【SPONSORED LINK】

シュレディンガー方程式のストリッカーツ評価の導出

      

本稿では,Schrödinger(シュレディンガー)方程式に関する不等式評価であるStrichartz評価とその証明を解説する.

Strichartz(ストリッカーツ)評価は,波動方程式に関する不等式評価であるStrichartz-Brenner評価に対応し,歴史的にはStrichartz-Brenner評価の方が古い.

Strichartz評価の証明のためには,「自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}の分散型評価(分散評価)」と「Hardy-Littlewood-Sobolervの不等式」を用いることになる.

なお,自由Schrödinger発展作用素e^{it\Delta}は,初期値u_0に対して自由Schrödinger方程式

i\partial_t{u}+\Delta{u}=0

の解e^{it\Delta}u_0を表す作用素e^{it\Delta}のことである.

【参考記事:自由シュレディンガー方程式の解の性質

Strichartz評価はSchrödinger方程式の評価をする上で,非常に重要な役割を果たす.

【SPONSORED LINK】

分散型評価

初期値u_{0}に対するSchr\”odinger方程式の基本解e^{it\Delta}u_{0},すなわち自由Schr\”odinger方程式

i\partial_{t}u(t,x)+\Delta_{x}u(t,x)=0

の解e^{it\Delta}u_{0}を与える作用素e^{it\Delta}をSchrödinger自由発展作用素という.

ここに,u:\R_{t}\times\R_{x}^{d}\to\C\partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t}\Delta_{x}=\sum_{k=1}^{d}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}である.

e^{it\Delta}u_0を具体的に表せば,

e^{it\Delta}u_{0}
=\mathcal{F}\sqb{e^{-it|\xi|^2}\hat{u_0}(\xi)}(x)
=\f{1}{(4\pi it)^{d/2}}\dint_{\R^d}e^{-\frac{|x-y|^2}{4it}}u_0(y)\,dy

である.

【参考記事:自由シュレディンガー方程式の解の性質

e^{it\Delta}の時空ノルムに関する基本的な不等式評価に分散型評価がある.e^{it\Delta}の分散型評価のある場合は容易に証明することができるが,残りの場合はRiesz-Thorinの補間定理を用いることになる.

本稿の主目的であるStrichartz評価は分散型評価をもとにHardy-Littelewood-Sobolevの不等式を用いることで導かれる.

以下,p\ge1に対して,pのHölder共役p'\ge1\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1を満たすものとして定義する.

以下では,e^{it\Delta}の分散型評価を[L^1L^{\infty}評価],[L^2L^2評価(L^{2}等長性)],[L^{p}L^{p'}評価]の3つに分けて示す.

なお,[L^1L^{\infty}評価]のみを分散型評価ということもある.

L1-L評価

e^{it\Delta}の[L^1L^{\infty}評価]は次の通りである.

[L^1L^{\infty}評価] 任意のu\in L^{1}(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{\infty}(\R^{d})}\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}}\|\varphi\|_{L^{1}(\R^{d})}

[証明]

\abs{\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}}=1より,

\|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{\infty}(\R^{d})}
=\nor{\f{1}{(4\pi it)^{d/2}}\dint_{\R^d}\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}\varphi(y)\,dy}_{L^{\infty}(\R^{d})}
\le\sup_{x\in\R^{d}}\bra{\frac{1}{|4\pi it|^{d/2}}\dint_{\R^N}\abs{\exp\bra{-\frac{|x-y|^2}{4it}}}|\varphi(y)|\,dy}
=\sup_{x\in\R^{d}}\bra{\f{1}{(4\pi t)^{d/2}}\dint_{\R^d}|\varphi(y)|\,dy}
=\f{1}{(4\pi t)^{d/2}}\|\varphi\|_{L^{1}(\R^{d})}

が従う.

[証明終]

L2-L2評価(L2等長性)

e^{it\Delta}の[L^2L^2評価(L^{2}等長性)]は次の通りである.

