線形代数学

一般に正方行列Aの冪Aⁿを直接計算するのは非常に面倒ですが，正方行列の「対角化」を用いれば冪Aⁿは比較的簡単に計算することができます．この記事では「対角化」に密接に関わる固有値・固有ベクトルも併せて解説します．

２つの部分空間U,Vに対して，共通部分U∩Vが零ベクトルのみからなるとき，和空間U+Vは直和であるといいます．和空間U+Vが直和であるときはdim(U+V)=dim(U)+dim(V)が成り立ち，和空間U+Vの次元を簡単に求めることができます．

２つの部分空間U,Vの元の和でできるベクトル全部の集合を「和空間」といいます．この記事では具体例から和空間の定義・基底の求め方を解説し，和空間の次元と直和についても解説します．

ℝⁿの部分空間U,Vの共通部分U∩Vは，いつでもℝⁿの部分空間となります．この記事では，ℝⁿの部分空間U,Vの共通部分U∩Vの基底と次元の求め方を具体例から解説します．

行列Aを左からベクトルにかけて零ベクトルなるベクトルたち（連立方程式Ax=0の解）を全て集めてできる集合を行列Aの「核」といい，Ker(A)などと表します．行列の核は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

行列Aを左からベクトルにかけてできるベクトルたちを全て集めてできる集合を行列Aの「像」といい，Im(A)などと表します．行列の像は部分空間となることが知られており，重要な部分空間の１つです．

生成される部分空間は線形代数でよく現れる重要な空間で基底を求めたいことはよくあります．この記事では，ℝⁿ上の生成される空間の基底・次元の求め方を具体例から説明します．

ℝⁿの部分空間Vの基底をなすベクトルの個数をVの次元といいます．この記事では$\R^n$の部分空間の次元の定義を説明し，具体例から次元の求め方を説明しています．また，基底をなすベクトルの個数が一定であることの証明もしています．

ベクトル空間がどのような元からできているかを考えるとき「基底」は重要な概念です．この記事では「線形独立性」「生成される部分空間」を準備し，具体例をもとに基底の考え方を説明します．

ℝⁿの和とスカラー倍について閉じている部分集合をℝⁿの「部分空間」と言い，直感的には原点を通り真っ直ぐに伸びた空間ということができます．この記事では部分空間を具体例とともに説明しています．