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位相空間上の連続写像を矛盾なく定義する方法

位相空間上の写像に連続性を定義することを考える.

距離空間における連続性は「\epsilon\delta論法」を用いて定義するのが普通である.

しかし,「\epsilon\delta論法」は距離を用いた定義のため,一般には距離が定義されていない位相空間にそのまま「\epsilon\delta論法」は適用できない.

そのため,位相空間での写像の連続性を定義する際には,距離空間での連続性の定義に矛盾しないように定義する必要がある.

そこで,もし距離空間での写像の連続性の定義を距離を用いない同値な条件に言い換えることができれば,その条件を位相空間上の写像の連続性の定義とすることができる.

この記事では,位相空間の定義,距離空間の定義から確認し,距離空間上の写像の連続性について考察する.

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位相空間の定義

まずは位相空間の定義を確認しておく.

[定義1(位相空間)] 集合Xと,Xの部分集合族(部分集合の集合)\mathcal{O}の組(X,\mathcal{O})位相空間(topological space)であるとは,次の(i)~(iii)を満たすことをいう.

  1. 空集合\emptysetと全体集合Xはともに\mathcal{O}に属する:\emptyset,X\in\mathcal{O}
  2. \mathcal{O}の有限個の元O_{1},\dots,O_{n}の共通部分\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\mathcal{O}に属する:\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}
  3. \mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元O_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)の和集合\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\mathcal{O}に属する:\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}

このとき,部分集合族\mathcal{O}は集合X開集合系(open sets)であるという.また,位相空間(X,\mathcal{O})を単にXと書くこともある.

本来,位相とは開集合系を定めることによって定まる数学的構造のことを指すが,簡単に開集合系\mathcal{O}を指して位相と言うことも多くある.

注意として,条件3で\mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元をO_{n} (n=1,2,\dots)ではなくO_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)とするのは,この「任意個」が「たかだか可算個」ではないかもしれないからである.

たとえば,実数と同じ濃度の集合をもってきたときにはO_{\lambda} (\lambda\in\R)ということになるが,「実数の集合は自然数の集合より濃度が大きく,実数を一列に並べることはできない」という性質により,\Lambda=\RのときにはO_{n} (n=1,2,\dots)とは書けない.

このような理由で,3ではO_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)という表記になっている.

条件3では,このようにどんな濃度の\mathcal{O}の部分集合をとってきても,和集合は再び\mathcal{O}に属するということ述べている.

距離空間上の連続写像

一般の位相空間の連続写像を定義する前に,\mathbb{R}^n上の連続関数と距離空間上の連続写像の定義をみる.

一般の距離空間上の連続写像の話に移る前に,\Omega\subset\mathbb{R}^{n}上の関数の連続性についてみておく.これは,次のように定義するのが最もポピュラーであろう.

[定義2(\mathbb{R}^n上の連続関数)] \Omega\subset\mathbb{R}^nとする.関数f:\Omega\to\mathbb{R}^ma\in\Omegaで連続(continuity)であるとは,次をみたすことをいう:

{}^{\forall}\epsilon>0\ {}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon

また,f集合\Omega'\subset\Omega上で連続であるとは,集合\Omega'上の任意の点でfが連続であることをいう.

ただし,x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^{n}に対して,|x|=\sqrt{{x_1}^2+\dots+{x_n}^2}である.

\mathbb{R}^n上の連続関数は距離空間の連続写像の特別な場合に過ぎないが,\mathbb{R}^n上の連続関数のイメージを距離空間の連続写像のイメージとして もっていることは決して損にはならない.

次に,距離空間の定義を確認しておく.

[定義3(距離空間)] 集合Xと写像d:X\times X\to \mathbb{R}の組(X,d)距離空間(metric space)であるとは,写像dが次の1~3を満たすことをいう.

  1. d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
  2. d(x,y)=d(y,x)
  3. d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)

このとき,写像dを距離空間(X,d)距離(distance)という.距離空間(X,d)を単にXと書くこともある.

また,a\in X,r>0に対し,集合U_{r}(a):=\{x\in X|d(a,x)<r\}ar開近傍(open neighborhood)(または単に近傍)という.

