ピカール-リンデレフの定理｜常微分方程式の解の一意存在性

［１］初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす常微分方程式

\begin{align*}\od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t))\end{align*}

が解$\m{x}\in C^1(I)$をもつとする．

このとき，変数を$\tau$に置き換えて両辺を$\tau$について$[t_0,t]$上で積分すると，微分積分学の基本定理から

\begin{align*}
&\int_{t_0}^{t}\od{\m{x}}{t}(\tau)\,d\tau=\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau
\\\iff&\m{x}(t)-\m{x}(t_0)=\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau
\\\iff&\m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau
\end{align*}

が成り立つ．

［２］積分方程式

\begin{align*}\m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau\end{align*}

が解$\m{x}\in C^0(I)$をもつとする．

積分方程式に$t=t_0$を代入すると，右辺の積分範囲は$[t_0,t_0]$となって積分値は$0$だから，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$が得られる．

また，$\m{f}$はもとより$D$上で連続なので，$\m{f}$に連続な$\m{x}$を合成した関数$\m{f}(t,\m{x}(t))$は$t$に関して$I$上で連続となる．

よって，連続関数の積分なので，右辺の$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$は$t$に関して$I$上$C^1$級である．

これより，左辺の$\m{x}(t)$も$I$上$C^1$級となって，両辺を$t$で微分すると

\begin{align*}\od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t))\end{align*}

が成り立つ．

$I_L$上で恒等的に$\m{x}_0$をとる関数は$\mathcal{C}$に属するから$\mathcal{C}\neq\emptyset$である．

一様ノルム$\|\cdot\|_{I_L}$に関するCauchy列$\{\m{x}_k\}_{k\in\N}\subset\mathcal{C}$を任意にとる．このとき，

• $\mathcal{C}\subset(C^0(I_L))^n$より，$\{\m{x}_k\}_{k\in\N}$は$(C^0(I_L))^n$における一様ノルム$\|\cdot\|_{I_L}$に関するCauchy列
• $(C^0(I_{L}))^n$は一様ノルム$\|\cdot\|_{I_L}$に関して完備距離空間

だから，ある$\m{x}\in(C^0(I_{L}))^n$が存在して$\m{x}=\lim\limits_{k\to\infty}\m{x}_k$を満たす．

任意の$k\in\N$に対して，$\m{x}_k\in\mathcal{C}$だから

\begin{align*}|\m{x}_k(t)-\m{x}_0|\le M|t-t_0|\end{align*}

を満たす．よって，左辺で$k\to\infty$として

\begin{align*}|\m{x}(t)-\m{x}_0|\le M|t-t_0|\end{align*}

を得る．したがって，$\{\m{x}_k\}_{k\in\N}$の極限が$\mathcal{C}$に属するから，$\mathcal{C}$は完備である．

[1]　$\Phi$の値域が$\mathcal{C}$であることを示す．

任意に$\m{x}\in\mathcal{C}$をとる．このとき，

• 任意の$\tau\in I_L$に対して$(\tau,\m{x}(\tau))\in D$を満たすこと
• $\m{f}$は$D$上で定義されていること

を併せると，任意の$t\in I_L$に対して$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$が定義できる．

よって，積分の連続性から$\Phi(\m{x})\in (C^0(I_L))^n$を得る．

また，$t\in I_L$のとき$|t-t_0|\le T^*$だから

\begin{align*}|\Phi(\m{x})(t)-\m{x}_0|
=&\abs{\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau}
\\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}M\,d\tau}
=M|t-t_0|
\\\le&M\cdot T^*
\le M\cdot\frac{R}{M}
=R\end{align*}

である．よって，$\Phi(\m{x})\in\mathcal{C}$となる．すなわち，$\Phi:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$である．

[2]　$\Phi$が$\mathcal{C}$上の縮小写像であることを示す．

このとき，任意の$\m{x},\m{y}\in\mathcal{C}$に対して，

\begin{align*}\|\Phi(\m{x})-\Phi(\m{y})\|_{I_L}
=&\sup_{t\in I_L}\abs{\int_{t_0}^{t}\{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))\}\,d\tau}
\\\le&\sup_{t\in I_{L}}\abs{\int_{t_0}^{t}\abs{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))}\,d\tau}
\\\le&\sup_{t\in I_{L}}L\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{x}(t)-\m{y}(t)|\,d\tau}
\\\le&\sup_{t\in I_{L}}L\abs{\int_{t_0}^{t}\|\m{x}-\m{y}\|_{I_L}\,d\tau}
\\\le&L\cdot\frac{1}{2L}\cdot\|\m{x}-\m{y}\|_{I_L}
=\frac{1}{2}\|\m{x}-\m{y}\|_{I_L}\end{align*}

