シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出

この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式の基本解に関して基本的な評価式である[$L^pL^q$評価]を説明します．

Schrödinger方程式の基本解とは，大雑把には初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

$\begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}$

の解$u$のことで，$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$のとき解は$u=e^{it\Delta}u_0$と表すことができます．

Schrödinger方程式の[$L^pL^q$評価]は$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{p}(\R^{d})}$を$\|u_0\|_{L^{q}(\R^{d})}$で上から評価する不等式です．

Schrödinger方程式に関する重要な評価式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]のベースとなります．

一連の記事はこちら

【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
【シュレディンガー方程式の基本解の[$L^pL^q$評価]の導出】←今の記事
【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】

1 シュレディンガー方程式の基本解
2 $L^pL^q$評価
3 参考文献

シュレディンガー方程式の基本解

まずは前回の記事で説明したSchrödinger方程式の基本解について，結果をまとめておきます．

[基本解]　自由Schrödinger方程式の初期値問題

$\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 & (t,x)\in\R\times\R^d\\ u(0,x)=u_0(x) & x\in\R^d\\ \end{cases} \end{align*}$

の$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$の解$u$をSchrödinger方程式の基本解 (fundamental solution)という．

そして，基本解は以下のように表されます．

Schrödinger方程式の解は

$\begin{align*} e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}$

と表せる．

このとき，初期値$u_0$に対するSchrödinger方程式の基本解$e^{it\Delta}u_0$を与える作用素$e^{it\Delta}$を自由Schrödinger発展作用素というのでした．

【前回の記事：自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】

非線形項が0の線形Schrödinger方程式を自由Schrödinger方程式といいます．適切な初期値$u_0$(たとえば$u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$)のもとで，自由Schrödinger方程式の解をもち，これを$e^{it\Delta}u_0$と表します．

$L^pL^q$評価

以下，$p\in[1,2]$とし，$L^p(\R^d)$ノルムを$\|\cdot\|_p$と表します：

$\begin{align*} \|f\|_p:=\bra{\int_{\R}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}. \end{align*}$

[$L^pL^q$評価]は$\|e^{it\Delta}u\|_{p}$を$\|u\|_{q}$で上から評価する不等式で，証明は

$p=1$の場合の[$L^{1}L^{\infty}$評価]
$p=2$の場合の[$L^{2}L^{2}$評価($L^2$等長性)]

を示し，[Riesz-Thorinの複素補間定理]を用います．

なお，[$L^1L^{\infty}$評価]のみを[分散型評価]と言ったり，もっと広く[$L^pL^q$評価]を[分散型評価]ということもあります．

$L^1L^{\infty}$評価

[$L^{1}L^{\infty}$評価]は次の通りです．

[$L^{1}L^{\infty}$評価]　任意の$u\in L^1(\R^d)$に対して，次が成り立つ：

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{\infty} \le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 \end{align*}$

$\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}\Bigr|=1$より，

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =&\nor{\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\,dy}_{\infty} \\\le&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi it|^{d/2}}\int_{\R^d}\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\Bigr|\,dy} \\=&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi t|^{d/2}}\int_{\R^d}|u(y)|\,dy} \\=&(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 \end{align*}$

が従う．

$L^2L^2$評価($L^2$等長性)

$e^{it\Delta}$の[$L^2L^2$評価($L^2$等長性)]は次の通りです．

[$L^{2}L^{2}$評価($L^2$等長性)]　任意の$u\in L^2(\R^{d})$に対して，次が成り立つ：

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2 \end{align*}$

Plancherelの等式と$\abs{e^{-it|\xi|^2}}=1$より，

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_2 =&\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x)}_2 \\=&\nor{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}_2 \\=&\nor{\hat{u}(\xi)}_2 =\|u\|_2 \end{align*}$

が従う．

[$L^{1}L^{\infty}$評価]から

$\begin{align*} \lim_{|t|\to\infty}\|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =\lim_{|t|\to\infty}(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 =0 \end{align*}$

