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常微分方程式の解の存在と一意性|逐次近似法のイメージ

[Picard(ピカール)-Lindelöf(リンデレフ)の定理]は,常微分方程式の解の存在と一意性に関する定理として最も基本的で重要です.

[Picard–Lindelöfの定理]は常微分方程式の解を帰納的に近似していく方法により証明されますが,この近似の方法をPicardの逐次近似法といいます.

[Picardの逐次近似法]は「完備距離空間上の縮小写像は唯一つの不動点をもつ」という[Banachの不動点定理]と本質的には同じです.

この記事では

  • [Picardの逐次近似法]のイメージ
  • [Picard-Lindelöfの定理]の内容と証明

の2つを説明します.

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証明の準備

最初にこの記事で使う記号などを準備をします.

常微分方程式

この記事で扱う微分方程式は,例えば

\begin{align*} \od{x}{t}(t)=-tx(t),\quad \begin{cases} \od{x}{t}(t)=tx(t)+y(t)\\ \od{y}{t}(t)=t^2x(t) \end{cases},\quad \begin{cases} \od{x}{t}(t)=y(t)\\ \od{y}{t}(t)=tz(t)\\ \od{z}{t}(t)=t^2x(t) \end{cases} \end{align*}

のような,1変数tに関するn個の未知関数x_i:\R\to\R (i=1,\dots,n)に関する常微分方程式

\begin{align*} \begin{cases} \od{x_1}{t}(t)=f_1(t,x_1(t),\dots,x_n(t))\\ \qquad\vdots\\ \od{x_n}{t}(t)=f_n(t,x_1(t),\dots,x_n(t)) \end{cases} \end{align*}

を扱います.この連立方程式はベクトル\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}, \m{f}=\bmat{f_1\\\vdots\\f_n}を用いて

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

とベクトルの表記で表せますね.

なお,この\m{f}\m{f}:\R\times\R^n\to\R^nであることに注意してください.

分かりにくい場合には,n=1として考えればイメージは十分つかめるでしょう.

一様ノルム

閉区間I\subset\Rに対して,関数\m{x}:I^n\to\R^nに対して,一様ノルム\|\cdot\|_I

\begin{align*} \|\m{x}\|_I:=\sup_{t\in I}|\m{x}(t)| \end{align*}

で定めます.

C^0(I)I上で定義された連続関数全体の集合で,n個の成分が全てC^0(I)の元であるようなベクトル全体の集合を(C^0(I))^nと表します.

これはn個のC^0(I)の直積で,イメージとしては\Rn個の直積を\R^nと表すのと同じです.

このとき,n個のC^0(I)の直積(C^0(I))^nは一様ノルム\|\cdot\|_Iによって完備距離空間となります.

Banachの不動点定理

この記事での[Picard-Lindelöfの定理]の証明には[Banachの不動点定理]を用います.

[Banachの不動点定理(縮小写像の原理)] 空でない完備距離空間(X,d)上の縮小写像fは不動点を唯一つもつ.なお,任意のx\in Xに対して

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f^n(x) \end{align*}

が写像fの不動点である.ここに,写像f^nfn回施す写像である.

詳しくは以下の記事を参照してください.

Picardの逐次近似法のイメージ

[Picardの逐次近似法]のイメージを説明します.

積分方程式への書き換え

[Picardの逐次近似法]のイメージを微分方程式を理解するためには,同値な積分方程式に書き換えることがポイントとなります.

結論から書けば,以下が従います.

I\subset\Rを閉区間,t_0\in I\m{x}_0\in\R^nとする.このとき,以下の2条件は同値である.

  • \m{x}\in(C^1(I))^nは初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

    \begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

    の解である.

  • \m{x}\in(C^0(I))^nは積分方程式

    \begin{align*} \m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

    の解である.

[1] 初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

が解\m{x}\in C^1(I)をもつとする.

このとき,変数を\tauに置き換えて両辺を\tauについて[t_0,t]上で積分すると,微分積分学の基本定理から

\begin{align*} &\int_{t_0}^{t}\od{\m{x}}{t}(\tau)\,d\tau=\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \\\iff&\m{x}(t)-\m{x}(t_0)=\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \\\iff&\m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

が成り立つ.

[2] 積分方程式

\begin{align*} \m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

が解\m{x}\in C^0(I)をもつとする.

このとき,\m{f}はもとよりD上で連続なので,\m{f}に連続な\m{x}を合成した関数\m{f}(t,\m{x}(t))tに関してI上で連続となる.

よって,連続関数の積分なので,右辺の\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tautに関してIC^1級である.

よって,左辺の\m{x}(t)IC^1級となって,両辺をtで微分すると

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

が成り立つ.

また,積分方程式にt=t_0を代入すると,右辺の積分範囲は[t_0,t_0]となって積分の値は0だから,初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0が得られる.