なので，$\Phi$は$\mathcal{C}$上の一様ノルム$\|\cdot\|_{I_L}$に関する縮小写像である．

ステップ１より$\mathcal{C}$は空でない完備距離空間であり，ステップ２より$\Phi$が$\mathcal{C}$上の縮小写像だから，バナッハの不動点定理より$\Phi$の不動点が$\mathcal{C}$上にただ１つ存在する．すなわち，

\begin{align*}\m{x}=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau\end{align*}

を満たす$\m{x}\in\mathcal{C}$が一意に存在する．

もし$\sup I_L<\sup I$なら，$t_0+\frac{1}{2L}$を初期時間とみなせば，これまでと同じ議論により解が$t\le t_0+\frac{2}{2L}$まで延長できる．

これを繰り返すことにより，解の定義域は$t\le t_0+T^*$にまで延長できる．

同様に，$\inf I_L>\inf I$なら，解の定義域は$t_0-T^*\le t$にまで延長できる．

よって，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす積分方程式

\begin{align*}\m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau\end{align*}

の解$\m{x}\in C^0(I)$が存在する．

$\m{x},\m{y}\in C^0(I)$を積分方程式の解とし，$\m{u}:=\m{x}-\m{y}$とする．$I$上で恒等的に$\m{u}(t)=0$が成り立つこと，すなわち$\|\m{u}\|_I=0$を示せばよい．

積分方程式の解であることから，任意の$t\in I$に対して

\begin{align*}
&\m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau,
\\&\m{y}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))\,d\tau
\end{align*}

が成り立つ．

また，一般に有界閉区間で連続な関数は最大値を持つから$\|u\|_I<\infty$である．

辺々引いて長さをとると，$\m{f}$のリプシッツ連続性より

\begin{align*}
|\m{u}(t)|
=&\abs{\int_{t_0}^{t}\{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))\}\,d\tau}
\\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))|\,d\tau}
\\\le&L\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{u}(\tau)|\,d\tau}
\le L\abs{\int_{t_0}^{t}\|\m{u}\|_{I}\,d\tau}
\\=&L\|\m{u}\|_I|t-t_0|
\end{align*}

となる．よって

\begin{align*}
&|\m{u}(t)|\le L\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{u}(\tau)|\,d\tau}\quad\dots(*),
\\&|\m{u}(t)|\le L\|u\|_I|t-t_0|
\end{align*}

が得られた．

以下，任意の$N\in\N$に対して$|\m{u}|\le \dfrac{L^{N}\|\m{u}\|_I}{N!}|t-t_0|^{N}$が成り立つことを数学的帰納法により示す．

$N=1$の場合はいま得られたので，あとは$N=k$のときに成り立つと仮定して$N=k+1$の場合を示せばよい．

$N=k$のときに成り立つとすると

\begin{align*}|\m{u}(t)|\le\frac{L^{k}\|\m{u}\|_I}{k!}|t-t_0|^{k}\end{align*}

であり，これと不等式$(*)$を併せて

\begin{align*}
|\m{u}(t)|
\le& L\abs{\int_{t_0}^{t}\frac{L^{k}\|\m{u}\|_I}{k!}|t-t_0|^{k}\,d\tau}
\\=&L\cdot\frac{L^{k}\|\m{u}\|_I}{k!}\cdot\frac{1}{k+1}|t-t_0|^{k+1}
\\=&\frac{L^{k+1}\|\m{u}\|_I}{(k+1)!}|t-t_0|^{k+1}
\end{align*}

となるから，$N=k+1$のときも成り立つ．

よって，任意の$N\in\N$に対して

\begin{align*}\|\m{u}\|_{I}\le\dfrac{L^{N}\|\m{u}\|_I}{N!}{T^*}^N\end{align*}

が成り立つから，$N\to\infty$として$|\m{u}|_I\le0$となるから$\|\m{u}\|=0$が従う．

ただし，一般に任意の$x\in\R$に対して，$\dfrac{x^N}{N!}\to0$ ($N\to\infty$)であることを用いた．

数学的帰納法により示す．

[1]　$m=0$の場合にはすでに証明されている．

[2]　$m=\ell$の場合に成り立つと仮定する．

$\m{f}\in(C^{\ell+1}(D))^n$なら$\m{f}\in(C^{\ell}(D))^n$だから，帰納法の仮定より$\m{x}\in(C^{\ell+1}(I))^n$である．

よって，$\m{f}(\cdot,\m{x})\in(C^{\ell+1}(I))$だから，不定積分$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$で定まる関数は$D$上$C^{\ell+2}$級となる．

よって，$m=\ell+1$の場合にも成り立つ．

[1], [2]より，$\m{f}\in(C^m(D))^n$なら，解は$\m{x}\in(C^{m+1}(I))^n$となることが分かった．