ストリッカーツ評価｜シュレディンガー方程式の分散性の評価

前回の記事では，初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}$

の解$u=e^{it\Delta}u_0$について成り立つ[$L^pL^q$評価]を示しました．

この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式であるStrichartz(ストリッカーツ)評価を説明します．

なお，Schrödinger方程式の[Strichartz評価]は，歴史的にはより古い波動方程式に関する[Strichartz-Brenner評価]に対応します．

一連の記事はこちら

【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
【シュレディンガー方程式の分散性｜基本解のLpLq評価の導出】
【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】←今の記事

準備
Strichartz評価
1. 許容指数対
2. Strichartz評価
参考文献

準備

[Strichartz評価]を述べる前に，いくつか準備をします．

$L^pL^q$評価

まずは前回の記事で証明した[$L^pL^q$評価]を確認しておきましょう．

[$L^{p}L^{q}$評価]　$p\in[2,\infty]$と$u\in L^{q}(\R^{d})$に対して

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})} \end{align*}$

が成り立つ．ただし，$q\in[1,2]$は$p$のHölder共役である：$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$．

証明は以下の記事を参照してください．

シュレディンガー方程式の分散性｜基本解のLpLq評価の導出

シュレディンガー方程式の基本解に関してLpLq評価という基本的な不等式があります．LpLq評価はシュレディンガー方程式を考える上で重要なストリッカーツ評価のベースとなります．

$L^qL^r$ノルム

$\Omega$を可測集合とするとき，$L^p(\Omega)$ノルムは

$\begin{align*} \|f\|_{L^p(\Omega)}:=\bra{\int_{\Omega}|f(x)|^p\,dx}^{1/p} \end{align*}$

と定めますね．

$I\subset\R$を区間とするとき，$F:I\times\R^d\to\C$に対して，次のようにノルム$\|\cdot\|_{L^q(I;L^r)}$を定めます．

$q,r\ge1$とし，区間$I\subset\R$とする．可測関数$F:I\times\R^d\to\C$に対して，

$\begin{align*} \|F\|_{L^q(I;L^r)} :=&\nor{\|F\|_{L^{r}_{x}(\R^d)}}_{L^q_t(I)} \\=&\brb{\int_{I}\bra{\int_{\R^d}|F(t,x)|^r\,dx}^{q/r}\,dt}^{1/q} \end{align*}$

と定め，$\|f\|_{L^q(I;L^r)}<\infty$となる関数$f$全体の空間を$L^q(I;L^r(\R^d))$や$L^qL^r(I\times\R^d)$などと表す．

Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式

ここでは[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]を説明しますが，その前に便利な不等式の記号$\lesssim$を定義しておきます．

集合$X$上の関数$p,q:X\to\R$に対して，

$\begin{align*} &p(x)\lesssim q(x) \\\stackrel{\mathrm{def.}}{\iff}&\exi C>0\ \mrm{s.t.}\ \all x\in X\ p(x)\le Cq(x) \end{align*}$

とする．

続けて不等式を行うときには，$p(x)\le Cq(x)$の$C$は変化していくことは多いですが，その度に$C_1,C_2,\dots$と新しい文字を導入するのは面倒です．

そのような場合には，不等式$\lesssim$を使えば，新たな定数を導入することなく不等式を続けて書くことができます．

[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]　指数$(p,q,s)\in\R^3$は

$\begin{align*} p,q\in(1,\infty),\quad 0<s<\frac{d}{p},\quad \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{s}{d} \end{align*}$

を同時に満たすとする．このとき，$f \in L^{p}(\R^{d})$に対して，

$\begin{align*} \nor{\int_{\R^d}\frac{f(y)}{|x-y|^{d-s}}\,dy}_{L^q_x(\R^{d})} \lesssim\|f\|_{L^p(\R^{d})} \end{align*}$

を満たす．

Strichartz評価

[Strichartz評価]は

$\nor{e^{it\Delta}\phi}_{L^{q}_{t}(I;L^{r}_{x})}$
$\nor{\dint_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q}_{t}(I;L^{r}_{x})}$

に関する評価ですが，好きな組$(q,r)$に対して成り立つわけではありません．

許容指数対

[Strichartz評価]は組$(q,r)$が許容指数対である場合に成り立ちます．

組$(q,r)\in\R^2$が

$\begin{align*} \frac{2}{q}=\frac{d}{2}-\frac{d}{r},\quad q\in(2,\infty] \end{align*}$

を同時に満たすとき，$(p,q)$は(Strichartzの)許容指数対 (admissible pair)であるという．

また，組$(a,b)\in\R^2$に対して，Hölder共役の組$(a’,b’)$が許容指数対であるとき，$(a,b)$を双対許容指数対 (dual-admissible pair)という．

