オススメの教科書｜関数解析（黒田成俊著，共立出版）

共立出版から発刊されている関数解析（黒田成俊著）は関数解析の入門書です．

大学の関数解析の授業で教科書として使用されることもよくあり，個人的には関数解析の入門書としては文句なしの好著だと思っています．

証明や具体例が丁寧に解説されており，きちんと段階を踏んで学んでいきやすい教科書です．

また章末問題も少なくなくレベル別に問題が並んでいるので，どこまで解けるかで自分の理解度を測ることができます．

このように和書の関数解析の教科書として分かりやすくまとめられており，関数解析を初めて学ぶ学生はもちろん関数解析の知識を整理したい方にもオススメできる一冊です．

必要な知識

集合論

集合論は数学のベースとなる分野であり，集合論を学ばずして数学を語ることはできません．

関数解析は集合と写像を当然のように用いる分野なので，なんらかの本で集合論を学んでおく必要があります．

例えば，集合論の教科書として以下の本は超ロングセラーの好著でオススメです．

オススメ入門書｜集合・位相入門（松坂和夫著，岩波書店）

集合論・位相空間論の入門書です．集合論は数学のベースとなる分野で，本書では具体例を用いての説明が多く，初学者には非常に読みやすいのが嬉しい点です．また，章末問題も多いので，理解を深める助けになります．

線形代数

関数解析は無限次元の線形代数という側面をもち，関数解析を学ぶためには線形代数の知識は必須です．

必要な線形代数の知識は本書の序盤に簡単にまとめてあるので，それを参照して読み進めることは可能です．

しかし，線形代数は多くの分野で必要になるので別の教科書で体系的に学んでおくことが望ましいところです．

例えば，線形代数の教科書として以下の本は読みやすく，きちんと線形代数を学びたい人にはオススメです．

オススメの教科書｜線型代数入門（齋藤正彦著，東京大学出版会）

本書は厳密で詳しく書かれており，線形代数を理論からしっかり理解するための教科書です．そのため，数学系や理論系の学生で線形代数を学ぶなら本書は良い教科書と言えます．

ルベーグ積分論

関数解析で用いられる積分はリーマン積分ではなくルベーグ積分なので，ルベーグ積分の理論は知っておかなければなりません．

実際，本書でもルベーグ積分は基本的な具体例として扱われます．

ただ本書の巻末にルベーグ積分が簡潔にまとめられているので，ルベーグ積分を学んだことがなくても必要なときに巻末を参照して読み進めることもできます．

実際，私はルベーグ積分を学ぶ前に本書を読み始めたのですが，ルベーグ積分については巻末を参照することで読み進めることができました．

しかし，これはあくまで邪道で，本来は前もってルベーグ積分を知っておく方がよく，より早く理解できる部分も多いです．

例えば，ルベーグ積分の教科書として以下の本はリーマン積分との違いから丁寧に書かれており，きちんとルベーグ積分に入門したい人にオススメです．

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良い点と気を付けたい点

良い点

証明や例の説明が丁寧．
ルベーグ積分の知識がなくても（巻末の付録を参照すれば）読み進めることができる．
最初に線形空間→ノルム空間→バナッハ空間と説明が進むので，初学者がつまずきやすい導入部をしっかりフォローしている．
「証明は他の本に譲る」などがほとんどなく，ほとんどこの一冊だけで完結できる．
半群理論といった偏微分方程式の基礎なども載っている．

気を付けたい点

記号が致命的に読みにくい箇所がある（が，本書においてはほとんど誤解の恐れはない）．
第１２章は例が少ない（著者によると「すでに予定の紙数に達しているが，（中略）この章で大急ぎの解説を試みる」とのこと）．

全体の感想と使い方

関数解析の主戦場はバナッハ空間やヒルベルト空間といった完備性をもった空間です．

第１章では線形代数の復習から完備性の説明に移り関数解析の土壌を整備していくのですが，簡潔でありながら丁寧な説明ですっきりと読み始めることができます．

続いて第２章では関数解析でよく用いられるルベーグ空間（$L^p$空間）の定義と基本性質が解説され，関数解析を進めていくための準備が整います．

この部分ではルベーグ積分の知識が必要となるので，ルベーグ積分をあまり知らない学習者にとっては少し足踏みするところかもしれませんが，ルベーグ積分の基礎事項が簡単にまとめられている巻末を参照しながらでも進めることができます．

第３章以降で本格的に関数解析の本論に入っていくのですが，その後も引き続き丁寧な説明が続きます．

各章末の問題はA問題・B問題・C問題からなっており，実際に解いてみることで自身の理解度を深めるとともに測ることもできます．

感覚的にはA問題だけでも理解の手助けになり，B問題で理解の後の慣れが養われます．C問題は難問も多くあります．

なお，著者が「まえがき」で「Cは篤志家がじっくり考えてほしい問題」と書いているように，C問題は解けなくても問題はないレベルとなっています．

初学者だけではなく，既習者も是非手元に置いておきたい教科書です．

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オススメの教科書｜関数解析（黒田成俊著，共立出版）

目次

第１章：Banach空間・Hilbert空間

第２章：関数空間

第３章：Hilbert空間の完全正規直交系

第４章：Fourier級数

第５章：Fourier変換

第６章：Sobolev空間

第７章：線形作用素

第８章：線形汎関数と共役空間

第９章：レゾルベント・スペクトル

第１０章：線形汎関数の半群

第１１章：コンパクト作用素，Fredholm作用素

第１２章：自己共役作用素のスペクトル分解定理