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自由シュレディンガー方程式の基本解とユニタリ群

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式とは,線形の偏微分方程式

\begin{align*} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 \end{align*}

のことで,非線形Schrödinger方程式を考える際にも基本となる方程式です.

ここに

  • $i$は虚数単位
  • $\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}$
  • $\Delta=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$

です.

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解$u$は,[Stoneの定理]を用いて$u(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)$と表すことができ,この$e^{it\Delta}$を自由Schrödinger発展作用素といいます.

[Stoneの定理]を用いるためには,自由Schrödinger発展作用素$e^{it\Delta}$が強連続ユニタリ群であることを述べる必要があり,そのためにこの記事では自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の解を考えます.

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自由Schrödinger方程式の基本解

まずは自由Schrödinger方程式の解を直接計算しましょう.

基本解の定義

他の方程式にも適用できるより広い基本解の定義はありますが,Schrödinger方程式に限れば基本解は以下のように定義されます.

[基本解] 自由Schrödinger方程式の初期値問題

\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 & (t,x)\in\R\times\R^d\\ u(0,x)=u_0(x) & x\in\R^d\\ \end{cases} \end{align*}

の$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$の解$u$をSchrödinger方程式の基本解 (fundamental solution)という.

$\mathcal{S}(\R^d)$はSchwartz空間です.Schwartz空間について,詳しくは以下の記事を参照してください.

より正確には基本解は$\mathcal{S}'(\R^d)$における超関数解として定めます.

よって,以下の計算では単純な関数としてみると怪しいところが散見されますが,超関数として考えると全て正当化されます.

なお,この記事では非線形の場合まで考えることはしませんが,基本解は非線形項$f$が加わった非線形Schrödinger方程式$i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=f$を考える際にも基本となります.

基本解の形

さて,Schrödinger方程式の基本解の形を求めましょう.

上の$d$次元の自由Schrödinger方程式について,$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$なら基本解$u$は

\begin{align*} u(x) =&\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\widehat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

となる.

ただし,$\mathcal{F}$はFourier変換である:

\begin{align*} &\hat{f}(\xi) =\mathcal{F}[f](\xi) :=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx, \\&\check{f}(x) =\mathcal{F}^{-1}[f](x) :=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{i\xi\cdot x}f(\xi)\,d\xi \end{align*}

$i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0$の両辺に$x$についてFourier変換を施すと,

\begin{align*} i\partial_{t}\hat{u}(t,\xi)-|\xi|^2\hat{u}(t,\xi)=0 \end{align*}

となる.両辺に$-ie^{it|\xi|^2}$をかけて

\begin{align*} \pd{}{t}\bra{e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)}=0 \end{align*}

となり,$t$について両辺積分すると

\begin{align*} &\int_{0}^{t}\pd{}{\tau}\bra{e^{i\tau|\xi|^2}\hat{u}(\tau,\xi)}\,d\tau=0 \\\iff&e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)-e^{i0|\xi|^2}\hat{u}(0,\xi)=0 \\\iff&\hat{u}(t,\xi)=e^{-it|\xi|^2}\widehat{u_0}(\xi) \\\iff&u(t,x)=\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\widehat{u_0}}(x) \\\iff&u(t,x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\bra{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}}*u_0}(x) \end{align*}

となる.ここに,$f*g$は$f$と$g$の合成積 (convolution)である.計算により

\begin{align*} \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}}(x) =\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4it}} =:S_t(x) \end{align*}

となるから,解$u$は

\begin{align*} u(x) =&(S_t*u_0)(x) \\=&\int_{\R^d}S_t(x-y)u_0(y)\,dy \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

となる.

なお,ここで現れた$S_t$を自由Schrödinger核といいます.

自由Schrödinger発展作用素

いま求めた初期値$u_0$からSchrödinger方程式の基本解を与える作用素を自由Schrödinger発展作用素といいます.

以降,自由Schrödinger発展作用素を$T_t$とします:

\begin{align*} T_{t}u_0:=S_t*u_0. \end{align*}

一般に,ノルム空間$X$とBanach空間$Y$に対して,有界線形作用素$X\to Y$が$X$上で稠密な定義域をもつとき,この作用素は$X$上の有界線形作用素に一意的に拡張できるのでした.

