能で
\begin{align*}\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0\end{align*}
となる．
$f$は非負値かつ周期１の周期関数なので，$[0,1]$上でリーマン積分可能$\dint_{0}^{1}f(x)\,dx=0$となることを示せばよい．そのために，$[0,1]$上の$f$の上積分$S_U$と下積分$S_L$がいずれも０に等しいことを示せばよい．
下積分が０であることの証明
任意に$[0,1]$の分割を考える．
$\R$における$\R\setminus\Q$の稠密性とトマエ関数$f$の定義より，分割の各小区間上で$f$は最小値０をとる．
よって，$f$の下方和は$[0,1]$の分割によらず０なので$S_L=0$を得る．
上積分が０であることの証明
任意に$\epsilon\in(0,1)$をとる．$\epsilon<f(x)$となる$x\in[0,1]$は有限個で，この個数を$N_\epsilon$とおく．また，$[0,1]$の分割
\begin{align*}\Delta:0=x_0<x_1<\dots<x_n=1\end{align*}
に対して$|\Delta|:=\max\limits_{i\in\{1,2,\dots,n\}}(x_i-x_{i-1})$とおき，$|\Delta|<\epsilon/N_\epsilon$となるようにとる．
- $\epsilon<f(x)$となる$x$が属さない小区間での$f$の上限は$\epsilon$以下
- $\epsilon<f(x)$となる$x$が属する小区間での$f$の上限は１以下
なので，
- $\epsilon<f(x)$となる$x$が属さない小区間を$I_1,\dots,I_k$
- $\epsilon<f(x)$となる$x$が属する小区間を$J_1,\dots,J_\ell$
とすると，分割$\Delta$に関する$f$の上方和$S_\Delta$について
\begin{align*}S_\Delta\le\sum_{i=1}^{k}\epsilon\cdot|I_i|+\sum_{j=1}^{\ell}1\cdot|J_j|
\le\epsilon+2N_\epsilon|\Delta|
<3\epsilon\end{align*}
が成り立つ．ただし，$j$に関する和の評価では$\epsilon<f(x)$となる$x\in[0,1]$が小区間の境界上にある場合に注意して$\ell\le2N_\epsilon$であることを用いた．
よって，$0=S_L\le S_U\le S_\Delta<3\epsilon$なので，$\epsilon>0$の任意性と併せて$S_U=0$を得る．
$\R$上で上半連続である
トマエ関数はほとんどの点で小さい値をとるので，任意の点で十分小さい近傍をとれば大きく上に離れた値をとらないことが分かり，上半連続であることが分かります．
上半連続の定義
関数が点$a$で上半連続であるとは，直観的には「$a$の近くでは上に離れた値をとらない」ということをいいます．
集合$A\subset\R$と$a\in A$に対して，関数$f:A\to\R$が$a$で上半連続であるとは，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在して，$|x-a|<\delta$を満たす$x\in A$に対して
\begin{align*}f(x)<f(a)+\epsilon\end{align*}
を満たすことをいう．また，$f$が集合$A$上の全ての点で上半連続であれば，$f$は$A$上で上半連続であるという．
通常の連続の定義は$f(a)-\epsilon<f(x)<f(a)+\epsilon(\iff|f(x)-f(a)|<\epsilon)$ですから，これと比べると$f(x)$が$a$の近くで上にだけ離れていなければ上半連続というわけですね．
よって，$f$が点$a$で連続であれば，$f$は点$a$で上半連続でもありますね．
下半連続性も同様に定義されますが，トマエ関数は$\Q$上で下半連続ではありません．これによりトマエ関数は連続でないと言うこともできます．
上半連続性の具体例
例えば，関数$f,g:\R\to\R$を
\begin{align*}f(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\1,&x\ge0\end{cases},\quad
g(x)=\begin{cases}0,&x\le0,\\1,&x>0\end{cases}\end{align*}
で定めると，$f$は$\R$上で上半連続ですが，$g$は０では上半連続ではありません（ただし，$g$は$\R\setminus\{0\}$では上半連続です）．
$g$が０で上半連続でない理由は，$x>0$で$g(x)=1$なので，０の近くで$g(0)=0$から上に離れた値をとることが原因です．
トマエ関数が$\R$上で上半連続であることの証明
