線形シュレディンガー方程式｜基本解と解作用素のユニタリ群

$i\partial_{t}u(t,x)+\Delta u(t,x)=0$の両辺に$x$についてフーリエ変換を施すと，

\begin{align*}i\partial_{t}\hat{u}(t,\xi)-|\xi|^2\hat{u}(t,\xi)=0\end{align*}

となる．両辺に$-ie^{it|\xi|^2}$をかけて

\begin{align*}\pd{}{t}\bra{e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)}=0\end{align*}

となり，$t$について両辺積分すると

\begin{align*}&\int_{0}^{t}\pd{}{\tau}\bra{e^{i\tau|\xi|^2}\hat{u}(\tau,\xi)}\,d\tau=0
\\&\iff e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)-e^{i0|\xi|^2}\hat{u}(0,\xi)=0
\\&\iff\hat{u}(t,\xi)=e^{-it|\xi|^2}\widehat{u_0}(\xi)
\\&\iff u(t,x)=\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\widehat{u_0}}(x)
\\&\iff u(t,x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\bra{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}}*u_0}(x)\end{align*}

となる．ここに，$f*g$は$f$と$g$の合成積である．計算により

\begin{align*}\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}}(x)
=\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4it}}
=:S_t(x)\end{align*}

となるから，解$u$は

\begin{align*}u(x)&=(S_t*u_0)(x)
\\&=\int_{\R^d}S_t(x-y)u_0(y)\,dy
\\&=\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy\end{align*}

となる．

$L^2(\R^d)$ノルムを$\|\cdot\|_2$で表す．

［１］合成積の線形性から，任意の$f,g\in L^2(\R^d)$, $\alpha,\beta\in\C$に対して

\begin{align*}{T_t}(\alpha f+\beta g)=&{S_t}*(\alpha f+\beta g)
\\&=\alpha{S_t}*f+\beta{S_t}*g
\\&=\alpha{T_t}f+\beta{T_t}g\end{align*}

となるので，$T_t$は線形である．

［２］任意の$f\in L^2(\R^d)$に対して，プランシュレルの定理と$\abs{e^{-it|\xi|^2}}=1$を用いることにより

\begin{align*}\|{T_t}f\|_2&=\|{S_t}*f\|_2=\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{f}}}_2
\\&=\nor{e^{-it|\xi|^2}\hat{f}}_2=\nor{\hat{f}}_2=\|f\|_2\end{align*}

となって，$T_t$は有界である．

［１］，［２］と

• $T_t$はSchwartz空間$\mathcal{S}(\R^d)$で定義されていること
• $\mathcal{S}(\R^d)$の$\|\cdot\|_2$ノルムによる閉包が$L^2(\R^d)$であること

を併せると，関数解析の一般論から$T_t$は定義域を$L^2(\R^d)$とする$L^2(\R^d)$上の有界線形作用素に一意に拡張できる．

任意に$s,t\in\R$, $f\in L^2(\R^N)$をとる．

\begin{align*}{T_s}{T_t}f&=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{is|\xi|^2}\mathcal{F}_{x}\brc{\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}}}
\\&=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{is|\xi|^2}\bra{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}}
\\&=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{i(s+t)|\xi|^2}\hat{f}}
=T_{s+t}f\end{align*}

だから，${T_s}{T_t}=T_{s+t}$が成り立つ．

フーリエ変換が$L^2(\R^N)$のユニタリ作用素であることに注意すると，

\begin{align*}{T_0}f=\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{i0|\xi|^2}\hat{f}}=\mathcal{F}^{-1}\brc{\hat{f}}=f\end{align*}

となって，$T_0=I$が成り立つ．

フーリエ変換の線形性，$L^2$等長性と，ノルムの連続性から

\begin{align*}&\lim_{h\to0}\|T_{t+h}f-{T_t}f\|_2
\\&=\lim_{h\to0}\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{i(t+h)|\xi|^2}\hat{f}}-\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\hat{f}}}_2
\\&=\lim_{h\to0}\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{\bra{e^{i(t+h)|\xi|^2}-e^{it|\xi|^2}}\hat{f}}}_2
\\&=\lim_{h\to0}\nor{e^{it|\xi|^2}\bra{e^{ih|\xi|^2}-1}\hat{f}}_2
\\&=\nor{\lim_{h\to0}e^{it|\xi|^2}\bra{e^{ih|\xi|^2}-1}\hat{f}}_2=\|0\|_{2}=0\end{align*}

となる．

先ほど示したように$T_t$は$L^2(\R^N)$全体で定義される等長作用素である．また，任意の$g\in L^2(\R^d)$に対して

\begin{align*}g=T_0g=T_{t}(T_{-t}g)\end{align*}

であり$T_{-t}g$だから$T_t$は全射で，$f\in L^2(\R^d)$が${T_t}f=0$を満たせば，左から$T_{-t}$を作用させて$f=0$となるから$T_t$は単射である．