書評|関数解析(黒田成俊 著/共立出版)

この記事では 関数解析(黒田成俊 著/共立出版) を紹介をします.

本書は関数解析の入門書であり,大学の関数解析の授業で教科書として使用されることもよくあります.

例が豊富で丁寧に解説されており,また章末問題も少なくないのでこの一冊で多くの内容が学べます.

このように和書の関数解析の教科書としてはポピュラーであり,初学者にとっても非常に読みやすい良著です.

関数解析を初めて学ぶ学生はもちろん関数解析の知識を整理したい方にもオススメできる一冊です.

目次

本書の目次は以下の通りです.

第1章:Banach空間・Hilbert空間

  1. 線形空間
  2. Banach空間
  3. Hilbert空間
  4. 部分空間
  5. 有限次元ノルム空間
  6. 線形作用素

第2章:関数空間

  1. まえおき
  2. $\mathcal{B}^m(\Omega)$
  3. $L^1(\Omega)$
  4. $L^{p}(\Omega)$
  5. $L^{\infty}(\Omega)$

第3章:Hilbert空間の完全正規直交系

  1. まえおき
  2. 正射影
  3. 正規直交系
  4. 完全正規直交系の存在

第4章:Fourier級数

  1. Fourier展開
  2. 完全性の証明
  3. Fourier級数とたたみこみ
  4. Poisson積分
  5. Poisson積分の調和性・正則性
  6. 単位円内で正則な関数,調和な関数
  7. Dirichlet問題・Neumann問題
  8. 多重Fourier級数

第5章:Fourier変換

  1. 定義と例
  2. Fourier変換とたたみこみ,Gauss総和法
  3. Fourier変換の$L^2$理論
  4. 上半平面のPoisson積分
  5. 上半平面で正則な関数,調和な関数

第6章:Sobolev空間

  1. まえおき
  2. 軟化作用素
  3. 一般化された導関数とSobolev空間$W^{m,p}(\Omega)$
  4. 一般化された導関数とSobolev空間$W^{m,p}(\Omega)$,続
  5. Sobolev空間$H^{s}(\R^n)$
  6. 一般領域におけるDirichlet問題

第7章:線形作用素

  1. 有界線形作用素
  2. 一般の線形作用素
  3. 線形作用素の例
  4. 閉作用素
  5. 一様有界性の原理
  6. 開写像原理,閉グラフ定理

第8章:線型汎関数と共役空間

  1. 定義と例,Rieszの定理
  2. Hahn-Banachの定理
  3. Hahn-Banachの定理の応用,共役作用素
  4. 第2共役空間
  5. 弱収束,汎弱収束
  6. 共役作用素
  7. 共役作用素の例

第9章:レゾルベント・スペクトル

  1. Neumann級数
  2. レゾルベント・スペクトル
  3. 実例

第10章:線型汎関数の半群

  1. まえおき
  2. ベクトル値関数
  3. 半群と生成作用素,簡単な例
  4. 半群と生成作用素,Hille-吉田の定理
  5. 熱伝導方程式の基本解

第11章:コンパクト作用素,Fredholm作用素

  1. 直和分解と補空間
  2. コンパクト作用素
  3. 作用素$I-K$
  4. Fredholm作用素と指数
  5. 安定性の定理
  6. コンパクト作用素のスペクトル理論
  7. コンパクト作用素の実例
  8. 自己共役なコンパクト作用素

第12章:自己共役作用素のスペクトル分解定理

  1. Stieltjes積分
  2. 調和関数に関する1つの表現定理
  3. 射影作用素と単位の分解
  4. 対称作用素,自己共役作用素
  5. スペクトル分解定理(レゾルベントの表現)
  6. 作用素解析とスペクトル分解定理

必要な知識

集合論

写像と集合は数学の言葉です.

本書を読むためにはこれらの知識は必須で,最初から当たり前に用いられます.

集合論の教科書として,以下の本はロングセラーの好著でオススメです.

線形代数

関数解析は無限次元の線形代数という側面をもち,関数解析を学ぶためには線形代数の知識は必須です.

必要な線形代数の知識は本書の序盤に簡単にまとめてあるので,それを参照して読み進めることは可能ですが,線形代数は多くの分野で必要になるので別の教科書で体系的に学ぶことが望ましいところです.

線形代数の教科書として,以下の本は教科書として非常によく用いられています.

Lebesgue(ルベーグ)積分論

関数解析で用いられる積分はRiemann積分ではなくLebesgue積分なので,Lebesgue積分の理論は知っておかなければなりません.

実際,本書でもLebesgue積分は基本的な具体例として扱われます.

ただ本書の巻末にLebesgue積分が簡潔にまとめられているので,Lebesgue積分を学んだことがなくても必要なときに巻末を参照して読み進めることもできます.

実際,私は学生のころ本書をLebesgue積分の理解が不十分なまま読み始めましたが,Lebesgue積分については巻末を参照することでLebesgue積分の基本的な定理の使い方をこの本を通して身に付けました.

良い点と悪い点

良い点

  • 証明や例が丁寧.
  • 章末問題が多い.
  • Lebesgue積分の知識がなくても(巻末の付録を参照すれば)読み進めることができる.
  • 最初に線形空間→ノルム空間→Banach空間と説明が進むので,初学者がつまずきやすい導入部をしっかりフォローしている.
  • 「証明は他の本に譲る」などが少なく,ほとんどこの一冊だけで完結できる.
  • 半群理論といった偏微分方程式の基礎なども載っている.

気をつけたい点

  • 他の分野への応用が少ない.しかし,本書は関数解析の入門書なので応用は他の分野の専門書で学ぶのが自然.
  • 第12章は例が少ない(著者によると「すでに予定の紙数に達しているが,表記の定理は大切な定理なので,この章で大急ぎの解説を試みる」とのこと).

全体の感想

関数解析の良著です.

特に前半は証明や例が非常に丁寧に書かれており,とても読みやすく理解が進みます.

その後の理解のために読者自身で考えるべき部分には多少の行間がありますが,無茶な行間ではなくその節の基本を理解していれば埋められる程度の行間です.

各章末の問題はA問題,B問題,C問題からなっており,この順に難しくなるように構成されています.

問題数も少なくなくA問題だけでも理解の手助けになります.さらに,B問題で「理解」の後の「慣れ」が養われ,C問題は難問も多くあります.

なお,著者が「まえがき」で「Cは篤志家がじっくり考えてほしい問題」と書いているように,C問題は解けなくても問題はないレベルとなっています.

大学1年程度の知識が身についていれば,読める学生もいると思います(実際,私は大学1年のときに先生に勧められて読みました).

最後までありがとうございました!

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