線形空間の基底・ハメル基底の存在｜ツォルンの補題から証明する

$\mathcal{X}$を集合族とする．

1. 任意の$A\subset\mathcal{X}$に対して，$A\subset A$だから，反射律が成り立つ．
2. $A\subset B,B\subset C$をみたす任意の$A,B,C\subset\mathcal{X}$に対して，$A\subset C$だから，推移律が成り立つ．
3. $A\subset B,B\subset A$をみたす任意の$A,B\subset\mathcal{X}$に対して，$A=B$だから，反対称律が成り立つ．

よって，$(\mathcal{X},\subset)$は順序集合である．

$\mathbb{F}$を体，$V$を$\{0\}$でない$\mathbb{F}$上の線形空間とする．この$V$が基底をもつことを示す．

次をみたす$V$の部分集合$B$の族を$\mathcal{B}$とする：任意の有限個の$b_1,\dots,b_n\in B$に対して，$b_1,\dots,b_n$は線形独立である．

［１］$\mathcal{B}$が包含に関して極大元をもつことを示す．

集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，$V$は$\{0\}$ではないから，$v\in V\setminus\{0\}$が存在する．このとき，集合$\{v\}$からとれる有限個の元は$v$のみであり，$v$は線形独立だから，$\mathcal{B}$は空でない．

よって，あとは$\mathcal{B}$が帰納的であることを示せば，ツォルンの補題により$\mathcal{B}$は包含に関して極大元をもつことが分かる．すなわち，任意の全順序部分集合$\mathcal{A}\in\mathcal{B}$に対して，$\mathcal{A}$の上界が$\mathcal{B}$に存在することを示せばよい．

$A_{*}\subset V$を

で定める．

このとき，$A_{*}$が$\mathcal{A}$の上界であることは明らかだから，$A_{*}\in\mathcal{B}$を示せばよい．

任意の有限個の$a_1,\dots,a_n\in A_{*}$に対して，$a_k\in A_k$となる$A_k\in\mathcal{A}$が存在する($k\in\{1,\dots,n\}$)．いま$\mathcal{A}$は全順序集合だから，ある$k_{*}\in \{1,\dots,n\}$が存在して，任意の$k\in\{1,\dots,n\}$に対して$A_k\subset A_{k_{*}}$が成り立つ．

よって，$a_1,\dots,a_n\in A_{k_{*}}$が成り立ち，$A_{k_{*}}\in\mathcal{B}$だから$a_1,\dots,a_n$は線形独立である．

以上より，$A_{*}\in\mathcal{B}$が従う．

［２］$\mathcal{B}$の包含に関する極大元が$V$の基底となることを背理法により示す．すなわち，$\mathcal{B}$の包含に関する任意の極大元を$B$とし，$B$の有限個の元の線形結合で表せない$v\in V$が存在するとして矛盾を導く．

このとき，$B’:=B\cup\{v\}$とする．$B’$から任意の有限個の元$b_1,\dots,b_n$をとる．

$b_1,\dots,b_n\in B$なら，$B\in\mathcal{B}$から$b_1,\dots,b_n$は線形独立である．

ある$k\in\{1,\dots,n\}$に対して$b_k=v$なら，$c_1b_1+\dots+c_nb_n=0$ ($c_1,\dots,c_n\in \mathbb{F}$)のとき$c_k=0$である．実際，$c_k\neq0$なら，両辺を$c_k$で割って$v$を移項することにより，$v$が$B$の元の線形結合で表せることになり矛盾するから，$c_k=0$である．

したがって，$B’\in\mathcal{B}$が従う．これは，$B$が$\mathcal{B}$の極大元であることに矛盾する．よって，$\mathcal{B}$の包含に関する極大元は$V$の基底となる．

次をみたす$\R$の部分集合の族を$\mathcal{B}$とする：任意の有限個の$b_1,\dots,b_n\in\mathcal{B}$に対して，$r_1b_1+\dots+r_nb_n=0$ ($r_1,\dots,r_n\in\Q$)なら$r_1=\dots=r_n=0$が成り立つ．

［１］$\mathcal{B}$が包含に関して極大元をもつことを示す．

集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，$x\in\R\setminus\{0\}$に対して，$rx=0\ (r\in\Q)$なら$r=0$だから$\{x\}\in\mathcal{B}$となって，$\mathcal{B}$は空でない．

よって，あとは$\mathcal{B}$が帰納的であることを示せば，ツォルンの補題により$\mathcal{B}$は包含に関して極大元をもつことが分かる．すなわち，任意の全順序部分集合$\mathcal{A}\in\mathcal{B}$に対して，$\mathcal{A}$の上界が$\mathcal{B}$に存在することを示せばよい．

$A_{*}\subset\R$を

で定める．

このとき，$A_{*}$が$\mathcal{A}$の上界であることは明らかだから，$A_{*}\in\mathcal{B}$を示せばよい．

任意の有限個の$a_1,\dots,a_n\in A_{*}$に対して，$a_k\in A_k$となる$A_k\in\mathcal{A}$が存在する($k\in\{1,\dots,n\}$)．いま$\mathcal{A}$は全順序集合だから，ある$k_{*}\in\{1,\dots,n\}$が存在して，任意の$k\in\{1,\dots,n\}$に対して$A_k\subset A_{k_{*}}$が成り立つ．

よって，$a_1,\dots,a_n\in A_{k_{*}}$が成り立ち，$A_{k_{*}}\in\mathcal{B}$だから$a_1,\dots,a_n$は線形独立である．

以上より，$A_{*}\in\mathcal{B}$が従う．

［２］$\mathcal{B}$の包含に関する極大元がハメル基底となることを背理法により示す．すなわち，$\mathcal{B}$の包含に関する任意の極大元を$B$とし，$r_1b_1+\dots+r_nb_n$ ($r_1,\dots,r_n\in\Q$, $b_1,\dots,b_n\in B$)の形で表せない$x\in V$が存在するとして矛盾を導く．

このとき，$B’:=B\cup\{x\}$とする．$B’$から任意の有限個の元$b_1,\dots,b_n$をとる．

$b_1,\dots,b_n\in B$なら，$B\in\mathcal{B}$から$r_1b_1+\dots+r_nb_n=0$のとき$r_1=\dots=r_n$である．

ある$k\in\{1,\dots,n\}$に対して$b_k=x$なら，$r_1b_1+\dots+r_nb_n=0$ ($r_1,\dots,r_n\in \Q$)のとき$r_k=0$である．実際，$r_k\neq0$なら，両辺を$r_k$で割って$x$を移項することにより，$x$が

の形で表せることになり矛盾するから，$r_k=0$である．

したがって，$B’\in\mathcal{B}$が従う．これは，$B$が$\mathcal{B}$の極大元であることに矛盾する．よって，$\mathcal{B}$の包含に関する極大元はハメル基底である．