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シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

この記事ではSchrödinger(シュレディンガー)方程式に関して,非常に重要な役割を果たすStrichartz評価とその証明を解説する.

Strichartz(ストリッカーツ)評価は,波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し,歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い.

Strichartz評価の証明のためには,「自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる.

なお,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}は,初期値u_0に対して自由Schrödinger方程式

\begin{align*} i\partial_t{u}+\Delta{u}=0 \end{align*}

の解e^{it\Delta}u_0を表す作用素e^{it\Delta}のことである.

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分散型評価

初期値u_0に対するSchrödinger方程式の基本解e^{it\Delta}u_0,すなわち自由Schrödinger方程式

\begin{align*} i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_{x}u(t,x)=0 \end{align*}

の解e^{it\Delta}u_0を与える作用素e^{it\Delta}をSchrödinger自由発展作用素という.

ここに,u:\R_{t}\times\R_{x}^{d}\to\C, \partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}, \Delta_{x}=\sum_{k=1}^{d}\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}である.

e^{it\Delta}u_0を具体的に表せば,

\begin{align*} e^{it\Delta}u_0 =&\mathcal{F}\brc{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x) \\=&\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy \end{align*}

である.

e^{it\Delta}の時空ノルムに関する基本的な不等式評価に分散型評価がある.

e^{it\Delta}の分散型評価のある場合は容易に証明することができるが,残りの場合はRiesz-Thorinの補間定理を用いることになる.

この記事の主目的であるStrichartz評価は分散型評価をもとにHardy-Littelewood-Sobolevの不等式を用いることで導かれる.

以下,p\ge1のHölder共役をp'で表す.

p\ge1に対して,\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1で定まるp'\ge1pHölder共役という.

e^{it\Delta}の分散型評価を[L^1L^{\infty}評価],[L^2L^2評価(L^2等長性)],[L^{p}L^{p'}評価]の3つに分けて示す.

なお,[L^1L^{\infty}評価]のみを分散型評価ということもある.

L1-L評価

e^{it\Delta}の[L^1L^{\infty}評価]は次の通りである.

[L^1L^{\infty}評価] 任意のu\in L^1(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{\infty}(\R^{d})}\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|\varphi\|_{L^1(\R^{d})} \end{align*}

[証明]

\abs{\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}}=1より,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{\infty}(\R^{d})} =&\nor{\frac{1}{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\R^d}\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}\varphi(y)\,dy}_{L^{\infty}(\R^{d})} \\\le&\sup_{x\in\R^{d}}\bra{\frac{1}{|4\pi it|^{d/2}}\int_{\R^N}\abs{\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}}|\varphi(y)|\,dy} \\=&\sup_{x\in\R^{d}}\bra{\frac{1}{(4\pi t)^{d/2}}\int_{\R^d}|\varphi(y)|\,dy} \\=&\frac{1}{(4\pi t)^{d/2}}\|\varphi\|_{L^1(\R^{d})} \end{align*}

が従う.

[証明終]

L2-L2評価(L2等長性)

e^{it\Delta}の[L^2L^2評価(L^2等長性)]は次の通りである.

[L^2L^2評価(L^2等長性)] 任意のu\in L^2(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^2(\R^{d})}=\|\varphi\|_{L^2(\R^{d})} \end{align*}

[証明]

Plancherelの等式と\abs{\exp\bra{-it|\xi|^2}}=1より,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^2(\R^{d})} =&\nor{\mathcal{F}^{-1}\brc{\exp\bra{-it|\xi|^2}\hat{\varphi}(\xi)}(x)}_{L^2_{x}(\R^{d})} \\=&\nor{\exp\bra{-it|\xi|^2}\hat{\varphi}(\xi)}_{L^2_{\xi}(\R^{d})} \\=&\nor{\hat{\varphi}(\xi)}_{L^2_{\xi}(\R^{d})} \\=&\nor{\varphi}_{L^2(\R^{d})} \end{align*}

が従う.

[証明終]

Lp-Lp’評価

[L^1L^{\infty}評価]と,[L^2L^2評価(L^2等長性)]から,Riesz-Thorinの複素補間定理を使うことにより, p\in(2,\infty)に対しても[L^{p}L^{p'}評価]が得られる.

これらを合わせたp\in[2,\infty]に対する[L^{p}L^{p'}評価]を「e^{it\Delta}の分散型評価」という.(L^1L^{\infty}評価のみを分散型評価ということもある.)

さて,Riesz-Thorinの複素補間定理は次の通りである.

