線形代数学

ℝⁿの部分空間U,Vの共通部分U∩Vは，いつでもℝⁿの部分空間となります．この記事では，ℝⁿの部分空間U,Vの共通部分U∩Vの基底と次元の求め方を具体例から解説します．

行列Aを左からベクトルにかけて零ベクトルなるベクトルたち（連立方程式Ax=0の解）を全て集めてできる集合を行列Aの「核」といい，Ker(A)などと表します．行列の核は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

行列Aを左からベクトルにかけてできるベクトルたちを全て集めてできる集合を行列Aの「像」といい，Im(A)などと表します．行列の像は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

生成される部分空間は線形代数でよく現れる重要な空間で基底を求めたいことはよくあります．この記事では，ℝⁿ上の生成される空間の基底・次元の求め方を具体例から説明します．

ℝⁿの部分空間Vの基底をなすベクトルの個数をVの次元といいます．この記事では$\R^n$の部分空間の次元の定義を説明し，具体例から次元の求め方を説明しています．また，基底をなすベクトルの個数が一定であることの証明もしています．

ベクトル空間がどのような元からできているかを考えるとき「基底」は重要な概念です．この記事では「線形独立性」「生成される部分空間」を準備し，具体例をもとに基底の考え方を説明します．

ℝⁿの和とスカラー倍について閉じている部分集合をℝⁿの「部分空間」と言い，直感的には原点を通り真っ直ぐに伸びた空間ということができます．この記事では部分空間を具体例とともに説明しています．

正方行列Aが正則行列であるかどうかは，Aの行列式|A|が０であるか否かで判定することができます．このことは「余因子展開」を用いることでこのことを証明することができ，さらに正則行列Aの逆行列A⁻¹の形も知ることができます．

行列式|A|は正方行列Aの正則性(逆行列の存在)を判定できるもので，線形代数学のいたるところに現れます．この記事では，行列式|A|の定義と性質をまとめ，連立1次方程式の解を行列式|A|を用いて表すクラメールの公式を導きます．

正方行列Aの行列式|A|は，|A|=0であるか否かを見ることでAの正則性を判定できる便利なものです．行列式は置換を用いて定義されることが多く，この記事でも置換の符号を定義して行列式の定義と具体例を説明しています．