大雑把に言えば，添え字$m,n$が大きければ$a_n$と$a_m$の値がほとんど違わないような実数列$\{a_n\}$をコーシー列といいます．
この記事で説明するように実数列が収束列であることとコーシー列であることは同値であり，このことから実数列の収束を簡単に示せる場合があります．
この記事では
- コーシー列の定義
- コーシー列と収束列の関係
- コーシー列の応用例
- 完備性と有理数列の注意点
を順に説明します．
「微分積分学の基本」の一連の記事
微分積分学の参考文献
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微分積分学（笠原晧司 著）
数学科など理論系の学生向けの微分積分学の入門書です．基本的な例から発展的な例まで扱われており，バランスの良い教科書です．
コーシー列の定義
コーシー列の定義はε-N論法による実数列の収束の定義に似ているので，まずは実数列の収束の定義を復習しておきましょう．
実数列の収束（$\epsilon\text{-}N$論法）の定義の復習
実数列$\{a_n\}$が$\alpha\in\R$に収束するとは，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$N\in\N$が存在して，
が成り立つことをいう．また，このとき$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$や$a_n\to\alpha\ (n\to\infty)$などと表す．
言葉で説明すれば
- どんなに小さな正の数$\epsilon$を用意したとしても
- 十分大きな正の整数$N$をとれば
- $n>N$のとき$a_n$と$\alpha$の誤差$|a_n-\alpha|$を$\epsilon$よりも小さくできる
とき，実数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するというわけですね．
コーシー列の定義
数列がコーシー列であるとは次のように定義されます．
実数列$\{a_n\}$がコーシー列（Cauchy sequence）であるとは，任意の$\epsilon>0$に対して，ある$N\in\N$が存在して，
が成り立つことをいう．
言葉で説明すれば
- どんなに小さな正の数$\epsilon$を用意したとしても
- 十分大きな正の整数$N$をとれば
- $m,n>N$のとき$a_m$と$a_n$の誤差$|a_m-a_n|$を$\epsilon$よりも小さくできる
とき，実数列$\{a_n\}$をコーシー列であるというわけですね．
「どこに近付いているか」という情報がなくてもコーシー列が定義される点が収束列との大きな違いで，のちに説明するようにこれがコーシー列の便利さに繋がっています．
コーシー列の有界性
コーシー列の基本性質として，必ず有界であることが証明できます．
実数列$\{a_n\}$がコーシー列なら有界である．
$\{a_n\}$はコーシー列なので，ある$N\in\N$が存在して
が成り立つから，$n>N$なら
が成り立つ．よって，
とおくと，任意の$n$に対して$L\le a_n\le K$が成り立つ．よって，実数列$\{a_n\}$は有界である．
$(*)$はコーシー列の定義で$\epsilon=1$として得られるものですね（$\epsilon$は任意なので，$\epsilon=1$としても良いですね）．
添え字が$N$より大きいところで項は１より大きく違わないので，$n>N$なら$a_{n}$は$a_{N+1}$の誤差$\pm1$の範囲に収まっており有界です．また，$a_1,a_2,\dots,a_N$は有限個の項しかないので有界です．
このことから，コーシー列は全体で有界と言えるわけですね．
コーシー列と収束列の関係
冒頭で触れたように，実数列$\{a_n\}$に対しては
- $\{a_n\}$が実数に収束すること
- $\{a_n\}$がコーシー列であること
は同値です．このことを証明しましょう．
収束列ならコーシー列であることの証明
実数列$\{a_n\}$が収束列ならコーシー列である．
任意に$\epsilon>0$をとる．$\{a_n\}$は収束列なので，$\alpha:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$とおくと，ある$N\in\N$が存在して
が成り立つ．よって，$m,n>N$なら三角不等式と併せて
が成り立つ．よって，$\{a_n\}$はコーシー列である．
$m,n$が十分大きければ，$|a_m-\alpha|$, $|a_n-\alpha|$がどちらも十分に小さいことを利用して証明していますね．
この命題の証明には実数の性質を使っていないので，一般の距離空間上の点列に対しても同様の主張が成り立ちます．
コーシー列なら収束列であることの証明
先ほど証明したコーシー列の有界性とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を用いることで，実数列がコーシー列なら実数に収束することを証明することができます．
実数列$\{a_n\}$がコーシー列なら収束列である．
任意に$\epsilon>0$をとる．コーシー列の定義より，ある$N_1\in\N$が存在して
が成り立つ．
また，上の補題よりコーシー列$\{a_n\}$は有界だから，ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理より$\{a_n\}$の収束部分列$\{a_{n_k}\}_k$が存在する．ここで
とおく．このとき，ある$N_2\in\N$が存在して
が成り立つ．
よって，$N:=\max\{N_1,N_2\}$とおけば，$n>N$のとき三角不等式と併せて
が成り立つ．よって，$\{a_n\}$は収束列である．ただし，最後の不等号$<$においては
- 第１項では$n,n_{N+1}>N\ge N_1$より$(*)$
- 第２項では$n_{N+1}>N\ge N_2$より$(**)$
を用いた．
$m,n$が十分大きければ，$|a_m-\alpha|$, $|a_n-\alpha|$がどちらも十分に小さいことを利用して証明していますね．
この定理の証明には実数の性質（ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理）を使っているので，一般の距離空間上の点列に対しては成り立つとは限りません．
コーシー列の応用例
実数列についてコーシー列であることと収束列であることが同値なら，なぜわざわざコーシー列を定義する必要があるのか疑問に思う人がいるかもしれません．
しかし，実はコーシー列は次のような問題に応用することができます．
一般項$a_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dots+\dfrac{1}{n^2}$の実数列$\{a_n\}$が収束することを示せ．
数列$\{a_n\}$は実数列だからコーシー列であることを示せば収束することが分かる．
任意に$\epsilon>0$をとる．$m,n\in\N$を$m>n$とすると
が成り立つ．よって，$N=\lceil{\frac{1}{\epsilon}}\rceil$とおくと，$m,n>N$なら
となるから，$\{a_n\}$はコーシー列である．よって，$\{a_n\}$は収束する．
もし収束列であることを直接示そうとすると，極限$\alpha$を見つけてきて$|a_n-\alpha|$を考える必要があります．
一方，上のようにコーシー列は極限がどこにあろうが関係なく示すことができる点で，コーシー列であることの方が示しやすいことも多いです．
実は極限$\lim\limits_{n\to\infty}\bra{\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dots+\dfrac{1}{n^2}}$を求める問題はバーゼル問題とよばれており，先人の努力により現在では
であることが知られています．
しかし，$\abs{a_n-\frac{\pi^2}{6}}$を評価するのは大変ですから，上記のコーシー列を用いる解答のありがたみが分かりますね．
完備性と有理数列の注意点
ここまで説明してきた「実数列$\{a_n\}$がどんなコーシー列でも実数の極限値をもつ」という性質を実数全部の集合$\R$の完備性（completeness）といいます．
一方，実は有理数全部の集合$\Q$は完備性をもちません．すなわち，有理数列$\{a_n\}$がコーシー列であっても有理数の極限値をもつとは限りません．
実際，数列$\{a_n\}$の第$n$項を「$\sqrt{2}$の小数第$n$を切り捨ててできる実数」とすると，
と全ての項が有理数となるので$\{a_n\}$は有理数列です．しかし，この極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$は有理数ではありませんね．
このように，収束する有理数列$\{a_n\}$がコーシー列だからといっても，極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$は有理数とは限らないことに注意してください．
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