[Riesz-Thorinの複素補間定理] p_0,p_1,q_0,q_1\in[1,\infty]と測度空間(X,\mathcal{A},\mu), (Y,\mathcal{B},\nu)を考える.

i=1,2に対して,線型作用素TL^{p_i}(X)からL^{q_i}(Y)への有界作用素であるとし,作用素ノルムをM_iとする:

\begin{align*} M_i:=&\|T\|_{L^{p_i}(X)\to L^{q_i}(Y)} \\=&\sup_{u\in L^{p_i}(X)\setminus\{0\}}\frac{\|Tu\|_{L^{q_i}(Y)}}{\|u\|_{L^{p_i}(X)}} \end{align*}

このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta}, q_{\theta}

\begin{align*} \frac{1}{p_{\theta}}:=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1},\quad \frac{1}{q_{\theta}}:=\frac{1-\theta}{q_0}+\frac{\theta}{q_1} \end{align*}

と定めると,TL^{p_{\theta}}(X)からL^{q_{\theta}}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムM_{\theta}M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}以下である:

\begin{align*} \|T\|_{L^{p_i}(X)\to L^{q_i}(Y)} \le\|T\|_{L^{p_0}(X)\to L^{q_0}(Y)}^{1-\theta}\|T\|_{L^{p_1}(X)\to L^{q_1}(Y)}^{\theta} \end{align*}

この定理の証明は以下の記事を参照されたい.

e^{it\Delta}L^{p}L^{p'}評価は以下の通りである.

[L^{p}L^{p'}評価] p\in[2,\infty]u\in L^{p}(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\begin{align*} \|e^{it\Delta}u_0\|_{L^{p'}(\R^{d})} \le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u_0\|_{L^{p}(\R^{d})} \end{align*}

本稿ではRiesz-Thorinの複素補間定理を認めて,定理1.4を示す.

[定理1.4の証明]

p=1, \inftyの場合はすでに示した:

L^1L^{\infty}評価からe^{it\Delta}L^1(\R^{d})からL^{\infty}(\R^{d})への有界作用素であり,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\|_{L^1(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})} \le(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}} \end{align*}

が成り立つ.また,L^2L^2評価(L^2等長性)からe^{it\Delta}L^2(\R^{d})からL^2(\R^{d})への有界作用素であり,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\|_{L^2(\R^{d})\to L^2(\R^{d})}=1 \end{align*}

が成り立つ.

ここで,任意のp\in(2,\infty)に対して,ある\theta\in(0,1)が存在して

\begin{align*} \frac{1}{p}=\frac{\theta}{2}+\frac{1-\theta}{\infty} \iff\theta=\frac{2}{p} \end{align*}

が成り立つ.このとき,

\begin{align*} \frac{\theta}{2}+\frac{1-\theta}{1} =&1-\frac{\theta}{2} \\=&1-\bra{\frac{\theta}{2}+\frac{1-\theta}{\infty}} \\=&1-\frac{1}{p} \\=&\frac{1}{p'} \end{align*}

だから,Riesz-Thorinの複素補間定理より,e^{it\Delta}L^{p'}(\R^{d})からL^{p}(\R^{d})への有界作用素で,

\begin{align*} \|e^{it\Delta}\|_{L^{p}(\R^{d})\to L^{p'}(\R^{d})} \le&\|e^{it\Delta}\|_{L^1(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})}^{1-\theta}\|e^{it\Delta}\|_{L^2(\R^{d})\to L^2(\R^{d})}^{\theta} \\\le&\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}\bra{1-\theta}}\cdot1^{\theta} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}\bra{1-\frac{2}{p}}} \\=&\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}} \end{align*}

である.よって,[L^{p}L^{p'}評価]が従う.

[定理1.4の証明終]

Strichartz評価

Strichartz評価を述べる前に,[(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)]と[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]を準備する.

準備

Strichartz評価を述べるためには,(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)について説明しなければならない.

(Strichartzの)許容指数対を次で定義する.

(q,r)\in\R^2

\begin{align*} \frac{2}{q}=\frac{d}{2}-\frac{d}{r} \end{align*}

かつ

\begin{align*} r\in\begin{cases} [2,\frac{2d}{d-2}] &(d\ge3)\\ [2,\infty) &(d=2)\\ [2,\infty] &(d=1)\\ \end{cases} \end{align*}

を満たすとき,(p,q)は(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)であるという.

また,組(\alpha',\beta')\in\R^2が許容指数対であるとき,(\alpha,\beta)を双対許容指数対(dual-admissible pair)という.