このことに注意すると,以下が成り立ちます.

任意の$t\in T$に対して,自由Schrödinger発展作用素$T_t$は定義域を$L^2(\R^d)$とする$L^2(\R^d)$上の有界線形作用素に一意に拡張できる.

$L^2(\R^d)$ノルムを$\|\cdot\|_2$で表す.

[1] 合成積の線形性から,任意の$f,g\in L^2(\R^d)$, $\alpha,\beta\in\C$に対して

\begin{align*} {T_t}(\alpha f+\beta g) =&{S_t}*(\alpha f+\beta g) \\=&\alpha{S_t}*f+\beta{S_t}*g \\=&\alpha{T_t}f+\beta{T_t}g \end{align*}

となるので,$T_t$は線形である.

[2] 任意の$f\in L^2(\R^d)$に対して,[Plancherelの定理]を2回用いることにより

\begin{align*} \|{T_t}f\|_2 =&\|{S_t}*f\|_2 =\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{f}}}_2 \\=&\nor{e^{-it|\xi|^2}\hat{f}}_2 =\nor{\hat{f}}_2 =\|f\|_2 \end{align*}

となって,$T_t$は有界である.

[1], [2]から$T_t$は有界線形作用素である.このことと

  • $T_t$はSchwartz空間$\mathcal{S}(\R^d)$で定義されていること
  • $\mathcal{S}(\R^d)$の$\|\cdot\|_2$ノルムによる閉包が$L^2(\R^d)$であること

を併せると,関数解析の一般論から$T_t$は定義域を$L^2(\R^d)$とする$L^2(\R^d)$上の有界線形作用素に一意に拡張できる.

この証明から分かるように,$T_t$は$L^2$有界よりも強く$L^2$等長となっている.

強連続ユニタリ群

自由Schrödinger発展作用素の族$\{T_t\}_{t\in\R}$が強連続ユニタリ群であることを示しましょう.

強連続ユニタリ群

一般に,Hilbert空間上の有界線形作用素の族がユニタリ群であるとは,次のように定義されます.

[強連続ユニタリ群] Hilbert空間$\mathcal{H}$上の有界線形作用素の族$\{T_t\}_{t\in\R}$が$\mathcal{H}$上ユニタリ群であると

  1. 任意の$s,t\in\R$に対して,${T_s}{T_t}=T_{s+t}$である.
  2. $T_0=I$である.ただし,$I$は$\mathcal{H}$上の恒等作用素である.
  3. 任意の$f\in\mathcal{H}$, $t_0\in\R$に対して,$\lim\limits_{h\to 0}\|T_{t_0+h}f-T_{t_0}f\|_{\mathcal{H}}=0$である.
  4. 任意の$t\in\R$に対して,$T_{t}$はユニタリ作用素(全単射かつ等長)である.

を満たすことをいう.

なお,条件1〜3を満たす$\{T_t\}_{t\in\R}$を強連続群や$C_0$群などといいます.

自由Schrödinger発展作用素

自由Schrödinger発展作用素の族$\{T_t\}_{t\in\R}$は$L^2(\R^N)$上強連続ユニタリ群である.

任意に$s,t\in\R$, $f\in L^2(\R^N)$をとる.

\begin{align*} {T_s}{T_t}f =&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{is|\xi|^2}\mathcal{F}_{x}\brc{\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}}} \\=&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{is|\xi|^2}\bra{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}} \\=&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{i(s+t)|\xi|^2}\hat{f}} =T_{s+t}f \end{align*}

だから,${T_s}{T_t}=T_{s+t}$が成り立つ.

Fourier変換が$L^2(\R^N)$のユニタリ作用素であることに注意すると,

\begin{align*} {T_0}f =\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{i0|\xi|^2}\hat{f}} =\mathcal{F}^{-1}\brc{\hat{f}} =f \end{align*}

となって,$T_0=I$が成り立つ.

