シュレディンガー方程式の分散性｜基本解のLpLq評価の導出

この記事では，Schrödinger(シュレディンガー)方程式の基本解に関して基本的な評価式である[$L^pL^q$評価]を説明します．

Schrödinger方程式の基本解とは，大雑把には初期値$u_0=u(0,x)$に対する自由Schrödinger方程式

$\begin{align*}i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0\end{align*}$

の解$u$のことで，$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$のとき解は$u=e^{it\Delta}u_0$と表すことができます．

Schrödinger方程式の[$L^pL^q$評価]は$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{p}(\R^{d})}$を$\|u_0\|_{L^{q}(\R^{d})}$で上から評価する不等式です．

Schrödinger方程式に関する重要な評価式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]のベースとなります．

一連の記事はこちら

【自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群】
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【シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出】

シュレディンガー方程式の基本解
$L^pL^q$評価
参考文献
1. 非線形発展方程式の実解析的方法

シュレディンガー方程式の基本解

まずは前回の記事で説明したSchrödinger方程式の基本解について，結果をまとめておきます．

[自由解]　自由Schrödinger方程式の初期値問題

$\begin{align*}\begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 & (t,x)\in\R\times\R^d\\ u(0,x)=u_0(x) & x\in\R^d\\ \end{cases}\end{align*}$

の解$u$をSchrödinger方程式の自由解 (free solution)という．

自由解は以下のように表されます．

Schrödinger方程式の解は

$\begin{align*}e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy\end{align*}$

と表せる．

このとき，初期値$u_0$に対するSchrödinger方程式の自由解$e^{it\Delta}u_0$を与える作用素$e^{it\Delta}$を自由Schrödinger発展作用素というのでした．

線形シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群

非線形項が0のシュレディンガー方程式の初期値問題の解は，自由シュレディンガー発展作用素によって表される．この記事では，自由シュレディンガー発展作用素の基本性質として，LpLqノルムの評価式を導出する

$L^pL^q$評価

以下，$p\in[1,\infty]$とし，$L^p(\R^d)$ノルムを$\|\cdot\|_p$と表します：

$\begin{align*}&\|f\|_p:=\bra{\int_{\R}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\quad(p\in[1,\infty)), \\&\|f\|_{\infty}:=\operatorname{ess\,sup}_{x\in\R}|f(x)|.\end{align*}$

[$L^pL^q$評価]は$\|e^{it\Delta}u\|_{p}$を$\|u\|_{q}$で上から評価する不等式

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-d\bra{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})},\quad p\in[2,\infty]\end{align*}$

をいいます．証明は

$p=\infty$の場合の[$L^{\infty}L^{1}$評価]
$p=2$の場合の[$L^{2}L^{2}$評価($L^2$等長性)]

を示し，この２つの評価をもとに[Riesz-Thorinの複素補間定理]を用います．

なお，[$L^pL^q$評価]を[分散型評価]ということも多いです．

$L^{\infty}L^{1}$評価と$L^2L^2$評価($L^2$等長性)

[$L^{\infty}L^{1}$評価]は次の通りです．

[$L^{\infty}L^{1}$評価]　任意の$u\in L^1(\R^d)$に対して，次が成り立つ：

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_{\infty} \le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1\end{align*}$

証明を表示

$\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}\Bigr|=1$より，

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =&\nor{\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\,dy}_{\infty} \\\le&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi it|^{d/2}}\int_{\R^d}\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\Bigr|\,dy} \\=&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi t|^{d/2}}\int_{\R^d}|u(y)|\,dy} \\=&(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1\end{align*}$

が従う．

$e^{it\Delta}$の[$L^2L^2$評価($L^2$等長性)]は次の通りです．

[$L^{2}L^{2}$評価($L^2$等長性)]　任意の$u\in L^2(\R^{d})$に対して，次が成り立つ：

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2\end{align*}$

証明を表示

Plancherelの等式と$\abs{e^{-it|\xi|^2}}=1$より，

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_2 =&\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x)}_2 \\=&\nor{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}_2 \\=&\nor{\hat{u}(\xi)}_2 =\|u\|_2\end{align*}$

が従う．

[$L^pL^q$評価]が[分散型評価]と呼ばれる理由はこの２つの命題にあります．

[$L^{\infty}L^{1}$評価]から

$\begin{align*}\lim_{|t|\to\infty}\|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =\lim_{|t|\to\infty}(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 =0\end{align*}$

