シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

前回の記事では，初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}$

の解$u=e^{it\Delta}u_0$について成り立つ[$L^pL^q$評価]を示しました．

この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します．

[$L^pL^q$評価]は端点の場合を示し，間の組$(p,q)$に対しては補間定理を用いることで示すことができるのでした．

なお，Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は，歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します．

一連の記事はこちら

【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
【シュレディンガー方程式の基本解の[$L^pL^q$評価]の導出】
【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】←今の記事

1 準備
2 Strichartz評価
3 参考文献

準備

[Strichartz評価]を述べる前に，いくつか準備をします．

$L^pL^q$評価

まずは前回の記事で証明した[$L^pL^q$評価]を確認しておきましょう．

[$L^{p}L^{q}$評価]　$p\in[1,2]$と$u\in L^{q}(\R^{d})$に対して

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})} \end{align*}$

が成り立つ．ただし，$q\in[2,\infty]$は$p$のHölder共役である：$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$．

証明は以下の記事を参照してください．

【前回の記事：シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出】

シュレディンガー方程式の[$L^pL^q$評価]は基本解の$L^p$ノルムを評価する上で基本的です．丁寧に[$L^pL^q$評価]を証明しています．

許容指数対

まずはノルム$\|\cdot\|_{L^q(I;L^r)}$を定めます．

$q,r\ge1$とし，区間$I\subset\R$とする．このとき，

$\begin{align*} &\|f\|_{L^q}=\|f\|_{L^q_t(I)}:=\bra{\int_{I}|f(t)|^q\,dt}^{1/q}, \\&\|f\|_{L^r}=\|f\|_{L^r_x(\R^d)}:=\bra{\int_{\R^d}|f(x)|^r\,dx}^{1/r} \end{align*}$

に対して，$I\times\R^d$で定義された可測関数$f$が$x$に関して$r$乗可積分であり，さらに$\|f\|_{L^{r}_{x}(\R^d)}$が$t$に関して$q$乗可積分であるとき，

$\begin{align*} \|f\|_{L^q(I;L^r)} :=&\nor{\|f\|_{L^{r}_{x}(\R^d)}}_{L^q_t(I)} \\=&\brb{\int_{I}\bra{\int_{\R^d}|f(t,x)|^r\,dx}^{q/r}\,dt}^{1/q} \end{align*}$

と定め，$\|f\|_{L^q(I;L^r)}<\infty$となる関数$f$全体の空間を$L^qL^r(I\times\R^d)$と表す．

[Strichartz評価]は

$\nor{e^{it\Delta}\phi}_{L^{q}_{t}(I;L^{r}_{x})}$
$\nor{\dint_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q}_{t}(I;L^{r}_{x})}$

の上からの評価式ですが，好きな組$(q,r)$に対して成り立つわけではありません．

[Strichartz評価]は組$(q,r)$が許容指数対 (admissible pair)である場合に成り立ちます．

組$(q,r)\in\R^2$が

$\begin{align*} \frac{2}{q}=\frac{d}{2}-\frac{d}{r},\quad q\in(2,\infty] \end{align*}$

を同時に満たすとき，$(p,q)$は(Strichartzの)許容指数対 (admissible pair)であるという．

また，組$(a,b)\in\R^2$に対して，Hölder共役の組$(a’,b’)$が許容指数対であるとき，$(a,b)$を双対許容指数対 (dual-admissible pair)という．

なお，$(q,r)$が許容指数対であるとき，$q$の範囲から

$\begin{align*} r\in\begin{cases} [2,\frac{2d}{d-2})&(d\ge3)\\ [2,\infty)&(d=1,2)\\ \end{cases} \end{align*}$

が得られます．このことから，$(q,r)$を許容指数対，$(\alpha,\beta)$を双対許容指数対とすると，２点$(\frac{1}{r},\frac{1}{q})$，点$(\frac{1}{b},\frac{1}{a})$は下図の線分上に存在しますね．

$(\frac{1}{b},\frac{1}{a})$と$(\frac{1}{b’},\frac{1}{a’})$は点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$に関して対称になりますね．

実は[Strichartz評価]はこの場合に加えて

$d\ge3$のときの$r=\frac{2d}{d-2}$ ($q=2$)の場合
$d=2$のときの$r=\infty$ ($q=2$)の場合

にも成り立ち，この場合の評価を端点評価といいます．

そのため，この端点も許容指数対に含めることもありますが，端点評価は別の証明が必要となるのでこの記事では証明しません．

Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式

ここでは[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]を説明しますが，その前に便利な不等式の記号$\lesssim$を定義しておきます．

集合$X$上の関数$p,q:X\to\R$に対して，

$\begin{align*} &p(x)\lesssim q(x) \\\stackrel{\mrm{def.}}{\iff}&\exi C>0\ \mrm{s.t.}\ \all x\in X\ p(x)\le Cq(x) \end{align*}$