証明のアイディアはトマエ関数が$\R\setminus\Q$上で連続であることの証明と同様で，任意の点$a\in\R$に対して除外近傍を小さくとれば，この除外近傍上の任意の点は$\frac{q}{p}$（$p\in\{1,2,\dots,N\}$, $q\in\Z$）の形に表せないことを用いればよいですね．
トマエ関数$f$は$\R$上で上半連続である．
任意に$a\in\R$をとる．任意に$\epsilon>0$をとり，$N:=\lceil\frac{1}{\epsilon}\rceil$とおく．ここで，
\begin{align*}\delta_n:=\min_{k\in\Z,a\neq k/n}\abs{a-\frac{k}{n}},\quad
\delta:=\min_{n\in\{1,2,\dots,N\}}\delta_n\end{align*}
とおくと，$0<|x-a|<\delta$のとき
- $x$が無理数なら$f(x)=0$
- $x$が$\frac{q}{p}$（$p\in\{1,2,\dots,N\}$, $q\in\Z$）の形には表せない有理数なら$f(x)<\frac{1}{N}$
なので，
\begin{align*}f(x)-f(a)\le f(x)-0<\frac{1}{N}\le\epsilon\end{align*}
が成り立つ．よって，$0<|x-a|<\delta$のとき$f(x)<f(a)+\epsilon$が成り立つから，$f$は$\R$上で上半連続である．また，$x=a$のときも$f(x)=f(a)<f(a)+\epsilon$が成り立つ．
任意の有界閉区間$[a,b]$上で有界変動でない（$a<b$）
関数が有界閉区間$I$で有界変動であるとは，直観的には「区間$I$上でのアップダウンが有限である」ということをいいます．
$a<b$とする．有界閉区間$[a,b]$に対して，関数$f:[a,b]\to\R$が$[a,b]$上で有界変動であるとは，$[a,b]$の分割
\begin{align*}\Delta:a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b\end{align*}
に対する$f$の変動
\begin{align*}V_{\Delta}(f):=\sum_{k=1}^{n}|f(x_k)-f(x_{k-1})|\end{align*}
が，分割$\Delta$に関して上に有界であることをいう：$\sup\limits_{\Delta}V_{\Delta}(f)<\infty$．
どんな短い区間上にも分母がいくらでも大きい有理数点が存在し，また$\R$上で稠密な集合$\R\setminus\Q$上で値０もとるので，細かい振動が無限に蓄積して有界変動ではないことになります．
$a<b$とする．トマエ関数$f$は有界閉区間$[a,b]$上で有界変動でない．
$\R$における$\Q$の稠密性より，ある$c=\frac{q}{p}\in\Q$（$p\in\{1,2,\dots\}$と$q\in\Z$は互いに素）が存在して$c\in(a,b)$が成り立つ．
また，$N:=\lceil\frac{1}{p(b-c)}\rceil$とおくと，$n=N+1,N+2,\dots$に対して$r_n:=c+\frac{1}{pn}\in(a,b)$かつ$f(r_n)\ge\frac{1}{pn}$が成り立つ．
そこで，$m\in\{1,2,\dots\}$に対して$[a,b]$の分割$\Delta_m$を
- $x_0=a$, $x_{2m+1}=b$
- $x_{2n+1}=r_{N+m-n}$（$n=0,1,\dots,m-1$）
- $x_{2n+2}\in(x_{2n+1},x_{2n+3})$は無理数（$n=0,1,\dots,m-1$）
で定める．$\Delta_m$に対する$f$の変動$V_{\Delta_m}(f)$は
\begin{align*}V_{\Delta_m}(f)
&\ge\sum_{n=0}^{m-1}|f(x_{2n+1})-f(x_{2n+2})|
\\&=\sum_{n=0}^{m-1}|f(r_{N+m-n})-0|
\\&\ge\frac{1}{p}\sum_{n=N+1}^{N+m}\frac{1}{n}\end{align*}
が従う．$\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty$なので，
\begin{align*}\sup\limits_{\Delta}V_{\Delta}(f)\ge\sup\limits_{m\in\N}V_{\Delta_m}(f)=\infty\end{align*}
となるから，$f$は$[a,b]$上で有界変動でない．
補足：有理数点で連続・無理数点で不連続な関数は存在しない
トマエ関数は$\Q$上で不連続かつ$\R\setminus\Q$上で連続でしたが，「$\Q$上で連続かつ$\R\setminus\Q$上で不連続な関数$f:\R\to\R$」は存在しません．このことは$\Q$の可算性と区間縮小法を用いることで証明できます．
$\Q$上の各点で連続かつ$\R\setminus\Q$上の各点で不連続な関数$f:\R\to\R$が存在しないことを示せ．