[L^2L^2評価(L^{2}等長性)] 任意のu\in L^{2}(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{2}(\R^{d})}=\|\varphi\|_{L^{2}(\R^{d})}

[証明]

Plancherelの等式と\abs{\exp\bra{-it|\xi|^{2}}}=1より,

\|e^{it\Delta}\varphi\|_{L^{2}(\R^{d})}
=\nor{\mathcal{F}^{-1}\sqb{\exp\bra{-it|\xi|^{2}}\hat{\varphi}(\xi)}(x)}_{L^{2}_{x}(\R^{d})}
=\nor{\exp\bra{-it|\xi|^{2}}\hat{\varphi}(\xi)}_{L^{2}_{\xi}(\R^{d})}
=\nor{\hat{\varphi}(\xi)}_{L^{2}_{\xi}(\R^{d})}
=\nor{\varphi}_{L^{2}(\R^{d})}

が従う.

[証明終]

Lp-Lp’評価

[L^1L^{\infty}評価]と,[L^2L^2評価(L^{2}等長性)]から,Riesz-Thorinの複素補間定理を使うことにより, p\in(2,\infty)に対しても[L^{p}L^{p'}評価]が得られる.

これらを合わせたp\in[2,\infty]に対する[L^{p}L^{p'}評価]を「e^{it\Delta}の分散型評価」という.(L^1L^{\infty}評価のみを分散型評価ということもある.)

さて,Riesz-Thorinの複素補間定理は次の通りである.

p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\in[1,\infty]と測度空間(X,\mathcal{A},\mu),(Y,\mathcal{B},\nu)を考える.

i=1,2に対して,線型作用素TL^{p_{i}}(X)からL^{q_{i}}(Y)への有界作用素であるとし,作用素ノルムをM_{i}とする:

M_i:=\|T\|_{L^{p_{i}}(X)\to L^{q_{i}}(Y)}=\sup\limits_{u\in L^{p_{i}}(X)\setminus\{0\}}\dfrac{\|Tu\|_{L^{q_{i}}(Y)}}{\|u\|_{L^{p_{i}}(X)}}

このとき,任意の\theta\in(0,1)に対して,p_{\theta},q_{\theta}

\dfrac{1}{p_{\theta}}:=\dfrac{1-\theta}{p_{0}}+\dfrac{\theta}{p_{1}}
\dfrac{1}{q_{\theta}}:=\dfrac{1-\theta}{q_{0}}+\dfrac{\theta}{q_{1}}

と定めると,TL^{p_{\theta}}(X)からL^{q_{\theta}}(Y)への有界作用素で,このときの作用素ノルムM_{\theta}M_{0}^{1-\theta}M_{1}^{\theta}以下である:

\|T\|_{L^{p_{i}}(X)\to L^{q_{i}}(Y)}\le\|T\|_{L^{p_{0}}(X)\to L^{q_{0}}(Y)}^{1-\theta}\|T\|_{L^{p_{1}}(X)\to L^{q_{1}}(Y)}^{\theta}

【参考記事:リース-ソリンの複素補間定理とその証明

e^{it\Delta}L^{p}L^{p'}評価は以下の通りである.

[L^{p}L^{p'}評価] p\in[2,\infty]u\in L^{p}(\R^{d})に対して,次が成り立つ:

\|e^{it\Delta}u_{0}\|_{L^{q}(\R^{d})}\le\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}\|u_{0}\|_{L^{p}(\R^{d})}

本稿ではRiesz-Thorinの複素補間定理を認めて,定理1.4を示す.

[定理1.4の証明]

p=1, \inftyの場合はすでに示した:

L^1L^{\infty}評価からe^{it\Delta}L^{1}(\R^{d})からL^{\infty}(\R^{d})への有界作用素であり,

\|e^{it\Delta}\|_{L^{1}(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})}\le(4\pi|t|)^{-\frac{d}{2}}

が成り立つ.

また,L^2L^2評価(L^{2}等長性)からe^{it\Delta}L^{2}(\R^{d})からL^{2}(\R^{d})への有界作用素であり,

\|e^{it\Delta}\|_{L^{2}(\R^{d})\to L^{2}(\R^{d})}=1

が成り立つ.