Strichartz評価の証明のために,次のHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を用いる.証明は省略する.

[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式] \R^{d}において,指数p,q,s

\begin{align*} p,q\in(1,\infty),\quad 0<s<\frac{d}{p},\quad s-\frac{d}{p}=-\frac{d}{q} \end{align*}

を満たすとする.このとき,f \in L^{p}(\R^{d})に対して,

\begin{align*} \nor{\int_{\R}\frac{f(y)}{|x-y|^{d-s}}\,dx}_{L^{q}(\R^{d})} \lesssim\|f\|_{L^{p}(\R^{d})} \end{align*}

を満たす.

ここに,A(f)\lesssim B(f)とは,あるC>0が存在して,任意のfに対してA(f)\le C B(f)が成り立つことをいう.

主張と証明

準備ができたので,Strichartz評価の主張を紹介し,証明をする.

[Strichartz評価] (q_0,r_0), (q_1,r_1)\in\R^2を許容指数対,t_0\in\Rとし,区間I\subset\R_{t}t_0\in\overline{I}を満たすとする.\varphi\in L^2_{x}(\R^{d})F\in L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})に対して,次が成り立つ.

\begin{align*} &\nor{e^{it\Delta}\varphi}_{L^{q_0}_{t}L^{r_0}_{x}(I\times\R^{d})} \lesssim\|\varphi\|_{L^2(\R^{d})} \dots(\star), \\&\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q_0}_{t}L^{r_0}_{x}(I\times\R^{d})} \lesssim\|F\|_{L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})} \dots(\star\star) \end{align*}

端点(r=\frac{2d}{d-2})の場合の証明だけは別に考える必要があり,本稿では端点評価は証明せずにr\in[2,\frac{2d}{d-2})の場合のみ示す.

[Strichartz評価の端点以外の証明]

まず,[Strichartz評価]の(\star\star)を示す.

Minkowskiの不等式,分散型評価,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式から,

\begin{align*} &\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q_1}_{t}L^{r_1}_{x}(I\times\R^{d})} \\\le&\nor{\int_{t_0}^{t}\nor{e^{i(t-s)\Delta}F(s)}_{L^{r_1}_{x}(\R^{d})}\,ds}_{L^{q_1}_{t}(I)} \\\le&4\pi\max_{T_{\in\{T_{-},T_{+}\}}}\nor{\int_{t_0}^{T}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_1})}\|F(s)\|_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}\,ds}_{L^{q_1}_{t}(I)} \\\lesssim&\max\brb{\nor{\|F(t)\|_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}}_{L^{q_1'}_{t}(t_0,T_{+})},\nor{\|F(t)\|_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}}_{L^{q_1'}_{t}(T_{-},t_0)}} \\\lesssim&\|F\|_{L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R)}\dots(*) \end{align*}

が成り立つ.

次に,r_0\in[2,r_1)の場合と,r_1\in[2,r_2)の場合に分けて考える.

[1] r_0\in[2,r_1)のとき

分散型評価,\{e^{it\Delta}\}_{t\in\R}のユニタリー性,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式より,

\begin{align*} &\nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^2_{x}(\R^{d})}^2 \\=&\anb{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s_1)\Delta}F(s_1)\,ds_1,\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s_2)\Delta}F(s_2)\,ds_2} \\=&\int_{\R^{d}}\bra{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s_1)\Delta}F(s_1)\,ds_1}\overline{\bra{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s_2)\Delta}F(s_2)\,ds_2}}\,dx \\=&\int_{\R^{d}}\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s_1)\Delta}e^{i(s_2-t)\Delta}F(s)\overline{F(s_2)}\,ds_2ds_1dx \\=&\int_{\R^{d}}\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t}e^{i(s_2-s_1)\Delta}F(s_1)\overline{F(s_2)}\,ds_2ds_1dx \\\le&\int_{t_0}^{t}\int_{t_0}^{t}\nor{e^{i(s_2-s_1)\Delta}F(s_1)}_{L^{r_1}_{x}(\R^{d})}\nor{\overline{F(s_2)}}_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}\,ds_2ds_1 \\\le&\int_{t_0}^{t}\bra{\int_{t_0}^{t}|s_2-s_1|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_1})}\|F(s_1)\|_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}\,ds_1}\nor{F(s_2)}_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}\,ds_2 \\\le&\nor{\int_{t_0}^{t}|s_2-s_1|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_1})}\|F(s_1)\|_{L^{r_1'}_{x}(\R^{d})}\,ds_1}_{L^{q_1}_{s_2}(I)}\nor{F}_{L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})} \\\lesssim&\|F\|_{L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})}^2 \end{align*}

が成り立つ.よって,

\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}_{t}L^2_{x}(I\times\R^{d})} \lesssim&\nor{\|F\|_{L^{q_1'}_{s_2}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})}}_{L^{\infty}_{t}(I)} \\=&\nor{F}_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})}\dots(**) \end{align*}

を得る.この式(**)と式(*)から,Riesz-Thorinの補間定理を用いて,[Strichartz評価]の(\star\star)を得る.

