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自由シュレディンガー方程式の解の性質

自由Schrödinger(シュレディンガー)方程式の初期値問題

\begin{align*} \begin{cases} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0& (t,x)\in\R\times\R^N\\ u(0,x)=u_0(x)& x\in\R^N \end{cases} \end{align*}

を考える.ここに,iは虚数単位,\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}, \Delta_x=\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}である.

自由Schrödinger方程式の初期値問題の解uは,[Stoneの定理]を用いてu(t,x)=e^{it\Delta}u_0(x)と表すことができ,このe^{it\Delta}を自由Schrödinger発展作用素という.

この記事では,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の基本性質について説明する.

ただし,本稿ではFourier変換\mathcal{F},逆Fourier変換\mathcal{F}^{-1}をそれぞれ次で定義する:

\begin{align*} &\hat{u}(\xi)=\mathcal{F}_{x}[u](\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{-ix\cdot\xi}u(x)\,dx, \\&\check{u}(x)=\mathcal{F}_{\xi}^{-1}[u](x)=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\dint_{\R^N}e^{ix\cdot\xi}u(\xi)\,d\xi \end{align*}

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自由Schrödinger発展作用素の形

関数解析から見れば,[Stoneの定理]から自由Schrödinger発展作用素をe^{it\Delta}と表すことは自然であるが,ここではe^{it\Delta}u(x)の具体的な形を求める.

【参考記事:1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理

形式的に,自由Schrödinger方程式を解く(例えば,u\in\mathcal{S}(\R^{N+1}), u_0\in\mathcal{S}(\R^N)とすれば,以下は正当化できる).i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_x u(t,x)=0の両辺にFourier変換を施すと,

\begin{align*} i\partial_{t}\hat{u}(t,\xi)-|\xi|^2\hat{u}(t,\xi)=0 \end{align*}

となり,これはtに関する常微分方程式とみることで解ける.両辺に-ie^{it|\xi|^2}をかけると,

\begin{align*} \pd{}{t}\bra{e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)}=0 \end{align*}

となるから,両辺0からtまで積分して,整理すると,

\begin{align*} &e^{it|\xi|^2}\hat{u}(t,\xi)-\hat{u_0}(\xi)=0 \\\Ra& \hat{u}(t,\xi)=e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi) \\\Ra& u(t,x)=\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \end{align*}

となる.したがって,e^{it\Delta}u_0(x)=\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x)である.また,

\begin{align*} S_t(x):=\frac{1}{(4\pi it)^{N/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4it}} \end{align*}

とすると,計算により\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}}(x)=(2\pi)^{N/2}S_t(x)であることが分かるから,

\begin{align*} e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}^{-1}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\bra{S_t*u_0}(x) \\=&\int_{\R^N}S_t(x-y)u_0(y)\,dy \end{align*}

となる.以上より,以下が分かった.

[自由Schrödinger発展作用素の形] 自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}は次のように表せる:

\begin{align*} e^{it\Delta}u_0(x) =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{N/2}}\int_{\R^N}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

強連続ユニタリー群

一般に,Hilbert空間\mathcal{H}上の作用素の群について,[強連続ユニタリー群]であるとは,次のように定義される.

[強連続ユニタリー群] Hilbert空間\mathcal{H}上の作用素の族\{T_{t}\}_{t\in\R}\mathcal{H}上強連続ユニタリー群であるとは,次を満たすことをいう.

  1. 任意のt\in\Rに対して,T_{t}:\mathcal{H}\to\mathcal{H}は同型,すなわち全単射かつ等長である.
  2. 任意のt,t'\in\Rに対して,T_{t}T{t'}=T_{t+t'}である.
  3. T_0=I(恒等作用素)である.
  4. 任意のu\in\mathcal{H}, t\in\Rに対して,\lim\limits_{s\to t}\|T_{s}u-T_{t}u\|_{\mathcal{H}}=0である.

1〜3の性質をユニタリー,4の性質を強連続という.

自由Schrödinger発展作用素の族\{e^{it\Delta}\}_{t\in\R}L^2(\R^N)上強連続ユニタリー群である.

[証明]

任意にt,t'\in\R,u\in L^2(\R^N)をとる.Fourier変換がL^2(\R^N)のユニタリー作用素であることに注意すると,

\begin{align*} e^{i0\Delta}u(x) =&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{i0|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x) \\=&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{\hat{u}}(x) \\=&u(x) \end{align*}

となって,e^{i0\Delta}=Iが分かる.さらに,

\begin{align*} \int_{\R^N}|e^{it\Delta}u(x)|^2\,dx =&\dint_{\R^N}\abs{\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x)}^2\,dx \\=&\dint_{\R^N}\abs{e^{it|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}^2\,dx \\=&\dint_{\R^N}\abs{\hat{u}(\xi)}^2\,dx \\=&\dint_{\R^N}|u(x)|^2\,dx \end{align*}

だから,e^{it\Delta}L^2(\R^N)全体で定義される等長作用素であることが分かる.e^{it\Delta}u(x)は任意のt,t'\in\R, u\in L^2(\R^N)に対して,

\begin{align*} e^{it\Delta}e^{it'\Delta}u(x) =&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it'|\xi|^2}\mathcal{F}_{x} \brc{\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it'|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}}}(x) \\=&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{it|\xi|^2}\bra{e^{it'|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}}(x) \\=&\mathcal{F}_{\xi}^{-1}\brc{e^{i(t+t')|\xi|^2}\hat{u}(\xi)}(x) \\=&e^{i(t+t')\Delta}u(x) \end{align*}

だから,e^{it\Delta}e^{it'\Delta}=e^{i(t+t')\Delta}が成り立つ.よって,e^{i0\Delta}=Iから

\begin{align*} e^{it\Delta}e^{-it\Delta}=e^{-it\Delta}e^{it\Delta}=I \end{align*}

であることが分かるから,(e^{it\Delta})^{-1}=e^{-it\Delta}である.よって,v:=e^{-it\Delta}v\in L^2(\R^N)であって,e^{it\Delta}v=e^{it\Delta}\bra{e^{-it\Delta}u}=uだからe^{it\Delta}は全射である.