よって,常微分方程式を考えるなら,後者の積分方程式を考えてもよいわけですね.

このように微分方程式を積分方程式に書き直すことができることをDuhamelの原理といいます.

実は,以降はこの積分方程式を中心に話を進めていくことになります.

Picardの逐次近似法の例

上で考えたI上の積分方程式

\begin{align*} \m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

から,解を構成することを考えます.

正当化は後回しにして,以下の方法により積分方程式の解が得られます.

  • 任意のt\in Iに対して,\m{x}_1(t):=\m{x}_0と定めます.すなわち,\m{x}_1I上で恒等的に\m{x}_0である関数です.
  • \m{x}_1,\dots,\m{x}_nが定まったとし,\m{x}_{n+1}(t):=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}_n(\tau))\,d\tau\m{x}_{n+1}を定めます.

このようにして順に(逐次)定まった関数列\{\m{x}_n\}_{n=1}^{\infty}の極限が積分方程式の解となります.

関数列で積分方程式の解を近似により求めるこの方法をPicardの逐次近似法(iteration scheme)といいます.

例を1つ考えてみます.

初期条件x(0)=1を満たす関数xの微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}=x \end{align*}

の解を[Picardの逐次近似法]により求めよ.

ある程度関数の微分に慣れていれば,

  • xで微分してxになる
  • x(0)=1

ということからx(t)=e^tと分かりますが,この解を[Picardの逐次近似法]により求めましょう.

両辺を[0,t]で積分して,

\begin{align*} &\int_{0}^{t}\od{x}{t}(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}x(\tau)\,d\tau \\\iff& x(t)-x(0)=\int_{0}^{t}x(\tau)\,d\tau \\\iff& x(t)=1+\int_{0}^{t}x(\tau)\,d\tau \end{align*}

である.\phi_0(t)\equiv x(0)=1として,Picardの逐次近似法により\{\phi_k\}_{k=0}^{\infty}を構成すると,

\begin{align*} x_1 =&1+\int_{0}^{t}x_0(\tau)\,d\tau \\=&1+t, \\x_2 =&1+\int_{0}^{t}x_1(\tau)\,d\tau \\=&1+t+\frac{t^2}{2} \\x_3 =&1+\int_{0}^{t}x_2(\tau)\,d\tau \\=&1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \end{align*}

と続けると,任意のn\in\Nに対して

\begin{align*} x_{n}(t)=1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\dots+\frac{t^n}{n!} \end{align*}

となる.

すなわち,x_{n}(t)e^tn次までの近似となっているから,n\to\inftyとしたときの極限関数x(t)x(t)=e^tとなる.

Picard-Lindelöfの定理

それでは[Picard-Lindelöfの定理]の説明に移ります.

Picard-Lindelöfの定理

以下が[Picard-Lindelöfの定理]ですが,あまり真面目に条件を追わなくて構いません.

[Picard-Lindelöfの定理] t_0\in\R, \m{x}_0\in\R^n, r>0, \rho>0とする.\R\times\R^n上の閉集合D

\begin{align*} D:=\set{\bmat{t\\\m{x}}\in\R\times\R^n}{\begin{gathered}|t-t_0|\le r,\\|\m{x}-\m{x}_0|\le\rho\end{gathered}} \end{align*}

で定める.このとき,関数\m{f}:\R\times\R^n\to\R^nは次の条件を同時に満たすとする.

  • 有界性:あるM>0が存在し,任意の(t,\m{x})\in Dに対して,|\m{f}(t,\m{x})|\le Mが成り立つ
  • 連続性:\m{f}D上で連続
  • \m{x}のLipscitz連続性:あるK>0が存在し,任意の(t,\m{x}_1),(t,\m{x}_2)\in Dに対して

    \begin{align*} |\m{f}(t,\m{x}_1)-\m{f}(t,\m{x}_2)|\le K|\m{x}_1-\m{x}_2| \end{align*}

    が成り立つ

このとき,初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

の解\m{x}\in(C^1(I))^n が一意に存在する.ここに,

  • I:=[t_0-r_0,t_0+r_0]
  • r_0:=\min\{r,\frac{\rho}{M}\}

である.さらに,\m{f}\in C^m(D)なら,解は\m{x}\in C^{m+1}(D)となる.

ゴチャゴチャと書いていますが,本質的に大切なところは「\m{f}が3つの条件を満たせば,微分方程式\od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t))の解が一意に存在する」というところです.

なお,この\m{f}の3つの条件

  • 有界
  • 連続
  • tについてLipschitz連続

はけっこう広い条件ですね.

[Picard-Lindelöfの定理]を5つのステップに分けて証明します.