[2] r_1\in[2,r_0)のとき

T_{\pm}\in\RT_{-}:=\inf{I}, T_{+}:=\sup{I}で定める.任意のg\in C^{\infty}_{c}(I\times\R^{d})に対して,(**)を用いれば

\begin{align*} &\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\bra{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}\overline{g(t)}\,dxdt} \\=&\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\overline{g(t)}\,dsdxdt} \\\le&\left|\int_{t_0}^{T_{+}}\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\int_{s}^{T_{+}}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds\right. \\&\left.-\int_{T_{-}}^{t_0}\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\int_{T_{-}}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds\right| \\\le&\abs{\int_{t_0}^{T_{+}}\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\int_{s}^{T_{+}}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds} \\&+\abs{\int_{T_{-}}^{t_0}\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\int_{T_{-}}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds} \\\le&\nor{\int_{a}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^{\infty}_{t}L^2_{x}([t_0,T_{+}]\times\R^{d})}\|F\|_{L^1_{t}L^2_{x}([t_0,T_{+}]\times\R^{d})} \\&+\nor{\int_{b}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^{\infty}_{t}L^2_{x}([T_{-},t_0]\times\R^{d})}\|F\|_{L^1_{t}L^2_{x}([T_{-},t_0]\times\R^{d})} \\\lesssim&\|g\|_{L^{q_1'}_{t}L^{r_1'}_{x}(I\times\R^{d})}\|F(s)\|_{L^1_{t}L^2_{x}(I\times\R^{d})} \end{align*}

を得る.したがって,双対性の議論により,

\begin{align*} \nor{\int_{t_0}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s,\cdot)\,ds}_{L^{q_1}_{t}L^{r_1}_{x}(I\times\R^{d})} \lesssim\|F\|_{L^1_{t}L^2_{x}(I\times\R^{d})} \end{align*}

を得る.

この式と式(*)から,Riesz-Thorinの補間定理を用いて,[Strichartz評価]の(\star\star)を得る.

次に,[Strichartz評価]の(\star)を示す.

任意のg\in C^{\infty}_{c}(I\times\R^{d})に対して,

\begin{align*} \abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}e^{it\Delta}\varphi\overline{g(t)}\,dxdt} =&\abs{\int_{I}\int_{\R^{d}}\overline{e^{-it\Delta}g(t)}\varphi\,dxdt} \\=&\abs{\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}\varphi\,dx} \\\le&\nor{\overline{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}_{L^2_{x}(\R^{d})}\|\varphi\|_{L^2_{x}(\R^{d})} \\=&\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_{x}(\R^{d})}\|\varphi\|_{L^2_{x}(\R^{d})} \end{align*}

が成り立ち,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式より

\begin{align*} \\&\nor{\int_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^2_{x}(\R^{d})}^2 \\=&\anb{\int_{I}e^{-it_1\Delta}g(t_1)\,dt_1,\int_{I}e^{-it_2\Delta}g(t_2)\,dt_2} \\=&\int_{\R^{d}}\int_{I}\int_{I}e^{i(t_2-t_1)\Delta}g(t_1)\overline{g(t_2)}\,dt_2dt_1dx \\\le&\int_{I}\int_{I}\nor{e^{i(t_2-t_1)\Delta}g(t_1)}_{L^{r}_{x}(\R^{d})}\nor{\overline{g(t_2)}}_{L^{r'}_{x}(\R^{d})}\,dt_2dt_1 \\\lesssim&\int_{I}\bra{\int_{I}|t_2-t_1|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(t_1)\|_{L^{r'}_{x}(\R^d)}\,dt_1}\nor{g(t_2)}_{L^{r'}_{x}(\R^d)}\,dt_2 \\\le&\nor{\int_{I}|t_2-t_1|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(t_1)\|_{L^{r'}_{x}(\R^{d})}\,dt_1}_{L^{q}_{t}(I)}\|g\|_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})} \\\le&\|g\|_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})}^2 \end{align*}

が成り立つから,双対性の議論により[Strichartz評価]の(\star)を得る.

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