となるので，Schrödinger方程式の基本解は$|t|$が増大するにつれて一様に０に近付きます．

一方，[$L^2$等長性]から$L^2$ノルムは$t$によらず一定ですから解は消えるのではなく，どんどん分散しているだけであることが分かります．

よって，[$L^{\infty}L^{1}$評価]と[$L^2$等長性]から得られる[$L^pL^q$評価]が[分散型評価]とも言われるわけですね．

Riesz-Thorinの複素補間定理

ここで，[Riesz-Thorinの複素補間定理]を復習しておきましょう．

[Riesz-Thorinの補間定理]　$p_0,q_0,p_1,q_1\ge1$とし，$(X,\mathcal{A},\mu)$, $(Y,\mathcal{B},\nu)$を測度空間とする．さらに，ある$M_0,M_1>0$が存在して

$\begin{align*}&\|Tf\|_{L^{p_0}(Y)}\le M_0\|f\|_{L^{q_0}(X)}\quad(f\in L^{q_0}(X)), \\&\|Tf\|_{L^{p_1}(Y)}\le M_1\|f\|_{L^{q_1}(X)}\quad(f\in L^{q_1}(X))\end{align*}$

を満たすとする．このとき，任意の$\theta\in(0,1)$に対して，$p$, $q$を

$\begin{align*}\frac{1}{p}:=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1},\quad \frac{1}{p}:=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}\end{align*}$

と定めると，ある$M>0$が存在して

$\begin{align*}\|Tf\|_{L^{p}(Y)}\le M\|f\|_{L^{q}(X)}\quad(f\in L^{q}(X))\end{align*}$

が成り立ち，$M\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$が成り立つ．

一般にノルム空間$\mathcal{X},\mathcal{Y}$，作用素$T:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$に対して，ある$K>0$が存在して

$\begin{align*}\|Tf\|_{\mathcal{Y}}\le K\|f\|_{\mathcal{X}}\quad (f\in\mathcal{X})\end{align*}$

を満たすとき，この$K$の最小値を$f$の作用素ノルムといい，$\|T\|_{\mathcal{X}\to\mathcal{Y}}$などと表します．

このことから[Riesz-Thorinの複素補間定理]は

作用素$T$は$L^{q_0}(X)$から$L^{p_0}(Y)$への有界作用素で$\|T\|_{L^{q_0}(Y)\to L^{p_0}(X)}\le M_0$
作用素$T$は$L^{q_1}(X)$から$L^{p_1}(Y)$への有界作用素で$\|T\|_{L^{q_1}(Y)\to L^{p_1}(X)}\le M_1$

を満たせば，$T$は$L^{q}(X)$から$L^{p}(Y)$への有界作用素で$\|T\|_{L^{q}(Y)\to L^{p}(X)}\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$とも言えますね．

この定理の証明は以下の記事を参照してください．

Riesz-Thorinの複素補間定理とその証明

[三線定理]を用いて証明される[Riesz-Thorinの複素補間定理]はLpからLqへの作用素が有界であるための十分条件を述べた定理である．この定理の応用としては，Schrödinger方程式の解のLpLqノルムの評価がある．

$L^pL^q$評価

この[Riesz-Thorinの複素補間定理]から[$L^{p}L^{q}$評価]を証明します．

[$L^{p}L^{q}$評価]　$p\in[2,\infty]$と$u\in L^{q}(\R^{d})$に対して

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-d\bra{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})}\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$q\in[1,2]$は$p$のHölder共役である：$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$．

証明を表示

$p=\infty,2$の場合はすでに示した：

$\|e^{it\Delta}u\|_{\infty}\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1$
$\|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2$

ここで，座標平面上の２点$\mrm{P_1}(\frac{1}{1},\frac{1}{\infty})=(1,0)$, $\mrm{P_2}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$を考え，線分$\mrm{P_1P_2}$を$\theta:(1-\theta)$ $(\theta\in[0,1])$に内分する点を$\mrm{P}(\frac{1}{q},\frac{1}{p})$とします．

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このとき，

$\begin{align*}&\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=(1-\theta)\bmat{1\\0}+\theta\bmat{\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}} \\\iff&\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=\bmat{1-\frac{1}{2}\theta\\\frac{1}{2}\theta}\end{align*}$

となるので，$1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$かつ$p\in[2,\infty]$が成り立つ．

よって，[Riesz-Thorinの複素補間定理]より

$\begin{align*}\|e^{it\Delta}\|_{L^q(\R^{d})\to L^p(\R^{d})} \le&\brb{\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}}^{1-\theta}1^{\theta} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}\bra{1-\frac{2}{p}}} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-d\bra{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}}}\end{align*}$