ここで,任意のp\in(2,\infty)に対して,ある\theta\in(0,1)が存在して

\dfrac{1}{p}=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1-\theta}{\infty}
\iff\theta=\dfrac{2}{p}

が成り立つ.このとき,

\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1-\theta}{1}
=1-\dfrac{\theta}{2}
=1-\bra{\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1-\theta}{\infty}}
=1-\dfrac{1}{p}
=\dfrac{1}{q}

だから,Riesz-Thorinの複素補間定理より,e^{it\Delta}L^{p'}(\R^{d})からL^{p}(\R^{d})への有界作用素で,

\|e^{it\Delta}\|_{L^{p}(\R^{d})\to L^{q}(\R^{d})}
\le\|e^{it\Delta}\|_{L^{1}(\R^{d})\to L^{\infty}(\R^{d})}^{1-\theta}\|e^{it\Delta}\|_{L^{2}(\R^{d})\to L^{2}(\R^{d})}^{\theta}
\le\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}\bra{1-\theta}}\cdot1^{\theta}
=\bra{4\pi|t|}^{-\frac{d}{2}\bra{1-\frac{2}{p}}}
=\bra{4\pi|t|}^{-\bra{\frac{d}{2}-\frac{d}{p}}}

である.よって,[L^{p}L^{p'}評価]が従う.

Strichartz評価

Strichartz評価を述べる前に,[(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)]と[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式]を準備する.

準備

Strichartz評価を述べるためには,(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)について説明しなければならない.

(Strichartzの)許容指数対を次で定義する.

(q,r)\in\R^{2}が(Strichartzの)許容指数対(admissible pair)であるとは,次を満たすことをいう:

\dfrac{2}{q}=\dfrac{d}{2}-\dfrac{d}{r}

かつ

r\in\begin{cases} [2,\frac{2d}{d-2}] &(d\ge3)\\ [2,\infty) &(d=2)\\ [2,\infty] &(d=1)\\ \end{cases}

また,組(\alpha',\beta')\in\R^{2}が許容指数対であるとき,(\alpha,\beta)を双対許容指数対(dual-admissible pair)という.

Strichartz評価の証明のために,次のHardy-Littlewood-Sobolevの不等式を用いる.証明は省略する.

[Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式] \R^{d}において,指数p,q,s

p,q\in(1,\infty)
0<s<\frac{d}{p}
s-\frac{d}{p}=-\frac{d}{q}

を満たすとする.このとき,f \in L^{p}(\R^{d})に対して,

\nor{\dint_{\R}\frac{f(y)}{|x-y|^{d-s}}\,dx}_{L^{q}(\R^{d})}\lesssim\|f\|_{L^{p}(\R^{d})}

を満たす.

ここに,A(f)\lesssim B(f)とは,あるC>0が存在して,任意のfに対してA(f)\le C B(f)が成り立つことをいう.

主張と証明

準備ができたので,Strichartz評価の主張を紹介し,証明をする.

[Strichartz評価] (q_{0},r_{0}), (q_{1},r_{1})\in\R^{2}を許容指数対,t_{0}\in\Rとし,区間I\subset\R_{t}t_{0}\in\overline{I}を満たすとする.\varphi\in L^{2}_{x}(\R^{d})F\in L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})に対して,次が成り立つ.

\nor{e^{it\Delta}\varphi}_{L^{q_{0}}_{t}L^{r_{0}}_{x}(I\times\R^{d})}\lesssim\|\varphi\|_{L^{2}(\R^{d})}……(\star)
\nor{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q_{0}}_{t}L^{r_{0}}_{x}(I\times\R^{d})}\lesssim\|F\|_{L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})}……(\star\star)

ただし,端点(r=\frac{2d}{d-2})の場合の証明だけは別に考える必要がある.

本稿では端点評価は証明せずに,r\in[2,\frac{2d}{d-2})の場合のみ示す.

[Strichartz評価の端点以外の証明]

まず,(\star\star)を示す.

