複素微分を具体例とともに解説！正則関数の重要定理も紹介！

複素解析は「複素数を与えると複素数を返す関数」である複素関数が主役となる分野なのでした．

複素関数にも実関数と同様に微分を定義することになりますが，実は性質は大きく異なるものになっています．

この記事では

複素微分の定義
複素関数の微分の具体例
正則関数の定義と重要定理

を具体例とともに説明します．

「複素解析の基本」の一連の記事

複素微分の定義

実数の関数で微分を定義するために極限を用いたように，複素関数の微分を考えるためにまずは複素関数の極限を定義します．

複素関数の極限

複素関数の場合の極限も考え方は実数の関数の場合と同じです．

［複素関数の極限］$\alpha\in\C$とし，$\alpha$のある近傍で定義されている複素関数$f$を考える．$z\neq\alpha$を$\alpha$にどのように近付けても$f(z)$が同じ値$\beta$に近付くとき，

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}F(z)=\beta\end{align*}$

と表し，$z\to\alpha$で$F(z)$が極限値$\beta$に収束するという．

厳密には$\epsilon$-$\delta$論法により「任意の$\epsilon>0$に対して，ある$\delta>0$が存在し

$\begin{align*}0<|z-\alpha|<\delta\Ra|F(z)-\beta|<\epsilon\end{align*}$

が成り立つとき，$z\to\alpha$で$F(z)$が極限$\beta$に収束するという」と定義されます．

微分積分学の極限

$\begin{align*}\lim_{x\to a}F(x)=b\end{align*}$

では変数$x$は数直線$\R$上を動くので，「大きい方から近付ける場合（右極限）」「小さい方から近付ける場合（左極限）」が一致すればよかったのでした．

一方，複素関数での極限

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}F(z)=\beta\end{align*}$

では変数$z$は複素平面$\C$上を動くので，近付き方が「左右だけではない」という点が微分積分学の場合と異なります．

複素微分

いま定義した複素関数の極限を用いて，複素関数の微分を定義しましょう．

［複素微分］$\alpha\in\C$のある近傍で定義されている複素関数$f$に対して，

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}\end{align*}$

が存在するとき，$f$は$\alpha$で複素微分可能または単に微分可能であるという．また，この極限を$f$の$\alpha$における微分係数といい$f'(\alpha)$と表す．

定義式は実数の関数のときと同じですが，複素関数の極限$z\to\alpha$を考える際には「$z$は$\alpha$に$360^\circ$の近付き方があり得る」という点が実数の関数の極限との違いなのでした．

この違いは次の具体例からも分かるように，複素関数の微分可能性においても注意したいポイントです．

複素微分の具体例

それでは複素微分の具体例を考えましょう．

例１（多項式）

複素関数$f_1:\C\to\C$を$f_1(z)=z^{2}$で定める．$f_1$が微分可能な点を求めよ．

任意の$\alpha\in\C$に対して，極限

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\frac{f_1(z)-f_1(\alpha)}{z-\alpha} =\lim_{z\to\alpha}\frac{z^{2}-\alpha^{2}}{z-\alpha} =\lim_{z\to\alpha}(z+\alpha) =2\alpha\end{align*}$

が存在する．よって，$f_1$は$\C$上の全ての点で微分可能である．

同様に，任意の多項式は$\C$全体で微分可能です．

例２（逆数を返す複素関数）

複素関数$f_2:\C\setminus\{0\}\to\C$を$f_2(z)=\dfrac{1}{z}$で定める．$f_2$が微分可能な点を求めよ．

一般に集合$A\setminus B$は$A$から$B$に属する元を除いた集合$A\cap B^c$を表します．よって，$\C\setminus\{0\}$は０を除く複素数全体の集合です．

任意の$\alpha\in\C\setminus\{0\}$に対して，極限

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\frac{f_2(z)-f_2(\alpha)}{z-\alpha} =\lim_{z\to\alpha}\frac{\frac{1}{z}-\frac{1}{\alpha}}{z-\alpha} =\lim_{z\to\alpha}-\frac{1}{z\alpha} =-\frac{1}{\alpha^{2}}\end{align*}$