Step 1

I_{K}:=\brc{t_0-\frac{1}{2K},t_0+\frac{1}{2K}}\cap Iとし,関数空間

\begin{align*} \mathcal{C} :=\set{\m{x}\in(C^0(I_{K}))^n}{\all t\in I_K\quad (t,\m{x}(t))\in D} \end{align*}

を定めると,\mathcal{C}は一様ノルム\|\cdot\|_{I_K}に関する空でない完備距離空間となることを示します.

I_K上で恒等的に\m{x}_0の関数\m{x}\mathcal{C}に属するから\mathcal{C}は空でない.

\mathcal{C}上の一様ノルム\|\cdot\|_{I_K}に関するCauchy列\{\m{x}_k\}_{k\in\N}を任意にとる.このとき,

  • \mathcal{C}\subset(C^0(I_K))^nより,\{\m{x}_k\}_{k\in\N}(C^0(I_K))^nにおける一様ノルム\|\cdot\|_{I_K}に関するCauchy列
  • (C^0(I_{K}))^nは一様ノルム\|\cdot\|_{I_K}に関して完備距離空間

だから,ある\m{x}\in(C^0(I_{K}))^nが存在して\{\m{x}_k\}_{k\in\N}\m{x}に収束する.

任意のk\in\Nに対して,\m{x}_k\in\mathcal{C}だから

\begin{align*} |\m{x}_k(t)-\m{x}_0|\le M|t-t_0| \end{align*}

を満たす.よって,左辺でk\to\inftyとして

\begin{align*} |\m{x}(t)-\m{x}_0|\le M|t-t_0| \end{align*}

を得る.したがって,\{\m{x}_k\}_{k\in\N}\mathcal{C}上の収束列だから,\mathcal{C}は完備である.

なお,\mathcal{C}は閉集合なので,位相空間の一般論から\m{x}\in\mathcal{C}としても良いですね.

Step 2

\mathcal{C}上の写像\Phi

\begin{align*} \Phi(\m{x})(t):=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

で定めると,\Phi\mathcal{C}上の縮小写像となることを示します.

[1] \Phiの値域が\mathcal{C}であることを示す.

任意に\m{x}\in\mathcal{C}をとる.このとき,

  • 任意の\tau\in I_Kに対して(\tau,\m{x}(\tau))\in Dを満たすこと
  • \m{f}D上で定義されていること

を併せると,\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tauが定義できることが分かる.よって,積分の連続性から\Phi(\m{x})\in (C^0(I_K))^nを得る.

また,t\in I_Kのとき|t-t_0|\le r_0だから

\begin{align*} |\Phi(\m{x})(t)-\m{x}_0| =&\abs{\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau} \\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))|\,d\tau} \\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}M\,d\tau} =M|t-t_0| \\\le&M\cdot r_0 \le M\cdot\frac{\rho}{M} =\rho \end{align*}

である.よって,\Phi(\m{x})\in\mathcal{C}となる.すなわち,\Phi:\mathcal{C}\to\mathcal{C}である.

[2] \Phi\mathcal{C}上の縮小写像であることを示す.

このとき,任意の\m{x},\m{y}\in\mathcal{C}に対して,

\begin{align*} \|\Phi(\m{x})-\Phi(\m{y})\|_{I_K} =&\sup_{t\in I_K}\abs{\int_{t_0}^{t}\{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))\}\,d\tau} \\\le&\sup_{t\in I_{K}}\abs{\int_{t_0}^{t}\abs{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))}\,d\tau} \\\le&\sup_{t\in I_{K}}K\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{x}-\m{y}|\,d\tau} \\\le&\sup_{t\in I_{K}}K\abs{\int_{t_0}^{t}\nor{\m{x}-\m{y}}_{I_K}\,d\tau} \\=&K\cdot\frac{1}{2K}\cdot\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K} =\frac{1}{2}\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K} \end{align*}

なので,\Phi\mathcal{C}上の一様ノルム\|\cdot\|_{I_K}に関する縮小写像である.

Step 3

初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

が解\m{x}\in C^1(I)をもつことを示します.

[Step 1]より\mathcal{C}は空でない完備距離空間であり,[Step 2]より\Phi\mathcal{C}上の縮小写像だから,[Banachの不動点定理]より\Phiの不動点が\mathcal{C}上にただ1つ存在する.すなわち,

\begin{align*} \m{x}=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

を満たす\m{x}\in\mathcal{C}が一意に存在する.

もし\sup I_K<\sup Iなら,t_0+\frac{1}{2K}を初期時間とみなせば,これまでと同じ議論により解がt\le t_0+\frac{2}{2K}まで延長できる.

これを繰り返すことにより,解の定義域はt\le t_0+r_0にまで延長できる.

同様に,\inf I_K>\inf Iなら,解の定義域はt_0-r_0\le tにまで延長できる.