Minkowskiの不等式,分散型評価,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式から,

\nor{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{q_{1}}_{t}L^{r_{1}}_{x}(I\times\R^{d})}
\le\nor{\dint_{t_{0}}^{t}\nor{e^{i(t-s)\Delta}F(s)}_{L^{r_{1}}_{x}(\R^{d})}\,ds}_{L^{q_{1}}_{t}(I)}
\le4\pi\max_{T_{\in\{T_{-},T_{+}\}}}\nor{\dint_{t_{0}}^{T}|t-s|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_{1}})}\|F(s)\|_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}\,ds}_{L^{q_{1}}_{t}(I)}
\lesssim\max\cub{\nor{\|F(t)\|_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}}_{L^{q_{1}'}_{t}(t_{0},T_{+})},\nor{\|F(t)\|_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}}_{L^{q_{1}'}_{t}(T_{-},t_{0})}}
\lesssim\|F\|_{L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R)}……(*)

が成り立つ.

次に,r_{0}\in[2,r_{1})の場合と,r_{1}\in[2,r_{2})の場合に分けて考える.

[1] r_{0}\in[2,r_{1})のとき

分散型評価,\{e^{it\Delta}\}_{t\in\R}のユニタリー性,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式より,

\nor{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{2}_{x}(\R^{d})}^{2}
=\anb{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s_{1})\Delta}F(s_{1})\,ds_{1},\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s_{2})\Delta}F(s_{2})\,ds_{2}}
=\dint_{\R^{d}}\bra{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s_{1})\Delta}F(s_{1})\,ds_{1}}\overline{\bra{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s_{2})\Delta}F(s_{2})\,ds_{2}}}\,dx
=\dint_{\R^{d}}\dint_{t_{0}}^{t}\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s_{1})\Delta}e^{i(s_{2}-t)\Delta}F(s)\overline{F(s_{2})}\,ds_{2}ds_{1}dx
=\dint_{\R^{d}}\dint_{t_{0}}^{t}\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(s_{2}-s_{1})\Delta}F(s_{1})\overline{F(s_{2})}\,ds_{2}ds_{1}dx
\le\dint_{t_{0}}^{t}\dint_{t_{0}}^{t}\nor{e^{i(s_{2}-s_{1})\Delta}F(s_{1})}_{L^{r_{1}}_{x}(\R^{d})}\nor{\overline{F(s_{2})}}_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}\,ds_{2}ds_{1}
\le\dint_{t_{0}}^{t}\bra{\dint_{t_{0}}^{t}|s_{2}-s_{1}|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_{1}})}\|F(s_{1})\|_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}\,ds_{1}}\nor{F(s_{2})}_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}\,ds_{2}
\le\nor{\dint_{t_{0}}^{t}|s_{2}-s_{1}|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r_{1}})}\|F(s_{1})\|_{L^{r_{1}'}_{x}(\R^{d})}\,ds_{1}}_{L^{q_{1}}_{s_{2}}(I)}\nor{F}_{L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})}
\lesssim\|F\|_{L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})}^{2}

が成り立つ.よって,

\nor{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}_{L^{\infty}_{t}L^{2}_{x}(I\times\R^{d})}
\lesssim\nor{\|F\|_{L^{q_{1}'}_{s_{2}}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})}}_{L^{\infty}_{t}(I)}
=\nor{F}_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})}……(**)

を得る.この式と(*)から,Riesz-Thorinの補間定理を用いて,(\star\star)を得る.

[2] r_{1}\in[2,r_{0})のとき

T_{-}:=\inf{I}T_{+}:=\sup{I}とする.任意のg\in C^{\infty}_{c}(I\times\R^{d})に対して,(**)を用いれば