なお，$(q,r)$が許容指数対であるとき，$q$の範囲から自然に

$\begin{align*} r\in\begin{cases} [2,\frac{2d}{d-2})&(d\ge3)\\ [2,\infty)&(d=1,2)\\ \end{cases} \end{align*}$

が得られます．このことから，$(q,r)$を許容指数対，$(a,b)$を双対許容指数対とすると，２点$(\frac{1}{r},\frac{1}{q})$，点$(\frac{1}{a},\frac{1}{b})$は下図の線分上に存在しますね．

$(\frac{1}{q},\frac{1}{r})$と$(\frac{1}{q’},\frac{1}{r’})$は点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$に関して対称になりますね．

実は[Strichartz評価]はこの場合に加えて$d\ge3$のときの$q=2\iff r=\frac{2d}{d-2}$の場合にも成り立ち，この場合の評価を端点評価といいます．

そのため，この端点も許容指数対に含めることもありますが，端点評価は別の証明が必要となるのでこの記事では証明しません．

Strichartz評価

準備ができたので，[Strichartz評価]について説明します．

[Strichartz評価]　$(q,r)$, $(a,b)\in\R^2$を許容指数対，$t_0\in\R$とし，区間$I\subset\R_{t}$は$t_0\in\overline{I}$を満たすとする．$\phi\in L^2_{x}(\R^{d})$と$F\in L^{a’}L^{b’}(I\times\R^{d})$に対して，次が成り立つ．

$\begin{align*} &\nor{e^{it\Delta}\phi}_{L^{q}(I;L^r)} \lesssim\|\phi\|_{L^2}\quad\dots(\star), \\&\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^q(I;L^r)} \lesssim\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\star\star) \end{align*}$

ただし，$p\ge1$に対して，$p$のHölder共役を$p’$で表す．

不等式$(\star\star)$を言い換えれば，積分作用素

$\begin{align*} L^{a'}_tL^{b'}_x(I\times\R^d)\to L^{q}_tL^{r}_x(I\times\R^d);F\longmapsto\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds \end{align*}$

が有界ということになります．この指数の関係を図で表せば，下図のようになっています．

不等式$(\star\star)$の証明では，この図をイメージできていれば，補間の様子が分かりやすいでしょう．

この記事では，端点評価は証明せずに$r\in[2,\frac{2d}{d-2})$の場合のみ示します．

証明を表示

(i)　不等式$(\star)$を示す．任意の$g\in \mathcal{S}(I\times\R^{d})$に対して，

$\begin{align*} \abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\bra{e^{it\Delta}\phi(x)}\overline{g(t,x)}\,dxdt} \lesssim\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})}\|\phi\|_{L^2} \end{align*}$

を示せば，双対性により$(\star)$が得られる．

$e^{it\Delta}$の$L^2(\R^d)$上の共役作用素が$e^{-it\Delta}$であることと[Hölder(Cauchy)の不等式]より，

$\begin{align*} &\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\bra{e^{it\Delta}\phi(x)}\overline{g(t)}\,dxdt} \\=&\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\phi(x)\overline{e^{-it\Delta}g(t,x)}\,dxdt} =\abs{\int_{\R^{d}}\phi(x)\overline{\bra{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}\,dx} \\\le&\|\phi(x)\|_{L^2_x}\nor{\overline{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}_{L^2_x} =\|\phi\|_{L^2_x}\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_x} \end{align*}$

が成り立つ．また，[Fubini-Tonelliの定理]，[Hölderの不等式]，[$L^pL^q$評価]，[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]より

$\begin{align*} \\&\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_x}^2 \\=&\anb{\int_{I}e^{-is\Delta}g(s,x)\,ds,\int_{I}e^{-it\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x} \\=&\int_{\R^d}\bra{\int_{I}e^{-is\Delta}g(s,x)\,ds}\overline{\bra{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t,x)\,dt}}\,dx \\=&\int_{I}\int_{I}\int_{\R^d}e^{-is\Delta}g(s,x)\overline{e^{-it\Delta}g(t,x)}\,dxdsdt \\=&\int_{I}\int_{I}\int_{\R^d}e^{i(t-s)\Delta}g(s,x)\overline{g(t,x)}\,dxdsdt \\\le&\int_{I}\bra{\int_{I}\nor{e^{i(t-s)\Delta}g(s)}_{L^r_x}\,ds}\nor{\overline{g(t)}}_{L^{r'}_x}\,dsdt \\\lesssim&\int_{I}\bra{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}\nor{g(t)}_{L^{r'}_x}\,dt \\\le&\nor{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}_{L^{q}_t}\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})} \\\le&\|g\|_{L^{q'}(I;L^{r'})}^2 \end{align*}$