Fourier変換の線形性,$L^2$等長性と,ノルムの連続性から

\begin{align*} &\lim_{h\to0}\|T_{t+h}f-{T_t}f\|_2 \\=&\lim_{h\to0}\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{i(t+h)|\xi|^2}\hat{f}}-\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}}_2 \\=&\lim_{h\to0}\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{\bra{e^{i(t+h)|\xi|^2}-e^{it|\xi|^2}}\hat{f}}}_2 \\=&\lim_{h\to0}\nor{e^{it|\xi|^2}\bra{e^{ih|\xi|^2}-1}\hat{f}}_2 \\=&\nor{\lim_{h\to0}e^{it|\xi|^2}\bra{e^{ih|\xi|^2}-1}\hat{f}}_2 =\|0\|_{2} =0 \end{align*}

となる.

先ほど示したように$T_t$は$L^2(\R^N)$全体で定義される等長作用素である.また,任意の$g\in L^2(\R^d)$に対して

\begin{align*} g=T_0g =T_{t}(T_{-t}g) \end{align*}

であり$T_{-t}g$だから$T_t$は全射で,$f\in L^2(\R^d)$が${T_t}f=0$を満たせば,左から$T_{-t}$を作用させて$f=0$となるから$T_t$は単射である.

Stoneの定理の適用

ここで,[Stoneの定理]を確認しておきましょう.

[Stoneの定理] $\{T_t\}_{t\in\R}$をHilbert空間$\mathcal{H}$全体で定義された$\mathcal{H}$上の有界線形作用素の族とする.このとき,$\{T_t\}_{t\in\R}$がユニタリ群であるためには,$\mathcal{H}$上の自己共役作用素$A$が存在して,$T_t=e^{itA}$を満たすことが必要十分である.

[Stoneの定理]について,詳しくは以下の記事を参照してください.

[Stoneの定理]より,自由Schrödinger発展作用素の族$\{T_t\}$のユニタリ群であることから,$L^2(\R^d)$上の自己共役作用素$A$が存在して$T_t=e^{itA}$と表されます.

このとき,任意の$f\in L^2(\R^d)$に対して

\begin{align*} Af =-i\od{}{t}(e^{itA}f)|_{t=0} =-i\od{}{t}(T_tf)|_{t=0} \end{align*}

となります.$T_tf$は自由Schrödinger方程式の解なので,

\begin{align*} i\partial_{t}(T_tf)+\Delta (T_tf)=0 \iff& -i\partial_{t}(T_tf)=\Delta (T_tf) \\\Ra\ & -i\partial_{t}(T_tf)|_{t=0}=\Delta (T_0f) \\\iff& -i\partial_{t}(T_tf)|_{t=0}=\Delta f \end{align*}

なので,$Af=\Delta f$が得られ,$A=\Delta$となりますね.

このことから,ラプラシアン$\Delta$は$L^2(\R^d)$の自己共役作用素であり,自由Schrödinger発展作用素は$e^{it\Delta}$とスッキリ表せることが分かりました.

以上をまとめると,以下のようになります.

自由Schrödinger方程式の初期値問題

\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0 & (t,x)\in\R\times\R^d\\ u(0,x)=u_0(x) & x\in\R^d\\ \end{cases} \end{align*}

の$u,u_0\in\mathcal{S}(\R^d)$の解は

\begin{align*} e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{N/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

と表せる.

次の記事では,Schrödinger方程式の基本解の不等式として基本的な[$L^pL^q$評価]を考え方から説明します.

参考文献

「非線形発展方程式の実解析的方法」(小川卓克 著,丸善出版(シュプリンガー現代数学シリーズ))

非線形発展方程式について議論するには,Lebesgue空間$L^p(\R^d)$,Sobolev空間$W^{k,p}(\R^d)$, $H^{s}_p(\R^d)$,Besov空間$B^{s}_{p,\sigma}$といった解を考えるための種々の関数空間を理解することが重要です.

本書は関数空間に関する予備知識をじっくりと準備し,

  • 波動方程式
  • 熱方程式
  • Schrödinger方程式
  • Navier-Stokes方程式

といった非線形発展方程式を考えていきます.

本書の特徴は,様々な非線形発展方程式を広く扱っている点と,証明へのアプローチを説明して直感的な理解を促しているです.

本書が全19章と多くの章から構成されていることからも,広くトピックを扱っていることが見てとれますね.

誤植が多いのが1つ残念な点ではありますが,これほどに広く丁寧に非線形発展方程式を扱っている和書は他に見当たらず,この分野の基礎や考え方をカバーするには良い教科書と言えます.

最後までありがとうございました!

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