距離の定義に非負値性0\le d(x,y)を定義に含めることもあるが,非負値性は上の3性質から次のようにして導くことができる:任意のx,y\in Xに対して,

    \begin{align*} 0=d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \end{align*}

だから両辺2で割って0\le d(x,y)が従う.

通常,距離空間上の連続写像は次のように定義される.

[定義4(距離空間上の連続写像)] (X,d_1)(Y,d_2)を距離空間とする.写像f:X\to Ya\in Xで連続であるとは,次をみたすことをいう:

{}^{\forall}\epsilon>0\ {}^{\exists}\delta>0\ s.t.\ d_1(x,\ a)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),\ f(a))<\epsilon

また,fX上で連続であるとはX上の任意の点でfが連続であることをいう.

写像d:\R^n\times\R^n\to\R;(x,y)\mapsto|x-y|を考えれば,(\R,d)は距離空間である.

すなわち,\R^n上の連続関数は距離空間(\R,d)の連続写像の定義を適用したものと一致することが分かる.

なお,この距離空間(\R,d)によって自然に定まる\R^nの位相を,\R^nの通常の位相」「自然な位相」などという.

また,通常の位相における開集合を通常の開集合自然な開集合ということもある.

距離空間の位相

次の命題5は距離空間と位相空間を繋ぐ重要な役割を果たす.

[命題5(距離空間の位相)] 距離空間Xは,次の性質(*)をみたすXの部分集合O全部の族\mathcal{O}を開集合系として位相空間になる.

(*)a\in Oなら,あるr>0が存在してU_{r}(a)\subset Oをみたす.

[証明]

位相空間の定義1~3を確認すれば良い.

[1の証明] U=\emptyset,Xは明らかに(*)をみたすから,\emptysetX\in\mathcal{O}が従う.(U=\emptysetに対しては,a\in Uが偽なので,(*)が真となることに注意)

[2の証明] \mathcal{O}の有限個の元O_{1},\dots,O_{n}をとり,a\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_iであるとすると,各i\in{1,\dots,n}に対して,U_{r_i}(a)\subset O_iをみたすr_i>0が存在する.よって,r:=\min{r_1,\dots,r_n}とすれば,U_{r}(a)\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_iをみたすから,\bigcap\limits_{i=1}^{n}O_i\in\mathcal{O}が従う.

[3の証明] \mathcal{O}の任意個(無限個も可)の元O_{\lambda} (\lambda\in\Lambda)をとり,a\in\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}であるとすると,a\in O_{\lambda}をみたす\lambda\in\Lambdaが存在する.このとき,U_{r}(a)\subset O_\lambdaをみたすr>0が存在する.もとより,O_\lambda\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}だから,\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O}が従う.

[証明終]

多くの場合,学部1年生で(*)のようにして\R^{n}上の「通常の開集合」の定義を習い,学部2年生の位相空間の授業で

「実は1年生で\R^{n}上の『通常の開集合』といっていたものは位相の性質をみたす.だから,\mathbb{R}^{n}は『通常の開集合』により位相空間となっている.」

と習う.

つまり,命題5は一般の距離空間上で,\R^{n}のときと同じ手順を踏んで証明しているのである.

このように,距離空間(X,d)は自然に位相空間(X,\mathcal{O})となる.以降,命題5により定まる位相を距離空間の位相ということにする.

位相空間上の連続写像

一般の位相空間上の連続写像は定めることを考える.

一般の位相空間には距離が定義されていないため,位相空間の連続性を定義する際に距離空間の連続性の定義をそのまま採用することはできないが,距離空間の連続性に矛盾しないように定めなければならない.

そのために,次の定理6が重要である.

[定理6] 2つの距離空間(X,d_1), (Y,d_2)と写像f:X\to Yに対し,次は同値である.

  1. fX上で連続.
  2. 任意の開集合U\subset Yに対し,f^{-1}(U)\subset Xは開集合.

[定理6の証明]

[1\Rightarrow2の証明] 任意の開集合U \subset Yをとり,f^{-1}(U)が開集合であることを示す.