とする．

続けて不等式を行うときには，$p(x)\le Cq(x)$の$C$は変化していくことは多いですが，その度に$C_1,C_2,\dots$と新しい文字を導入するのは面倒です．

そのような場合には，不等式$\lesssim$を使えば，$C$を定義する必要なく不等式を続けて書くことができます．

[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]　指数$(p,q,s)\in\R$は

$\begin{align*} p,q\in(1,\infty),\quad 0<s<\frac{d}{p},\quad s-\frac{d}{p}=-\frac{d}{q} \end{align*}$

を同時に満たすとする．このとき，$f \in L^{p}(\R^{d})$に対して，

$\begin{align*} \nor{\int_{\R^d}\frac{f(y)}{|x-y|^{d-s}}\,dy}_{L^q_x(\R^{d})} \lesssim\|f\|_{L^p(\R^{d})} \end{align*}$

を満たす．

Strichartz評価

準備ができたので，[Strichartz評価]について説明します．

[Strichartz評価]　$(q,r)$, $(a,b)\in\R^2$を許容指数対，$t_0\in\R$とし，区間$I\subset\R_{t}$は$t_0\in\overline{I}$を満たすとする．$\phi\in L^2_{x}(\R^{d})$と$F\in L^{a’}L^{b’}(I\times\R^{d})$に対して，次が成り立つ．

$\begin{align*} &\nor{e^{it\Delta}\phi}_{L^{q}(I;L^r)} \lesssim\|\phi\|_{L^2}\quad\dots(\star), \\&\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^q(I;L^r)} \lesssim\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\star\star) \end{align*}$

ただし，$p\ge1$に対して，$p$のHölder共役を$p’$で表す．

不等式$(\star\star)$を言い換えれば，積分作用素

$\begin{align*} L^{a'}_tL^{b'}_x(I\times\R^d)\to L^{q}_tL^{r}_x(I\times\R^d);F\longmapsto\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds \end{align*}$

が有界ということになります．この指数の関係を図で表せば，下図のようになっています．

不等式$(\star\star)$の証明では，この図をイメージできていれば，補間の様子が分かりやすいでしょう．

この記事では，端点評価は証明せずに$r\in[2,\frac{2d}{d-2})$の場合のみ示します．

(i)　不等式$(\star)$を示す．任意の$g\in \mathcal{S}(I\times\R^{d})$に対して，

$\begin{align*} \abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\bra{e^{it\Delta}\phi(x)}\overline{g(t,x)}\,dxdt} \lesssim\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})}\|\phi\|_{L^2} \end{align*}$

を示せば，双対性により$(\star)$が得られる．

$e^{it\Delta}$の$L^2(\R^d)$上の共役作用素が$e^{-it\Delta}$であることと[Hölder(Cauchy)の不等式]より，

$\begin{align*} &\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\bra{e^{it\Delta}\phi(x)}\overline{g(t)}\,dxdt} \\=&\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\phi(x)\overline{e^{-it\Delta}g(t,x)}\,dxdt} =\abs{\int_{\R^{d}}\phi(x)\overline{\bra{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}\,dx} \\\le&\|\phi(x)\|_{L^2_x}\nor{\overline{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}_{L^2_x} =\|\phi\|_{L^2_x}\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_x} \end{align*}$

が成り立つ．また，[Fubini-Tonelliの定理]，[Hölderの不等式]，[$L^pL^q$評価]，[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]より

$\begin{align*} \\&\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_x}^2 \\=&\anb{\int_{I}e^{-is\Delta}g(s,x)\,ds,\int_{I}e^{-it\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x} \\=&\int_{\R^d}\bra{\int_{I}e^{-is\Delta}g(s,x)\,ds}\overline{\bra{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t,x)\,dt}}\,dx \\=&\int_{I}\int_{I}\int_{\R^d}e^{-is\Delta}g(s,x)\overline{e^{-it\Delta}g(t,x)}\,dxdsdt \\=&\int_{I}\int_{I}\int_{\R^d}e^{i(t-s)\Delta}g(s,x)\overline{g(t,x)}\,dxdsdt \\\le&\int_{I}\bra{\int_{I}\nor{e^{i(t-s)\Delta}g(s)}_{L^r_x}\,ds}\nor{\overline{g(t)}}_{L^{r'}_x}\,dsdt \\\lesssim&\int_{I}\bra{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}\nor{g(t)}_{L^{r'}_x}\,dt \\\le&\nor{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}_{L^{q}_t}\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})} \\\le&\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})}^2 \end{align*}$

が成り立つから，双対性より不等式$(\star)$を得る．

(ii)　まずは$(q,r)=(a,b)$のときの不等式$(\star\star)$を示す．

[Minkowskiの不等式]，[$L^pL^q$評価]，[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]から