また,Fourier変換の等長性と,ノルムの連続性から,

\begin{align*} &\lim_{s\to t}\|e^{is\Delta}u-e^{it\Delta}u\|_{L^2(\R^N)} \\=&\lim_{s\to t}\nor{\mathcal{F}\brc{\bra{e^{is|\xi|^2}-e^{it|\xi|^2}}\hat{u}}}_{L^2(\R^N)} \\=&\lim_{s\to t}\nor{\bra{e^{is|\xi|^2}-e^{it|\xi|^2}}\hat{u}}_{L^2(\R^N)} \\=&\nor{\lim\limits_{s\to t}\bra{e^{is|\xi|^2}-e^{it|\xi|^2}}\hat{u}}_{L^2(\R^N)} \\=&\|0\|_{L^2(\R^N)}=0 \end{align*}

となる.

[証明終]

LpLq評価

e^{it\Delta}L^2(\R^N)上の作用素と見たときには,ユニタリー作用素となることは前節でみたとおりである.

この節では,定義域がL^q(\R^N)\ (q\in[1,2])の場合について述べる.

そのために,まずは[Riesz-Thorinの複素補間定理]を述べておく.

[Riesz-Thorinの補間定理] p_i,q_i\ge1\ (i=0,1)p_0\neq p_1,q_0\neq q_1を満たすとし,(X,\mathcal{A},\mu),(Y,\mathcal{B},\nu)を測度空間とする.さらに,i=0,1に対して,TL^{q_i}(X)からL^{p_i}(Y)への有界作用素とし,作用素ノルムをM_iとする.

このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta},q_{\theta}

\begin{align*} p_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}^{-1},\quad q_{\theta}:=\bra{\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1}}^{-1} \end{align*}

と定めると,

\begin{align*} \|Tf\|_{p_{\theta}}\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|f\|_{q_\theta} \end{align*}

をみたす.

Riesz-Thorinの複素補間定理を用いると,次のL^pL^q評価が得られる.

具体的には,q=1,2の場合に示すことができれば,[Riesz-Thorinの複素補間定理]から任意のq\in[1,2]に対してもL^pL^q評価が成り立つことが分かる.

また,L^pL^q評価が成り立てば,連続であることは直ちに従う.

[L^pL^q評価] t\neq0, q\in[1,2], \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1とする.e^{it\Delta}L^q(\R^N)からL^p(\R^N)への連続作用素となり,次のL^pL^q評価が成り立つ:任意のf\in L^q(\R^N)に対して,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}f\|_{p}\le C|t|^{-\frac{N}{2}\bra{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}\|f\|_{q} \end{align*}

ここに,Cは適当な定数である.

[証明]

[1] f\in L^1(\R^N)とすると,Youngの不等式から,

\begin{align*} f\|_{\infty}=\|S_t*f\|_{\infty}\le\|S_t\|_{\infty}\|f\|_1\le C|t|^{-N/2}\|f\|_1 \end{align*}

が成り立つ.よって,q=1のときは題意のL^pL^q評価が成り立つ.

[2] f\in L^2(\R^N)とすると,e^{it\Delta}L^2(\R^N)上のユニタリー作用素だから,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}f\|_2=\|f\|_{w} \end{align*}

が成り立つ.よって,q=2のときは題意のL^pL^q評価が成り立つ.

[1],[2]より,[Riesz-Thorinの複素補間定理]でp_0=2, q_0=2, p_1=1, q_1=\inftyの場合を適用できて,

\nor{e^{it\Delta}f}_{p}\le 1^{1-\theta}\bra{C|t|^{-N/2}}^{\theta}\|f\|_{q}

が従う.ただし,

\begin{align*} p:=\bra{\frac{1-\theta}{2}+\frac{\theta}{\infty}}^{-1},\quad q:=\bra{\frac{1-\theta}{2}+\frac{\theta}{1}}^{-1} \end{align*}

である.すなわち,q:=\bra{\frac{1}{p}+\theta}^{-1}だから,\theta=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}が成り立つ.よって,

\begin{align*} \nor{e^{it\Delta}f}_{p}\le C|t|^{-\frac{N}{2}\bra{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}\|f\|_{q} \end{align*}

が従う.

また,L^q(\R^N)上でf\to gであれば,

\begin{align*} \nor{e^{it\Delta}f-e^{it\Delta}g}_{p} =&\nor{e^{it\Delta}(f-g)}_{p} \\\le& C|t|^{-\frac{N}{2}\bra{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}\|f-g\|_{q} \\\to&0 \end{align*}

だから,e^{it\Delta}L^q(\R^N)からL^p(\R^N)への連続作用素である.

[証明終]

参考文献

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