任意のa \in f^{-1}(U)に対して,f(a) \in Uであり,Uは開だから

    \begin{align*} \exi\epsilon>0\quad s.t.\quad U_{\epsilon}(f(a))\subset U \end{align*}

をみたす.仮定1よりfX上で連続,したがって点aで連続なので,上の\epsilonに対して,

    \begin{align*} \exi\delta>0\quad s.t.\quad d_1(x,a)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(a))<\epsilon \end{align*}

が成り立つ.すなわち,任意のx\in U_{\delta}(a)\subset Xf(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Yをみたす.これは,

    \begin{align*} U_{\delta}(a)\subset U_{\epsilon}(f(a)) \end{align*}

であることに他ならない.いま,U_{\epsilon}(f(a))\subset Uだから,f\left(U_{\delta}(a)\right)\subset Uである.よって,U_{\delta}(a)\subset f^{-1}(U)である.

U_{\delta}(a)は開集合だから,f^{-1}(U)が開集合であることが従う.したがって,(ii)が示された.

[2\Rightarrow1の証明] 任意のa\in Xをとり,afが連続であることを示す.

任意の\epsilon>0に対し,U_{\epsilon}(f(a)) \subset Yは開なので,仮定2よりf^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right) \subset Xも開である.

さらに,もとよりa \in f^{-1}\left(U_{\epsilon}(f(a))\right)であるから,

    \begin{align*} \exi\delta>0\quad s.t.\quad U_{\delta}(a) \subset f^{-1}(U_{\epsilon}(f(a))) \end{align*}

が成り立つ.これは,任意のx\in U_{\delta}(a)\subset Xf(x)\in U_{\epsilon}(f(a))\subset Yをみたすことに他ならず,すなわち

    \begin{align*} \exi\delta>0\quad s.t.\quad f(U_{\delta}(a)) \subset U_{\epsilon}(f(a)) \end{align*}

が従う.したがって,1が示された.

[証明終]

先にも述べたが,ここで重要なことは定理6の条件2は距離空間でない一般の位相空間にも通用するということである.

これにより,一般の位相空間での連続の定義を定理6の条件2により定めることができ,さらにこれは既に距離空間で定めていた連続の定義と矛盾しない.

よって,一般の位相空間における連続写像の定義は次のようにすれば良いことが分かる.

[定義7(位相空間上の連続写像)] 位相空間X, Yに対し,写像f:X\rightarrow Yが連続であるとは次が成り立つことをいう:任意の開集合U \subset Yに対し,f^{-1}(U) \subset Xは開集合.

このことは,標語的に「開集合の連続写像による引き戻しは開集合」ということが多い.

また,証明は省略するが,この「開集合」を「閉集合」に変えた次の定理8「閉集合の連続写像による引き戻しは閉集合」も成り立つ.

[定理8] 距離空間(X,d_1),(Y,d_2)と写像f:X\to Yに対し,次の1,2は同値である.

  1. fX上で連続.
  2. 任意の閉集合O \subset Yに対し,f^{-1}(U) \subset Xは閉集合.

したがって,この定理8の条件2を連続写像の定義とすることもできる.

この「閉集合の連続写像による引き戻しは閉集合」という性質は非常に重要ではある.

しかし,位相空間の写像の連続性の定義は,慣習的にも開集合系を定めることが多い.

参考文献

以下は参考文献である.

集合・位相入門

超ロングセラーの集合と位相の教科書である.

具体例と図が非常に豊富であり,イメージを掴みやすい.

これにより,写像や位相などの概念が直感的に理解できるようになっている.

また,説明も丁寧に書かれており,行間が少ないのも初学者にとっては非常にありがたい点であろう.

初めて集合と位相を学ぶ人にオススメできる好著である.

集合と位相

非常にすっきりと書かれた教科書である.

そのため,集合と位相の基本の全体像をさらうのに適している.

また,演習問題の解説も丁寧なので,独学で集合と位相を学ぶのにも適している.

背景にある位相の圏論的な性質も踏まえて解説されており,これは数学系の学生には是非とも理解しておいて欲しい考え方である.

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