が成り立つから，双対性より不等式$(\star)$を得る．

(ii)　まずは$(q,r)=(a,b)$のときの不等式$(\star\star)$を示す．

[Minkowskiの不等式]，[$L^pL^q$評価]，[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]から

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q}(I;L^r)} =&\nor{\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^r_x}}_{L^q_t} \\\le&\nor{\int_{t_0}^{t}\nor{e^{i(t-s)\Delta}F(s)}_{L^r_x}\,ds}_{L^q_t} \\\lesssim&\nor{\int_{I}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{r'}_x}\,ds}_{L^{q}_t} \\\lesssim&\|F\|_{L^{q'}(I;L^{r'})} =\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\ast) \end{align*}$

が成り立つ．

Rendered by QuickLaTeX.com

ここで，$r<b$のときと$b<r$のときの指数の関係を図で表せば，下図のようになっている．

Rendered by QuickLaTeX.com

よって，不等式

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}(I;L^2)}\lesssim\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})} \end{align*}$

を示せば，上で示した不等式$(\ast)$との補間により$r<b$の場合が従い，

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{a}(I;L^b)}\lesssim\|F\|_{L^1_{t}(I;L^2)} \end{align*}$

を示せば，上で示した不等式$(\ast)$との補間により$b<r$の場合が従う．

[1]　不等式$(\star)$の証明の後半と同様に

$\begin{align*} &\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^2_x}^2 \\=&\anb{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds,\int_{t_0}^{t}e^{i(t-u)\Delta}F(s)\,ds}_{L^2_x} \\\le&\int_{I}\int_{I}\nor{e^{i(u-s)\Delta}F(s)}_{L^b_x}\|F(u)\|_{L^{b'}_x}\,dsdu \\\le&\int_{I}\bra{\int_{I}|u-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{b'}_x}\,ds}\|F(u)\|_{L^{b'}_x}\,du \\\le&\nor{\int_{I}|u-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{b})}\|F(s)\|_{L^{b'}_x}\,ds}_{L^a_u}\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})} \\\lesssim&\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}^2 \end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}(I;L^2)} \lesssim&\nor{\|F\|_{L^{a'}_{t}(I;L^{b'})}}_{L^{\infty}_t} \\=&\|F\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\quad\dots(\ast\ast) \end{align*}$

を得る．よって，$r<b$のときに成り立つことが分かった．

[2]　$I_{\pm}\in\R$を

$\begin{align*} I_+:=\sup I,\quad I_-:=\inf I \end{align*}$

で定めると，

$\begin{align*} &\set{(s,t)\in\R^2}{t\in[t_0,T_+],s\in[t_0,t]} \\&\quad=\set{(s,t)\in\R^2}{s\in[t_0,T_+],t\in[s,T_+]}, \\&\set{(s,t)\in\R^2}{t\in[T_-,t_0],s\in[t,t_0]} \\&\quad=\set{(s,t)\in\R^2}{s\in[T_-,t_0],t\in[T_-,s]} \end{align*}$

なので，任意の$g\in\mathcal{S}(I\times\R^{d})$に対して，$(\ast\ast)$を用いれば

$\begin{align*} &\abs{\int_{I}\int_{\R^d}\bra{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s,x)\,ds}\overline{g(t,x)}\,dxdt} \\=&\abs{\int_{\R^d}\int_{I}\int_{t_0}^{t}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx} \\=&\left|\int_{\R^d}\int_{t_0}^{T_+}\int_{t_0}^{t}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx\right. \\&\quad-\left.\int_{\R^d}\int_{T_-}^{t_0}\int_{t}^{t_0}F(s,x)\overline{e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)}\,dsdtdx\right| \\\le&\left|\int_{\R^d}\int_{t_0}^{T_+}\overline{\bra{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dsdx\right. \\&\quad-\left.\int_{\R^d}\int_{T_-}^{t_0}\overline{\bra{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dsdx\right| \\\le&\abs{\int_{t_0}^{T_+}\int_{\R^d}\overline{\bra{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dxds} \\&\quad+\abs{\int_{T_-}^{t_0}\int_{\R^d}\overline{\bra{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}}F(s,x)\,dxds} \\\le&\int_{I}\nor{\int_{s}^{T_+}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x}\|F(s)\|_{L^2_x}\,ds \\&\quad+\int_{I}\nor{\int_{T_-}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t,x)\,dt}_{L^2_x}\|F(s)\|_{L^2_x}\,ds \\\le&\nor{\int_{a}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^\infty(I;L^2)}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \\&\quad+\nor{\int_{b}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^\infty(I;L^2)}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \\\lesssim&\|g\|_{L^{a'}(I;L^{b'})}\|F\|_{L^1(I;L^2)} \end{align*}$