Lax-Milgramの定理｜偏微分方程式の弱解の存在・一意性のために

$B$は有界かつ強圧的だから

• ある$C>0$が存在して，任意の$u,v\in V$に対して$|B(u,v)|\le C\|u\|\|v\|$
• ある$D>0$が存在して，任意の$u\in V$に対して$D\|u\|^2\le B(u,u)$

が成り立つ．

一意性の証明

まず存在すれば一意であることを示す．

$u,u’\in H$が任意の$v\in H$に対して$B(u,v)=f(v)$, $B(u’,v)=f(v)$を満たすとする．

このとき，$v=u-u’$とおいて，辺々引けば$B$の線形性より

となるから$u=u’$を得る．

存在の証明

任意の$u\in H$に対して，$H$上の汎関数

は$B$が有界な双線形形式だから有界線形汎関数である．よって，リースの表現定理より$g=\anb{\cdot,w_g}_H$なる$w_g\in H$が一意に存在する．

いま$u\mapsto g\mapsto w_g$と定まったから，この$u\in H$から$w_g\in H$への作用素を$T$とする．このとき

が成り立つ．また，仮定より$f$は有界線形汎関数だから，リースの表現定理より，ある$w\in H$が存在して$f=\anb{\cdot,w}$が成り立つ．

ここで$T$の値域$R(T)$が$H$であれば，ある$u\in H$が存在して$Tu=w$を満たすから

が成り立つ．したがって，あとは$R(T)=H$を示せばよく，これを４ステップに分けて示す．

［ステップ１］$T$は$H$上の有界線形作用素であることを示す．

任意に$v\in V$をとる．$B$は双線形形式だから，任意の$u,u’\in H$と$\alpha\in\R$に対して

が成り立つ．第２成分の$v$は任意だったから，$T(\alpha u+u’)=\alpha Tu+Tu’$が成り立つ．

また，$B$は有界だから，任意の$u\in H$に対して

なので，これより$\|Tu\|\le C\|u\|$だから有界である．

［ステップ２］$T$は単射で逆作用素$T^{-1}$は有界作用素であることを示す．

$u\neq 0$なる$u\in H$に対して ，$B$が強圧的であることとCauchy-Schwarzの不等式から

なので，$\|Tu\|\neq0$だから$T$は単射である．

よって，逆作用素$T^{-1}$が存在し，$D\|u\|\le\|Tu\|$が成り立っているので$T^{-1}$は有界である．

［ステップ３］$T$の値域$R(T)$は閉であることを示す．

$R(T)$上の点列$\{u_n\}_{n\in\N}$が$u\in H$に収束するとする．このとき，任意の$n\in\N$に対して$u_n=Tu’_n$なる$u’_n\in H$が存在する．ステップ２で得られた不等式から

が成り立ち，$\{u_n\}$は収束列だからコーシー列なので$\{u’_n\}$もCauchy列である．

よって，$H$の完備性より極限$u’:=\lim\limits_{n\to\infty}u’_n$が存在するから，$u_n=Tu’_n$の両辺で$n\to\infty$をとって$u=Tu’\in R(T)$を得る．ただし，$T$は有界線形なので連続であることを用いた．

したがって，$R(T)$は閉である．

［ステップ４］$T$の値域$R(T)$が$H$であることを背理法により示す．

もし$R(T)\subsetneq H$と仮定すると，任意の$H\setminus R(T)$の元は$w_1+w_2$（$w_1\in R(T)$, $w_2\in R(T)^{\perp}$）と表せて$w_2\neq0$である．一方，

となって$w_2=0$だから，これは矛盾で$R(T)=H$を得る．