解は存在するが一意でない常微分方程式の具体例を考える

数学では微分方程式に「解が存在するか」「解が存在すれば一意か」を考えることはよくあります.

常微分方程式の解の存在に関する重要な定理としてPeano(ペアノ)の存在定理Picard-Lindelöf(ピカール – リンデレフ)の定理があります.

これらの定理は初期条件$u(t_0)=u_0$を満たす微分方程式

\begin{align*} \od{u}{t}=f(t,u) \end{align*}

の解の存在に関する定理で

  • Peanoの存在定理は解の存在を保証する定理
  • Picard-Lindelöfの定理は解の一意存在を保証する定理

となっています.

この記事ではこれらのことをふまえ,解が一意ではない常微分方程式を紹介します.

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【1分解説】解が一意でない微分方程式の例 #Shorts

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予備知識

解が一意でない微分方程式の例を考える前に,いくつかの予備知識を説明しておきます.

リプシッツ連続性

常微分方程式の解の存在と一意性に関する「Picard-Lindelöfの定理」を述べるために,関数のLipschitz連続性を前もって知っておきたいのでここで説明しておきます.

$\Omega\subset\R$とする.関数$f:\Omega\to\R$がLipschitz連続であるとは,ある$L>0$が存在して,任意の$x,y\in\Omega$に対して,

\begin{align*}|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\end{align*}

を満たすことをいう.

$x\neq y$なら両辺を$|x-y|$で割って

\begin{align*} \abs{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}}\le L \end{align*}

となるので,「$\Omega$上の$f$の平均変化率が有界である」と言ってもいいですね.

リプシッツ連続性の大切なところは$x$, $y$よりも先に$L$がとれるというところです.以下,具体例で確認しましょう.

関数$f:[0,\infty)\to\R;x\mapsto\sqrt{x}$はリプシッツ連続ではないことを示せ.

Rendered by QuickLaTeX.com

リプシッツ連続な関数は平均変化率が有界でしたが,この問題の$f$は原点で「立ち上がる」グラフとなるため平均変化率が有界ではなくリプシッツ連続ではありません.

これをきちんと式で示せば以下のようになります.


$x=0$とし,任意に$y\in(0,\infty)$をとると

\begin{align*} \abs{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\to\infty\quad(y\to+0) \end{align*}

となるので,任意の$L>0$に対しても,ある十分0に近い$y>0$が存在して

\begin{align*} |f(0)-f(y)|>L|0-y| \end{align*}

となるので,$f$はリプシッツ連続ではない.

「先にどんなに大きな$L>0$をとったとしても,うまく$x,y\in[0,\infty)$をとれば,$x$から$y$への平均変化率が$L$を超える」ため,問題の$f$はリプシッツ連続ではないわけですね.

2つの解の存在定理

まずは冒頭で紹介した2つの解の存在定理

  • Peanoの存在定理
  • Picard-Lindelöfの定理

を紹介します.

[Peanoの存在定理] 2変数関数$f:(t,u)\mapsto f(t,u)$は点$(t_0,u_0)\in\R^2$の近傍で連続であるとする.このとき,初期条件$u(t_0)=u_0$を満たす常微分方程式

\begin{align*}\od{u}{t}=f(t,u)\end{align*}

は初期時刻$t=t_0$の近傍で解が存在する.

[Picard-Lindelöfの定理] 2変数関数$f:(t,u)\mapsto f(t,u)$は点$(t_0,u_0)\in\R^2$の近傍で連続かつ$u$に関してリプシッツ条件を満たすとする.このとき,初期条件$u(t_0)=u_0$を満たす常微分方程式

\begin{align*}\od{u}{t}=f(t,u)\end{align*}

は初期時刻$t=t_0$の近傍で解が一意に存在する.

ただし,「$f$が$u$に関してリプシッツ条件を満たす」とは,ある$L>0$が存在して,任意の$t$, $u$, $v$に対して,$|f(t,u)-f(t,v)|\le|u-v|$が成り立つことをいう.

よって,$f$が$u$に関してリプシッツ条件まで満たせば一意性が成り立つので,$u$に関してリプシッツ条件を満たさない$f$を考えることで解が一意でない微分方程式が存在する可能性があります.

解が一意でない常微分方程式

それでは解が一意でない常微分方程式を紹介します.

初期条件$u(0)=0$を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{u}{t}=2\sqrt{u} \end{align*}

の解は一意でない.

実際に解を複数構成することができます.


任意に$R>0$をとる.このとき,

\begin{align*} u(t)=\begin{cases}0&(t<R)\\(t-R)^2&(R\le t)\end{cases} \end{align*}

で定まる関数$u:\R\to\R$は解である.

Rendered by QuickLaTeX.com

実際,$u$は初期条件を満たし,$\R$上微分可能で

\begin{align*} \od{u}{t}(t)=\begin{cases}0&(t<R)\\2(t-R)&(R\le t)\end{cases} \end{align*}

となるから,$R\le t$で$t-R=\sqrt{(t-R)^2}$となることに注意すれば,$u$が常微分方程式を満たすことが分かる.

いま$R>0$は任意なので,例えば$R=1,2$とすれば解が2つ存在することが分かるから解は一意でない.

この問題では右辺が初期条件$(t,u)=(0,0)$の近くで$u$に関してLipschitz連続となっていないことが,解に一意性がない原因となっています.

なお,同様に$n\in\{2,3,\dots\}$に対して,初期条件$u(0)=0$を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{u}{t}=nu^{\frac{n-1}{n}} \end{align*}

でも上の問題と同様な解が構成できますから,解に一意性がありませんね.

最後までありがとうございました!

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