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q}(I;L^r)} =&\nor{\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^r_x}}_{L^q_t} \\\le&\nor{\int_{t_0}^{t}\nor{e^{i(t-s)\Delta}F(s)}_{L^r_x}\,ds}_{L^q_t} \\\lesssim&\nor{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}_{L^{q}_t} \\\lesssim&\|F\|_{L^{q'}(I;L^{r'})} =\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\ast) \end{align*}$

が成り立つ．

ここで，$r<b$のときと$b<r$のときの指数の関係を図で表せば，下図のようになっている．

よって，不等式

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}(I;L^2)}\lesssim\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})} \end{align*}$

を示せば，上で示した不等式$(\ast)$との補間により$r<b$の場合が従い，

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{a}(I;L^b)}\lesssim\|F\|_{L^1_{t}(I;L^2)} \end{align*}$

を示せば，上で示した不等式$(\ast)$との補間により$b<r$の場合が従う．

[1]　不等式$(\star)$の証明の後半と同様に

$\begin{align*} &\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^2_x}^2 \\=&\anb{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds,\int_{t_0}^{t}e^{i(t-u)\Delta}F(s)\,ds}_{L^2_x} \\\le&\int_{I}\int_{I}\nor{e^{i(u-s)\Delta}F(s)}_{L^b_x}\|F(u)\|_{L^{b'}_x}\,dsdu \\\le&\int_{I}\bra{\int_{I}|u-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{b'}_x}\,ds}\|F(u)\|_{L^{b'}_x}\,du \\\le&\nor{\int_{I}|u-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{b'}_x}\,ds}_{L^a_u}\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})} \\\lesssim&\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}^2 \end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}(I;L^2)} \lesssim&\nor{\|F\|_{L^{a'}_{t}(I;L^{b'})}}_{L^{\infty}_t} \\=&\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\ast\ast) \end{align*}$

を得る．よって，$r<b$のときに成り立つことが分かった．

[2]　$I_{\pm}\in\R$を

$\begin{align*} I_+:=\sup I,\quad I_-:=\inf I \end{align*}$

で定めると，

$\begin{align*} &\set{(s,t)\in\R^2}{t\in[t_0,T_+],s\in[t_0,t]} \\&\quad=\set{(s,t)\in\R^2}{s\in[t_0,T_+],t\in[s,T_+]}, \\&\set{(s,t)\in\R^2}{t\in[T_-,t_0],s\in[t,t_0]} \\&\quad=\set{(s,t)\in\R^2}{s\in[T_-,t_0],t\in[T_-,s]} \end{align*}$

なので，任意の$g\in\mathcal{S}(I\times\R^{d})$に対して，$(\ast\ast)$を用いれば

$\begin{align*} &\abs{\int_{I}\int_{\R^d}\bra{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s,x)\,ds}\overline{g(t,x)}\,dxdt} \\=&\abs{\int_{\R^d}\int_{I}\int_{t_0}^{t}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx} \\=&\left|\int_{\R^d}\int_{t_0}^{T_+}\int_{t_0}^{t}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx\right. \\&\quad-\left.\int_{\R^d}\int_{T_-}^{t_0}\int_{t}^{t_0}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx\right| \\\le&\left|\int_{\R^d}\int_{t_0}^{T_+}\overline{\bra{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dsdx\right. \\&\quad-\left.\int_{\R^d}\int_{T_-}^{t_0}\overline{\bra{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dsdx\right| \\\le&\abs{\int_{t_0}^{T_+}\int_{\R^d}\overline{\bra{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dxds} \\&\quad+\abs{\int_{T_-}^{t_0}\int_{\R^d}\overline{\bra{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dxds} \\\le&\int_{I}\nor{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x}\|F(s)\|_{L^2_x}\,ds \\&\quad+\int_{I}\nor{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x}\|F(s)\|_{L^2_x}\,ds \\\le&\nor{\int_{a}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^\infty(I;L^2)}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \\&\quad+\nor{\int_{b}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^\infty(I;L^2)}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \\\lesssim&\|g\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \end{align*}$

を得る．したがって，双対性により，

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s,\cdot)\,ds}_{L^a(I;L^b)} \lesssim\|F\|_{L^1(I;L^2)} \end{align*}$

を得る．よって，$r<b$のときに成り立つことが分かった．

なお，証明中で用いた双対性については，以下の記事を参照してください．

【双対性議論(duality argument)について】

$p\in[1,\infty)$に対して，$L^{p}$の共役(双対)空間$(L^p)^*$が$L^{p’}$と同型であることはよく知られています．この記事では，この$(L^p)^*$ノルムと$L^{p’}$ノルムが等しいことを示します．

参考文献

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克著，丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し，

波動方程式
熱方程式
Schrödinger方程式
Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます．

本書の特徴は，様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と，証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促している点です．

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも，広くトピックを扱っていることが見てとれますね．

誤植が多いのが１つ残念な点ではありますが，これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず，この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます．

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