LaX-Milgramの定理｜偏微分方程式の弱解の存在と一意性のために

偏微分方程式に

解が存在するか
解が存在するなら一意か

ということは当たり前でないことも多く，最先端の研究でも広く研究されています．

そこで，解について考察する前に解を少し弱めた弱解の存在と一意性を議論することがよくあります．

この偏微分方程式の弱解の存在と一意性を示すために有用な定理としてLax-Milgramの定理があります．

のちに説明するように，このLax-Milgramの定理は「有界線形汎関数は内積で表せる」というRieszの定理の拡張となっています．

この記事では幾つかの予備概念を確認し，Lax-Milgramの定理の主張を述べ証明をします．

1 準備
2 Lax-Milgramの定理

準備

Lax-Milgramの定理を理解するために必要な幾つかの概念を準備しておきます．

双線形形式

Lax-Milgramの定理の主張のなかに，有界かつ強圧的な双線形形式が登場するので，これらを定義しましょう．

まずは双線形形式の定義です．

[双線形形式]　実線形空間$V$に対して，写像$B:V\times V\to\R$が次のいずれも満たすとき，$B$を$V$上の双線形形式 (bilinear form)または双線形写像 (bilinear map)という．

任意の$u,v,w\in V$に対して，
$\begin{align*}&B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w),\\&B(u,v+w)=B(u,v)+B(u,w)\end{align*}$
任意の$u,v\in V$と$k\in\R$に対して，
$\begin{align*}B(ku,v)=B(u,kv)=kB(u,v)\end{align*}$

すなわち，線形空間の２元からスカラーを返す写像で，各変数について線形となっている写像のことを双線形形式というわけですね．

双線形形式を定義するだけなら$V$は線形空間でよいですが，

有界性
強圧性

は$V$がノルム空間の場合に定義されます．

[有界性，強圧性]　実ノルム空間$(V,\|\cdot\|)$上の双線形形式$B:V\times V\to\R$に対して，次のように定義する

ある$C>0$が存在して，任意の$u,v\in V$に対して
$\begin{align*}|B(u,v)|\le C\|u\|\|v\|\end{align*}$

が成り立つとき，$B$は有界 (bounded)であるという．
ある$D>0$が存在して，任意の$u\in V$に対して
$\begin{align*}D\|u\|^2\le B(u,u)\end{align*}$

が成り立つとき，$B$は強圧的 (coercive)であるという．

例えば，$V$が内積空間なら$V$の内積$\anb{\cdot,\cdot}$は有界で強圧的な双線形形式です．

Cauchy-Schwarzの不等式より，任意の$u,v\in V$に対して$|\anb{u,v}|\le\|u\|\|v\|$
内積とノルムの関係(ノルムの定義)より，任意の$u\in V$に対して$\|u\|^2=|\anb{u,u}|$

を満たすことから，上の定義で$C=D=1$と取れますね．

有界線形汎関数

Lax-Milgramの定理の主張のなかに，有界な線形汎函数も登場するので，次はこれらを定義しましょう．

まずは線形汎函数の定義です．

[線形汎関数]　実線形空間$V$に対して，写像$f:V\to\R$を$V$上の汎関数 (functional)という．

さらに，$V$上の線形な汎関数を線形汎函数 (linear functional)という．

すなわち，実線形空間$V$から実線形空間$\R$への線形写像を$V$上の線形汎関数というわけですね．

双線形形式と同じく，有界性は$V$がノルム空間の場合に定義されます．

[有界性]　実ノルム空間$(V,\|\cdot\|)$上の線形汎関数$f:V\to\R$を考える．ある$C>0$が存在して，任意の$u\in V$に対して

$\begin{align*}|f(u)|\le C\|u\|\end{align*}$

が成り立つとき，$f$は有界 (bounded)であるという．

Rieszの定理

線形空間$V$上の有界線形汎関数$f:V\to\R$全部の集合を$V^*$と表し，$V^*$に

和：$f,g\in V^*$の和$f+g$を$(f+g)(u)=f(u)+g(u)$
スカラー倍：$f\in V^*$の$\alpha\in\R$倍$\alpha f$を$(\alpha f)(u)=\alpha f(u)$

を定めると，$V^*$は線形空間となるのでした．この空間$V^*$を$V$の双対空間 (dual space)または共役空間 (conjugate space)といいますね．

Riesz(リース)の表現定理または単にRieszの定理は，Hilbert空間$H$の双対空間の任意の元が内積を用いて表す定理で次のように述べられます．

[Rieszの表現定理]　Hilbert空間$(H,\anb{\cdot,\cdot})$を考える．任意の有界線形汎関数$f$(すなわち$f\in H^{*}$)に対して，ある$u\in H$が一意に存在して，任意の$v\in H$に対して$f(v)=\anb{v,u}$が成り立つ．

また，Rieszの定理には$\|f\|_{V^*}=\|v\|_V$を含めることも多いですが，本記事では用いないのでここでは省略しています．

Lax-Milgramの定理

それではLax-Milgramの定理の紹介と証明に移ります．

[Lax-Milgramの定理]　実Hilbert空間$(H,\anb{\cdot,\cdot})$上の有界かつ強圧的な双線形形式$B:H\times H\to\R$を考える．任意の有界線形汎関数$f$(すなわち$f\in H^{*}$)に対して，ある$u\in H$が一意に存在して，任意の$v\in H$に対して$f(v)=B(u,v)$が成り立つ．