直観的には，$\Q=\{r_1,r_2,\dots\}$とおいて，$r_n$を含まない有界閉区間$I_n$で
- $I_1\supset I_2\supset I_3\supset$かつ$\lim_{n\to\infty}|I_n|=0$
- $f(I_n)$の直径が$1/n$未満
となるようにとると，$\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$はただ１つの無理数のみを元にもち，この無理数点で連続となりそうですね．
$\Q$上で連続な関数$f:\R\to\R$を任意にとる．また，$\Q=\{r_1,r_2,\dots\}$とおく．
以下，３ステップで$f$がある無理数点で連続であることを示し，問題の関数が存在しないことを示す．
ステップ１：有界閉区間の列$\{I_n\}_{n=1}^{\infty}$を定める
有界閉区間$I_n=[a_n,b_n]$（$n=1,2,\dots$）を以下のように帰納的に定める．
$I_1:=[r_1+1,r_1+2]$（$a_1:=r_1+1$, $b_1:=r_1+2$）と定める．
次に，ある$n\in\{2,3,\dots\}$に対して$I_{n-1}$が定まったとする．任意に$q_n\in\Q\cap (a_{n-1},b_{n-1})\setminus\{r_n\}$をとる．$q_n\in\Q$より$f$は$q_n$で連続だから，ある$\delta_n>0$が存在して$|q_n-t|<\delta_n$のとき
\begin{align*}|f(q_n)-f(t)|<\frac{1}{2n}\end{align*}
が成り立つ．そこで，
\begin{align*}\rho_n:=\min\brb{\frac{\delta_n}{2},\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{4},\frac{|q_n-a_{n-1}|}{2},\frac{|q_n-b_{n-1}|}{2},\frac{|q_n-r_n|}{2}}\end{align*}
とおき，$I_n:=[q_n-\rho_n,q_n+\rho_n]$と定める．なお，$\rho_n>0$に注意する．
ステップ２：列$\{I_n\}_{n=1}^{\infty}$に区間縮小法を適用する
任意の$n\in\{2,3,\dots\}$に対して，$\rho_n\le\min\{\frac{|q_n-a_{n-1}|}{2},\frac{|q_n-b_{n-1}|}{2}\}$だから
\begin{align*}I_n\subset I_{n-1}\end{align*}
が成り立ち，$\rho_n\le\frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{4}$より$|I_n|\le\frac{1}{2}|I_{n-1}|$だから
\begin{align*}\lim_{n\to\infty}|I_n|=0\end{align*}
が成り立つ．よって，区間縮小法より，ある$\alpha\in\R$が存在して$\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{\alpha\}$が成り立つ．また，
\begin{align*}a_1<a_2<\dots<a_n<\alpha<b_n<\dots<b_2<b_1\end{align*}
であることに注意する（$n=1,2,\dots$）．
ステップ３：$f$は$\alpha$で連続かつ$\alpha\notin\Q$を示す
任意に$\epsilon>0$をとる．ある$N\in\{2,3,\dots\}$が存在して$\frac{1}{N}<\epsilon$が成り立つ．
\begin{align*}\delta’:=\min\brb{\frac{\alpha-a_N}{2},\frac{b_N-\alpha}{2}}\end{align*}
とおくと$(\alpha-\delta’,\alpha+\delta’)\subset I_N$なので，$|x-\alpha|<\delta’$のとき$x\in I_N$となるから
\begin{align*}|f(\alpha)-f(x)|&\le|f(p_N)-f(\alpha)|+|f(p_N)-f(x)|
\\&<\frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}=\frac{1}{N}<\epsilon\end{align*}
が成り立つので，$f$は$\alpha$で連続である．
また，$r_n\notin I_n$（$n=1,2,3,\dots$）より任意の有理数が$\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$に属さないから$\alpha\notin\Q$である．
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