が存在する．よって，$f_2$は$\C\setminus\{0\}$上微分可能である．

例３（実部を返す複素関数）

複素関数$f_3:\C\to\C$を$f_3(z)=x$で定める（$z=x+yi$, $x,y\in\R$）．$f_3$が微分可能な点を求めよ．

$f_3$は実部を返す複素関数ですね．結論を先に言えば，この$f_3$は$\C$上の全ての点で微分不可能です．

任意に$\alpha=p+qi$（$p,q\in\R$）をとる．

［１］$z=x+yi$ ($x,y\in\R$)を$\alpha$に実軸に平行に近付けるとき，$y=q$なので，

$\begin{align*}\frac{f_3(z)-f_3(\alpha)}{z-\alpha} =\frac{x-p}{(x+yi)-(p+qi)} =\frac{x-p}{x-p}=1\end{align*}$

となる．

［２］$z=x+yi$ ($x,y\in\R$)を$\alpha$に虚軸に平行に近付けるとき，$x=p$なので，

$\begin{align*}\frac{f_3(z)-f_3(\alpha)}{z-\alpha}=\frac{x-p}{(x+yi)-(p+qi)}=\frac{0}{yi-qi}=0\end{align*}$

となる．

［１］と［２］から$z$の$\alpha$への近付け方で近付き先が変わるから，極限

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\frac{f_3(z)-f_3(\alpha)}{z-\alpha}\end{align*}$

は存在しない．すなわち，$f_3$は点$\alpha$で微分不可能である．よって，$f_3$は$\C$上の全ての点でも微分不可能である．

複素関数の極限$\lim\limits_{z\to\alpha}F(z)$は，$z$を$\alpha$にどのように近付けても$F(z)$が同じ値に近付かないといけないのでした．

しかし，$F(z)=\dfrac{f_3(z)-f_3(\alpha)}{z-\alpha}$はそうなっていないので，微分不可能というわけですね．

実部や虚部が含まれている複素関数は微分不可能である場合が多いことは知っておきましょう．

例４（複素共役を返す関数）

複素関数$f_4:\C\to\C$を$f_4(z)=\overline{z}$で定める．$f_4$が微分可能な点を求めよ．

$f_4$は複素共役を返す複素関数ですね．結論を先に言えば，この$f_4$も$\C$上の全ての点で微分不可能です．

任意に$\alpha=p+qi$（$p,q\in\R$）をとる．

［１］$z=x+yi$ ($x,y\in\R$)を$\alpha$に実軸に平行に近付けるとき，$y=q$なので，

$\begin{align*}\frac{f_4(z)-f_4(\alpha)}{z-\alpha} =\frac{(x-yi)-(p-qi)}{(x+yi)-(p+qi)} =\frac{x-p}{x-p}=1\end{align*}$

となる．

［２］$z=x+yi$ ($x,y\in\R$)を$\alpha$に虚軸に平行に近付けるとき，$x=p$なので，

$\begin{align*}\frac{f_4(z)-f_4(\alpha)}{z-\alpha} =\frac{(x-yi)-(p-qi)}{(x+yi)-(p+qi)} =\frac{-yi+qi}{yi-qi}=-1\end{align*}$

となる．

［１］と［２］から$z$の$\alpha$への近付け方で近付き先が変わるから，極限

$\begin{align*}\lim_{z\to\alpha}\frac{f_4(z)-f_4(\alpha)}{z-\alpha}\end{align*}$

は存在しない．すなわち，$f_4$は点$\alpha$で微分不可能である．よって，$f_4$は$\C$上の全ての点でも微分不可能である．

複素共役が含まれている複素関数は微分不可能である場合が多いことは知っておきましょう．

複素微分の基本性質

次に複素微分の基本性質を紹介しますが，いずれも実数の微分と同様に成り立ちます．

微分の線形性

次の実数の微分でも成り立った線形性は複素微分でも成り立ちます．

［線形性］$\alpha\in\C$とし，$\alpha$のある近傍で定義されている複素関数$f$, $g$と任意の$k,\ell\in\C$に対して

$\begin{align*}(kf+\ell g)'(\alpha)=kf'(\alpha)+\ell g'(\alpha)\end{align*}$

が成り立つ．

実数の場合と同様に証明できます．

定義より

$\begin{align*}(kf+\ell g)'(\alpha) &=\lim_{z\to\alpha}\frac{(kf+\ell g)(z)-(kf+\ell g)(\alpha)}{z-\alpha} \\&=\lim_{z\to\alpha}\bra{k\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}+\ell\frac{g(z)-g(\alpha)}{z-\alpha}} \\&=kf'(\alpha)+\ell g'(\alpha)\end{align*}$