「有界線形汎関数$f$は内積を用いて$f=\anb{u,\cdot}$と表せる」というのがRieszの定理の定理だったわけですが，このLax-Milgramの定理は内積じゃなくても「有界かつ強圧的な双線形形式$B$を用いて$f=B(u,\cdot)$と表せる」ということになっているわけですね．

内積は有界かつ強圧的な双線形形式だったので，実は本記事の主題のLax-Milgramの定理はこのRieszの定理の拡張と呼べるものになっているわけですね．

証明を表示

$B$は有界かつ強圧的だから

ある$C>0$が存在して，任意の$u,v\in V$に対して$|B(u,v)|\le C\|u\|\|v\|$
ある$D>0$が存在して，任意の$u\in V$に対して$D\|u\|^2\le B(u,u)$

が成り立つ．

[一意性の証明]　まず存在すれば一意であることを示す．

$u,u’\in H$が任意の$v\in H$に対して$B(u,v)=f(v)$, $B(u’,v)=f(v)$を満たすとする．

このとき，$v=u-u’$とおいて，辺々引けば$B$の線形性より

$\begin{align*} 0=B(u-u',v)=B(u-u',u-u')\le D\|u-u'\| \end{align*}$

となるから$u=u’$を得る．

[存在の証明]　任意の$u\in H$に対して，$H$上の汎関数

$\begin{align*} g:H\to\R; v\mapsto B(u,v) \end{align*}$

は$B$が有界な双線形形式だから有界線形汎関数である．よって，Rieszの定理より$g=\anb{\cdot,w}_H$なる$w\in H$が一意に存在する．

いま$u\mapsto g\mapsto w$と定まったから，この$u\in H$から$w\in H$への作用素を$T$とする．このとき

$\begin{align*} B(u,v)=g(v)=\anb{v,w}=\anb{v,Tu}=\anb{Tu,v} \end{align*}$

が成り立つ．

また，仮定より$f$は有界線形汎関数だから，Rieszの表現定理より，ある$w\in H$が存在して$f=\anb{\cdot,w}$が成り立つ．

ここで$T$の値域$R(T)$が$H$であれば，ある$u\in H$が存在して$Tu=w$を満たすから

$\begin{align*} B(u,v)=\anb{Tu,v}=\anb{w,v}=\anb{v,w}=f(v) \end{align*}$

が成り立つ．

したがって，あとは$R(T)=H$を示せばよく，これ４ステップに分けて示す．

[ステップ１]　$T$は$H$上の有界線形作用素であることを示す．

任意に$v\in V$をとる．$B$は双線形形式だから，任意の$u,u’\in H$と$\alpha\in\R$に対して

$\begin{align*} \anb{T(\alpha u+u'),v} =&B(\alpha u+u',v)=\alpha B(u,v)+B(u',v) \\=&\alpha \anb{Tu,v}+\anb{Tu',v} =\anb{\alpha Tu+Tu',v} \end{align*}$

が成り立つ．第２成分の$v$は任意だったから，$T(\alpha u+u’)=\alpha Tu+Tu’$が成り立つ．

また，$B$は有界だから，任意の$u\in H$に対して

$\begin{align*} \|Tu\|^2=\anb{Tu,Tu}=B(u,Tu)\le C\|u\|\|Tu\| \end{align*}$

なので，これより$\|Tu\|\le C\|u\|$だから有界である．

[ステップ２]　$T$は単射で$T^{-1}$は有界作用素であることを示す．

$u\neq 0$なる$u\in H$に対して，$B$が強圧的であることとCauchy-Schwarzの不等式から

$\begin{align*} 0<D\|u\|\le\frac{B(u,u)}{\|u\|}=\frac{\anb{Tu,u}}{\|u\|}\le\|Tu\| \end{align*}$

なので，$\|Tu\|\neq0$だから$T$は単射である．

よって，逆作用素$T^{-1}$が存在し，$D\|u\|\le\|Tu\|$が成り立っているので$T^{-1}$は有界である．

[ステップ３]　$T$の値域$R(T)$は閉である．

$R(T)$上の点列$\{u_n\}_{n\in\N}$が$u\in H$に収束するとする．このとき，任意の$n\in\N$に対して$u_n=Tu’_n$なる$u’_n\in H$が存在する．[Step 2]で得られた不等式から

$\begin{align*} D\|u'_n-u'_m\|\le\|T(u'_n-u'_m)\|=\|Tu'_n-Tu'_m\|=\|u_n-u_m\| \end{align*}$

が成り立ち，$\{u_n\}$は収束列だからCauchy列なので$\{u’_n\}$もCauchy列である．

よって，$H$の完備性より極限$u’:=\lim\limits_{n\to\infty}u’_n$が存在するから，$u_n=Tu’_n$の両辺で$n\to\infty$をとって$u=Tu’\in R(T)$を得る．ただし，$T$は有界線形なので連続であることを用いた．

したがって，$R(T)$は閉である．

[ステップ４]　$T$の値域$R(T)$が$H$であることを示す．

背理法により示す．

もし$R(T)\subsetneq H$と仮定すると，任意の$w\in H\setminus R(T)$は$w=w_1+w_2$ ($w_1\in R(T)$, $w_2\in R(T)^{\perp}$)と表せて$w_2\neq0$である．

一般に，Hilbert空間$H$は閉部分空間$M$によって$H=M\oplus M^{\perp}$と直交補空間を用いて分解できる．

一方，

$\begin{align*} D\|w_2\|\le B(w_2,w_2)=\anb{Tw_2,w_2}=0 \end{align*}$

となって$w_2=0$だから，これは矛盾で$R(T)=H$を得る．