【SPONSORED LINK】

シュレディンガー方程式の基本解の[LpLq評価]の導出

この記事では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式の基本解に関して基本的な評価式である[L^pL^q評価]を説明します.

Schrödinger方程式の基本解とは,大雑把には初期値u_0=u(0,x)に対する自由Schrödinger方程式

\begin{align*} i\partial_t{u}(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

の解uのことで,u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)のとき解はu=e^{it\Delta}u_0と表すことができます.

Schrödinger方程式の[L^pL^q評価]は\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{p}(\R^{d})}\|u_0\|_{L^{q}(\R^{d})}で上から評価する不等式です.

Schrödinger方程式に関する重要な評価式である[Strichartz(ストリッカーツ)評価]のベースとなります.

【SPONSORED LINK】

シュレディンガー方程式の基本解

まずは前回の記事で説明したSchrödinger方程式の基本解について,結果をまとめておきます.

[基本解] 自由Schrödinger方程式の初期値問題

\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 & (t,x)\in\R\times\R^d\\ u(0,x)=u_0(x) & x\in\R^d\\ \end{cases} \end{align*}

u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)の解uをSchrödinger方程式の基本解 (fundamental solution)という.

そして,基本解は以下のように表されます.

Schrödinger方程式の解は

\begin{align*} e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

と表せる.

このとき,初期値u_0に対するSchrödinger方程式の基本解e^{it\Delta}u_0を与える作用素e^{it\Delta}自由Schrödinger発展作用素というのでした.

LpLq評価

以下,p\in[1,2]とし,L^p(\R^d)ノルムを\|\cdot\|_pと表します:

\begin{align*} \|f\|_p:=\bra{\int_{\R}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}. \end{align*}

[L^pL^q評価]は\|e^{it\Delta}u\|_{p}\|u\|_{q}で上から評価する不等式で,証明は

  • p=1の場合の[L^{1}L^{\infty}評価]
  • p=2の場合の[L^{2}L^{2}評価(L^2等長性)]

を示し,[Riesz-Thorinの複素補間定理]を用います.

なお,[L^1L^{\infty}評価]のみを[分散型評価]と言ったり,もっと広く[L^pL^q評価]を[分散型評価]ということもあります.

L1L評価

[L^{1}L^{\infty}評価]は次の通りです.

[L^{1}L^{\infty}評価] 任意のu\in L^1(\R^d)に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{\infty} \le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 \end{align*}

\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}\Bigr|=1より,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =&\nor{\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\,dy}_{\infty} \\\le&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi it|^{d/2}}\int_{\R^d}\Bigl|e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u(y)\Bigr|\,dy} \\=&\sup_{x\in\R^d}\bra{\frac{1}{|4\pi t|^{d/2}}\int_{\R^d}|u(y)|\,dy} \\=&(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 \end{align*}

が従う.

L2L2評価(L2等長性)

e^{it\Delta}の[L^2L^2評価(L^2等長性)]は次の通りです.

[L^{2}L^{2}評価(L^2等長性)] 任意のu\in L^2(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2 \end{align*}

Plancherelの等式と\abs{e^{-it|\xi|^2}}=1より,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_2 =&\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x)}_2 \\=&\nor{e^{-it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}_2 \\=&\nor{\hat{u}(\xi)}_2 =\|u\|_2 \end{align*}

が従う.

[L^{1}L^{\infty}評価]から

\begin{align*} \lim_{|t|\to\infty}\|e^{it\Delta}u\|_{\infty} =\lim_{|t|\to\infty}(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1 =0 \end{align*}

となるので,Schrödinger方程式の基本解は|t|が増大するに連れて一様に0に近付きます.

一方,[L^2等長性]からL^2ノルムはtによらず一定です.

このことから,解は消えるのではなく,どんどん分散していることが分かります.これが[L^{1}L^{\infty}評価]とも[分散型評価]とも言われる理由ですね.

LpLq評価

ここで,[Riesz-Thorinの複素補間定理]を復習しておきましょう.

[Riesz-Thorinの複素補間定理] p_0,q_0,p_0,q_0\ge1p_0\neq p_1, q_0\neq q_1を満たすとし,(X,\mathcal{A},\mu), (Y,\mathcal{B},\nu)を測度空間とする.

さらに,

  • 作用素TL^{p_0}(X)からL^{q_0}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムはM_0
  • 作用素TL^{p_1}(X)からL^{q_1}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムはM_1

を満たすとする.このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta}, q_{\theta}

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

と定めると,TL^{p_{\theta}}(X)からL^{q_{\theta}}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムM_{\theta}M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}以下である.

Rendered by QuickLaTeX.com

この定理の証明は以下の記事を参照されたい.

それではL^{p}L^{q}評価を証明します.

[L^{p}L^{q}評価] p\in[1,2]u\in L^{q}(\R^{d})に対して

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{L^{p}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u\|_{L^{q}(\R^{d})} \end{align*}

が成り立つ.ただし,q\in[2,\infty]pのHölder共役である:1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}

p=1,2の場合はすでに示した:

  • \|e^{it\Delta}u\|_{\infty}\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|u\|_1
  • \|e^{it\Delta}u\|_2=\|u\|_2

これらそれぞれから

  • \|e^{it\Delta}\|_{L^1(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})}\le(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}
  • \|e^{it\Delta}\|_{L^2(\R^{d})\to L^2(\R^{d})}=1

を得る.

ここで,座標平面上の2点\mrm{P_1}(\frac{1}{1},\frac{1}{\infty})=(1,0), \mrm{P_2}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})を考え,線分\mrm{P_1P_2}\theta:(1-\theta) (\theta\in[0,1])に内分する点を\mrm{P}(\frac{1}{q},\frac{1}{p})とします.

Rendered by QuickLaTeX.com

このとき,

\begin{align*} &\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=(1-\theta)\bmat{1\\0}+\theta\bmat{\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}} \\\iff&\bmat{\frac{1}{q}\\\frac{1}{p}}=\bmat{1-\frac{1}{2}\theta\\\frac{1}{2}\theta} \end{align*}

となるので,1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}が成り立つ.

よって,[Riesz-Thorinの複素補間定理]より1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}かつ\frac{1}{p}\in[\frac{1}{2},1]をみたす組(p,q)に対して,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\|_{L^p(\R^{d})\to L^q(\R^{d})} \le&\brb{\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}}^{1-\theta}1^{\theta} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}(1-\frac{2}{p})} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{p})} \end{align*}

となる.すなわち,1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}かつp\in[1,2]をみたす組(p,q)に対して,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u\|_{q} \le\bra{4\pi|t|}^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{p})} \end{align*}

が従う.

参考文献

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し,

  • 波動方程式
  • 熱方程式
  • Schrödinger方程式
  • Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます.

本書の特徴は,様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と,証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促している点です.

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも,広くトピックを扱っていることが見てとれますね.

誤植が多いのが1つ残念な点ではありますが,これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず,この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます.

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

最後までありがとうございました!

以下の関連記事もいかがですか?

SPONSORED LINK
関連記事

記事一覧はこちらからどうぞ!

記事一覧は

こちら

Twitterを

フォロー

大学院入試

解答例

大学受験

解説ブログ