よって,初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす積分方程式

\begin{align*} \m{x}(t)=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau \end{align*}

の解\m{x}\in C^0(I)が存在するから,上でみた補題より,初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

の解\m{x}\in C^1(I)が存在する.

[Step 1]と[Step 2]の議論を一回行うごとに,解の存在するtが正の方向に\frac{1}{2K}ずつ延長されていくことになるわけですね.

\mathcal{C}において解が一意に存在することは分かりましたが,より広いC^0(I)で解が一意であるかどうかは分かっていません.

そのため,微分方程式に戻したときのC^1(I)においても解が一意であることはまだ分かっていませんから,次はこのことを示しましょう.

Step 4

[Step 3]の解\m{x}\in C^1(I)が一意に存在することを示します.

\m{x},\m{y}\in C^1(I)が常微分方程式の解であるとする.

このとき,[Step 2]と同様に

\begin{align*} \|\m{x}-\m{y}\|_{I_K} =&\sup_{t\in I_K}\abs{\int_{t_0}^{t}\{\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))-\m{f}(\tau,\m{y}(\tau))\}\,d\tau} \\\le&\frac{1}{2}\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K} \end{align*}

となるから,整理して\frac{1}{2}\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K}\le0である.もとより0\le\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K}だから\|\m{x}-\m{y}\|_{I_K}=0となって,I_Kにおいて恒等的に\m{x}=\m{y}であると分かる.

[Step 3]と同様に,初期時間を置き直して同様に考えることを繰り返せば,I上で恒等的に\m{x}=\m{y}となる.

よって,初期条件\m{x}(t_0)=\m{x}_0を満たす常微分方程式

\begin{align*} \od{\m{x}}{t}(t)=\m{f}(t,\m{x}(t)) \end{align*}

の解\m{x}\in C^1(I)は一意である.

Step 5

\m{f}\in C^m(D)なら,解は\m{x}\in C^{m+1}(D)となることを示します.

数学的帰納法により示す.

[1] m=0の場合にはすでに証明されている.

[2] m=\ellの場合に成り立つと仮定する.

\m{f}\in C^{\ell+1}(D)なら\m{f}\in C^{\ell}(D)だから,帰納法の仮定より\m{x}\in C^{\ell+1}(D)である.

よって,\m{f}(\cdot,\m{x})\in C^{\ell+1}(D)だから,この不定積分\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tauで定まる関数はDC^{\ell+2}級となる.

よって,m=\ell+1の場合にも成り立つ.

[1], [2]より,\m{f}\in C^m(D)なら,解は\m{x}\in C^{m+1}(D)となることが分かった.

これで[Picard-Lindelöfの定理]が証明できました.

ピカールの逐次近似法の正当化

途中で[Banachの不動点定理]を適用して解の存在を示したわけですが,[Banachの不動点定理]からは加えて

\begin{align*} \m{x}:=\lim_{n\to\infty}\Phi^n(\m{x}_0) \end{align*}

が不動点になることも分かるのでした.これが[Picardの逐次近似法]の正体なわけですね.

このように,[Picardの逐次近似法]は本質的に[Banachの不動点定理]となっているわけですね.

念のため,以下で逐次近似法がうまく機能していることをみておきましょう.

[1] 任意のt\in Iに対して,\m{x}_1(t):=\m{x}_0と定めます.

このとき,\m{x}_1\in C^0(I)なので,(t,\m{x}_1(t))=(t,\m{x}_0)\in Dですね.

[2] 任意のt\in Iに対して(t,\m{x}_k(t))\in Dとなる\m{x}_k\in C^0(I)が定まったとします.

このとき,fD上で連続だから,積分方程式の右辺\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau\m{x}=\m{x}_k\in C^0(I)を代入できて,

\begin{align*} \m{x}_{k+1}(t):=\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}_k(\tau))\,d\tau \end{align*}

I上の関数\m{x}_{k+1}を定めます.このとき,任意のt\in Iに対して

\begin{align*} |\m{x}_{k+1}(t)-\m{x}_0| =&\abs{\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}_k(\tau))\,d\tau} \\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}|\m{f}(\tau,\m{x}_k(\tau))|\,d\tau} \\\le&\abs{\int_{t_0}^{t}M\,d\tau} =M|t-t_0| \\\le&Mr_0 \le M\cdot\frac{\rho}{M} =\rho \end{align*}

だから,(t,\m{x}_{k+1}(t))\in Dですね.

[1], [2]より,任意のt\in Iに対して(t,\m{\phi}_k(t))\in DとなるC^0(I)上の列\{\m{\phi}_k\}_{k=0}^{\infty}が帰納的に定まることが分かりましたね.

これにより,確かに[Picardの逐次近似法]で定まる関数列\{\m{x}_n\}_{n=1}^{\infty}が数学的にもきちんと定義されることが保証されましたね.

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