となるので，Schrödinger方程式の基本解は$|t|$が増大するに連れて一様に０に近付きます．

一方，[$L^2$等長性]から$L^2$ノルムは$t$によらず一定です．

このことから，解は消えるのではなく，どんどん分散していることが分かります．これが[$L^{1}L^{\infty}$評価]とも[分散型評価]とも言われる理由ですね．

$L^pL^q$評価

ここで，[Riesz-Thorinの複素補間定理]を復習しておきましょう．

[Riesz-Thorinの複素補間定理]　$p_0,q_0,p_0,q_0\ge1$は$p_0\neq p_1$, $q_0\neq q_1$を満たすとし，$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$を測度空間とする．

さらに，

作用素$T$は$L^{p_0}(X)$から$L^{q_0}(Y)$への有界作用素で，このときの作用素ノルムは$M_0$
作用素$T$は$L^{p_1}(X)$から$L^{q_1}(Y)$への有界作用素で，このときの作用素ノルムは$M_1$

を満たすとする．このとき，任意の$\theta\in(0,1)$に対して，$p_{\theta}$, $q_{\theta}$を

$\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}$

と定めると，$T$は$L^{p_{\theta}}(X)$から$L^{q_{\theta}}(Y)$への有界作用素で，このときの作用素ノルム$M_{\theta}$は$M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$以下である．

この定理の証明は以下の記事を参照されたい．

【Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明】

[Riesz-Thorinの複素補間定理]は[三線定理]をもとにして証明されます．この記事では，[Riesz-Thorinの複素補間定理]を証明しています．

それでは$L^{p}L^{q}$評価を証明します．

[$L^{p}L^{q}$評価]　$p\in[1,2]$と$u\in L^{q}(\R^{d})$に対して

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})} \end{align*}$

が成り立つ．ただし，$q\in[2,\infty]$は$p$のHölder共役である：$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$．

$p=1,2$の場合はすでに示した：

$\|e^{it\Delta}u\|_{\infty}\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1$
$\|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2$

これらそれぞれから

$\|e^{it\Delta}\|_{L^1(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})}\le(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}$
$\|e^{it\Delta}\|_{L^2(\R^{d})\to L^2(\R^{d})}=1$

を得る．

ここで，座標平面上の２点$\mrm{P_1}(\frac{1}{1},\frac{1}{\infty})=(1,0)$, $\mrm{P_2}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$を考え，線分$\mrm{P_1P_2}$を$\theta:(1-\theta)$ $(\theta\in[0,1])$に内分する点を$\mrm{P}(\frac{1}{q},\frac{1}{p})$とします．

このとき，

$\begin{align*} &\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=(1-\theta)\bmat{1\\0}+\theta\bmat{\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}} \\\iff&\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=\bmat{1-\frac{1}{2}\theta\\\frac{1}{2}\theta} \end{align*}$

となるので，$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$が成り立つ．

よって，[Riesz-Thorinの複素補間定理]より$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$かつ$\frac{1}{p}\in[\frac{1}{2},1]$をみたす組$(p,q)$に対して，

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}\|_{L^p(\R^{d})\to L^q(\R^{d})} \le&\brb{\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}}^{1-\theta}1^{\theta} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}(1-\frac{2}{p})} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{p})} \end{align*}$

となる．すなわち，$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$かつ$p\in[1,2]$をみたす組$(p,q)$に対して，

$\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{q} \le\bra{4\pi|t|}^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{p})} \end{align*}$

が従う．

【次の記事：シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】

次の記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式を考える際に重要な不等式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]を説明します．[Strichartz評価]の証明にはこの記事で示した[$L^pL^q$評価]を用います．

参考文献

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克著，丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し，

波動方程式
熱方程式
Schrödinger方程式
Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます．

本書の特徴は，様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と，証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促している点です．

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも，広くトピックを扱っていることが見てとれますね．

誤植が多いのが１つ残念な点ではありますが，これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず，この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます．

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