\abs{\dint_{I}\int_{\R^{d}}\bra{\int_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\,ds}\overline{g(t)}\,dxdt}
=\abs{\dint_{I}\int_{\R^{d}}\int_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s)\overline{g(t)}\,dsdxdt}
\le\left|\dint_{t_{0}}^{T_{+}}\int_{\R^{d}}\overline{\bra{\dint_{s}^{T_{+}}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds\right.
\left.-\dint_{T_{-}}^{t_{0}}\dint_{\R^{d}}\overline{\bra{\dint_{T_{-}}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds\right|
\le\abs{\dint_{t_{0}}^{T_{+}}\dint_{\R^{d}}\overline{\bra{\dint_{s}^{T_{+}}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds}
+\abs{\dint_{T_{-}}^{t_{0}}\dint_{\R^{d}}\overline{\bra{\dint_{T_{-}}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}}F(s)\,dxds}
\le\nor{\dint_{a}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^{\infty}_{t}L^{2}_{x}([t_{0},T_{+}]\times\R^{d})}\|F\|_{L^{1}_{t}L^{2}_{x}([t_{0},T_{+}]\times\R^{d})}
+\nor{\dint_{b}^{s}e^{i(s-t)\Delta}g(t)\,dt}_{L^{\infty}_{t}L^{2}_{x}([T_{-},t_{0}]\times\R^{d})}\|F\|_{L^{1}_{t}L^{2}_{x}([T_{-},t_{0}]\times\R^{d})}
\lesssim\|g\|_{L^{q_{1}'}_{t}L^{r_{1}'}_{x}(I\times\R^{d})}\|F(s)\|_{L^{1}_{t}L^{2}_{x}(I\times\R^{d})}

を得る.したがって,双対性の議論により,

\nor{\dint_{t_{0}}^{t}e^{i(t-s)\Delta}F(s,\cdot)\,ds}_{L^{q_{1}}_{t}L^{r_{1}}_{x}(I\times\R^{d})}
\lesssim\|F\|_{L^{1}_{t}L^{2}_{x}(I\times\R^{d})}

を得る.

【参考記事:双対性議論(duality argument)について

この式と(*)から,Riesz-Thorinの補間定理を用いて,(\star\star)を得る.

次に,(\star)を示す.任意のg\in C^{\infty}_{c}(I\times\R^{d})に対して,Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式より

\abs{\dint_{I}\dint_{\R^{d}}e^{it\Delta}\varphi\overline{g(t)}\,dxdt}
=\abs{\dint_{I}\dint_{\R^{d}}\overline{e^{-it\Delta}g(t)}\varphi\,dxdt}
=\abs{\dint_{\R^{d}}\overline{\bra{\dint_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}\varphi\,dx}
\le\nor{\overline{\dint_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}}_{L^{2}_{x}(\R^{d})}\|\varphi\|_{L^{2}_{x}(\R^{d})}
=\nor{\dint_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^{2}_{x}(\R^{d})}\|\varphi\|_{L^{2}_{x}(\R^{d})}

\nor{\dint_{I}e^{-it\Delta}g(t)\,dt}_{L^{2}_{x}(\R^{d})}^{2}
=\anb{\dint_{I}e^{-it_{1}\Delta}g(t_{1})\,dt_{1},\int_{I}e^{-it_{2}\Delta}g(t_{2})\,dt_{2}}
=\dint_{\R^{d}}\dint_{I}\int_{I}e^{i(t_{2}-t_{1})\Delta}g(t_1)\overline{g(t_2)}\,dt_{2}dt_{1}dx
\le\dint_{I}\dint_{I}\nor{e^{i(t_{2}-t_{1})\Delta}g(t_{1})}_{L^{r}_{x}(\R^{d})}\nor{\overline{g(t_{2})}}_{L^{r'}_{x}(\R^{d})}\,dt_{2}dt_{1}
\le\nor{\dint_{I}|t_{2}-t_{1}|^{-(\frac{d}{2}-\frac{d}{r})}\|g(t_{1})\|_{L^{r'}_{x}(\R^{d})}\,dt_{1}}_{L^{q'}_{t}(I)}\|g\|_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})}
\le\|g\|_{L^{q'}_{t}L^{r'}_{x}(I\times\R^{d})}^{2}

が成り立つから,双対性の議論により(\star)を得る.

関連記事

【良いと思ったらシェアを!】

最後まで読んでいただきありがとうございました!

良ければシェアボタンから共有をお願いします!

コメント

コメントを残す

*

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください