双対性議論(duality argument)について

$p \in [1, \infty)$ のとき

Lebesgue空間 $L^{p} (R^{N})$ の共役空間 $L^{p} (R^{N})^{*}$
Lebesgue空間 $L^{p^{'}} (R^{N})$

が同型であることはよく知られています(すなわち， $p^{'}$ は $p$ のHölder共役)．

この同型 $(L^{p})^{*} ≅ L^{p^{'}}$ について，次の $L^{p}$ 双対性が成り立ちます：任意の $v \in L^{p^{'}} (Ω)$ に対して

$\begin{array}{r} ‖ v ‖_{L^{p^{'}} (Ω)} = sup_{‖ u ‖_{L^{p} (Ω)} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | . \end{array}$

また，同様に $L^{p} L^{q}$ 空間でも双対性の等式が成り立ちます．

これらの双対性を用いる論法を双対性議論 (duality argument)などといいます．

この記事では，これら $L^{p}$ 双対性， $L^{p} L^{q}$ 双対性に関する等式を証明します．

準備
1. 定義関数
2. Hölder共役
$L^{p}$ 空間の双対性議論
1. $L^{p}$ 空間
2. $L^{p}$ 空間の双対性
$L^{p} L^{q}$ 空間の双対性
1. $L^{p} L^{q}$ 空間
2. $L^{p} L^{q}$ 空間の双対性

準備

ここでは本題に入る前に

定義関数
Hölder共役

の定義を確認しておきます．

定義関数

定義関数を以下で定義します．

[定義関数]　集合 $A$ とその部分集合 $B$ に対して

$\begin{array}{r} f (x) := {\begin{aligned} 1 & (x \in B) \\ 0 & (x \notin B) \end{aligned} \end{array}$

で定まる写像 $f : A \to R$ を $B$ 上の定義関数であるという．

この記事では $Ω \subset R^{N}$ に対して， $Ω$ 上の定義関数 $R^{N} \to R$ を $I_{Ω}$ と表します：

$\begin{array}{r} I_{Ω} (x) := {\begin{aligned} 1 & (x \in Ω), \\ 0 & (x \notin Ω) . \end{aligned} \end{array}$

Hölder共役

Hölder共役を定義します．

[Hölder共役]　 $p \in [1, \infty]$ に対して

$\begin{array}{r} \frac{1}{p^{'}} + \frac{1}{p} = 1 (⟺ p^{'} = {(1 - \frac{1}{p})}^{- 1}) \end{array}$

で定まる $p^{'} \in [1, \infty]$ を $p$ のHölder共役という．ただし， $p = 1$ のときは $p^{'} = \infty$ とみなし， $p = \infty$ のときは $p^{'} = 1$ とみなす．

例えば，

$p = 2$ のHölder共役 $p^{'}$ は $p^{'} = 2$
$p = 3$ のHölder共役 $p^{'}$ は $p^{'} = 3 / 2$
$p = 5 / 2$ のHölder共役 $p^{'}$ は $p^{'} = 5 / 3$

ですね．

$L^{p}$ 空間の双対性議論

まず $L^{p}$ 空間の双対性を説明します．

$L^{p}$ 空間

まずは $L^{p}$ 空間の定義を確認します．

[ $L^{p}$ 空間]　 $Ω \subset R^{N}$ を開集合とし， $p \in [1, \infty]$ とする．このとき，ノルム

$\begin{array}{r} ‖ u ‖_{p} = ‖ u ‖_{L^{p} (Ω)} := {\begin{aligned} {(\int_{Ω} | u (x) |^{p} d x)}^{1 / p} & (p \in [1, \infty)) \\ {ess \sup}_{x \in Ω} | u (x) | & (p = \infty) \end{aligned} \end{array}$

を備えたLebesgue(ルベーグ)可測な関数全部の空間を $L^{p} (Ω)$ と表す．

$L^{p} (Ω)$ は「ノルム $‖ \cdot ‖_{p}$ を備えた $p$ 乗Lebesgue可積分な関数全部の空間」ということもできますね．

$L^{p}$ 空間の双対性

冒頭で述べたように， $L^{p}$ 空間の双対性について以下が成り立つ．

[ $L^{p}$ 空間の双対性]　 $Ω \subset R^{N}$ を開集合とし， $p \in [1, \infty)$ とする．このとき，任意の $v \in L^{p^{'}} (Ω)$ に対して，

$\begin{array}{r} ‖ v ‖_{p^{'}} = sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \end{array}$

が成り立つ．ただし， $p^{'} \in (1, \infty]$ は $p$ のHölder共役である．

証明を表示

Hölderの不等式より，任意の $v \in L^{p^{'}} (Ω)$ に対して，

$\begin{array}{r} sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \leq sup_{‖ u ‖_{p} = 1} ‖ u ‖_{p} ‖ v ‖_{p^{'}} = ‖ v ‖_{p^{'}} \end{array}$

だから，あとは

$\begin{array}{r} sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \geq ‖ v ‖_{p^{'}} \end{array}$

を示せば[ $L^{p}$ 空間の双対性]が従う．これを

$p = 1$ のとき
$p \in (1, \infty)$ のとき

に分けて示す．

[１]　 $p = 1$ のとき， $p^{'} = \infty$ である．

任意の $ϵ > 0$ に対して，ある可測集合 $Ω^{'} \subset Ω$ で $0 < | Ω^{'} | < \infty$ を満たすものが存在して

$\begin{array}{r} x \in Ω^{'} ⟹ | v (x) | > ‖ v ‖_{\infty} - ϵ \end{array}$

が成り立つ．このとき， $w : Ω \to C$ を

$\begin{array}{r} w (x) := \frac{\overset{―}{v (x)}}{| Ω^{'} | | v (x) |} I_{Ω^{'}} (x) \end{array}$

で定めると

$\begin{array}{r} ‖ w ‖_{p} = \int_{Ω} | w (x) | d x = \frac{1}{| Ω^{'} |} \int_{Ω^{'}} d x = 1 \end{array}$

だから

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \\ \geq & | \int_{Ω} w (x) v (x) d x | = | \frac{1}{| Ω^{'} |} \int_{Ω^{'}} \frac{\overset{―}{v (x)} v (x)}{| v (x) |} d x | \\ = & \frac{1}{| Ω^{'} |} \int_{Ω^{'}} | v (x) | d x > \frac{1}{| Ω^{'} |} \int_{Ω^{'}} (‖ v ‖_{\infty} - ϵ) d x \\ = & ‖ v ‖_{\infty} - ϵ \end{aligned}$

となって， $ϵ$ の任意性から $sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \geq ‖ v ‖_{\infty}$ が従う．

[２]　 $p \in (1, \infty)$ のとき， $p^{'} \in (1, \infty)$ である．

$θ_{x} := \arg v (x)$ とし， $w : Ω \to C$ を $w (x) := \frac{| v (x) |^{p^{'} - 1}}{‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} / p}} e^{- i θ_{x}}$ で定める．このとき，

$\begin{aligned} ‖ w ‖_{p} = & {(\int_{Ω} | w (x) |^{p} d x)}^{1 / p} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} / p}} {(\int_{Ω} | v (x) |^{p (p^{'} - 1)} d x)}^{1 / p} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} / p}} {(\int_{Ω} | v (x) |^{p^{'}} d x)}^{1 / p} = 1 \end{aligned}$

だから

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p} = 1} | \int_{Ω} u (x) v (x) d x | \\ \geq & | \int_{Ω} w (x) v (x) d x | = | \frac{1}{‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} / p}} \int_{Ω} | v (x) |^{p^{'} - 1} e^{- i θ_{x}} | v (x) | e^{i θ_{x}} d x | \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} / p}} \int_{Ω} | v (x) |^{p^{'}} d x = ‖ v ‖_{p^{'}}^{p^{'} - \frac{p^{'}}{p}} = ‖ v ‖_{p^{'}} \end{aligned}$

が従う．

$L^{p} L^{q}$ 空間の双対性

次に， $L^{p} L^{q}$ 空間の双対性を説明します．

$L^{p} L^{q}$ 空間

まずは $L^{p} L^{q}$ 空間を定義します．

[ $L^{p} L^{q}$ 空間]　 $i = 1, 2$ に対して， $Ω_{i} \subset R^{N_{i}}$ を開集合とし， $p, q \in [1, \infty]$ とする．このとき，ノルム

$\begin{array}{r} ‖ u ‖_{L^{p} L^{q}} = ‖ u ‖_{p, q} := {\int_{Ω_{1}} {(\int_{Ω_{2}} | u (x_{1}, x_{2}) |^{q} d x_{2})}^{p / q} d x_{1}}^{1 / q} \end{array}$

が有限なLebesgue可測な関数全部の空間を $L^{p} L^{q} (Ω_{1} \times Ω_{2})$ や $L^{p} (Ω_{1}; L^{q} (Ω_{2}))$ などと表す．

この $L^{p} L^{q}$ 空間は，例えば時間発展する非線形偏微分方程式で

空間 $R^{n}$ に関して $L^{p}$
時間 $R$ に関して $L^{q}$

である場合などに用います．

シュレディンガー方程式の分散性｜基本解のLpLq評価の導出

シュレディンガー方程式の基本解に関してLpLq評価という基本的な不等式があります．LpLq評価はシュレディンガー方程式を考える上で重要なストリッカーツ評価のベースとなります．

$L^{p} L^{q}$ 空間の双対性

$L^{p}$ 空間の双対性と同様に， $L^{p} L^{q}$ 空間について以下が成り立つ．

[ $L^{p} L^{q}$ 空間の双対性]　 $i = 1, 2$ に対して， $Ω_{i} \subset R^{N_{i}}$ を開集合とし， $p_{i} \in [1, \infty)$ とする．このとき，任意の $v \in L^{p_{1}^{'}} (Ω_{1}; L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2}))$ に対して，

$\begin{array}{r} ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} = sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} \int_{Ω_{2}} u (x_{1}, x_{2}) v (x_{1}, x_{2}) d x_{2} d x_{1} | \end{array}$

が成り立つ．ただし， $p_{i}^{'} \in (1, \infty]$ は $p_{i}$ のHölder共役である( $i = 1, 2$ )．

証明を表示

$x := (x_{1}, x_{2})$ とする．Hölderの不等式より，任意の $v \in L^{p_{1}^{'}} (Ω_{1}; L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2}))$ に対して，

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ \leq & sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} \int_{Ω_{1}} | \int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2} | d x_{1} \\ \leq & sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} \int_{Ω_{1}} ‖ u (x_{1}, \cdot) ‖_{p_{1}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{p_{1}^{'}} d x_{1} \\ \leq & sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} ‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} = ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} \end{aligned}$

だから，あとは

$\begin{array}{r} sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \geq ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} \end{array}$

を示せば[ $L^{p} L^{q}$ 空間の双対性]が従う．これを

$p_{1} = p_{2} = 1$ のとき
$p_{1} = 1$ , $p_{2} \in (1, \infty)$ のとき
$p_{1}, p_{2} \in (1, \infty)$ のとき

に分けて証明する．

[１]　 $p_{1} = p_{2} = 1$ のとき， $p_{1}^{'} = p_{2}^{'} = \infty$ である．

任意の $ϵ > 0$ , $i \in {1, 2}$ に対して，ある可測集合 $Ω_{i}^{'} \subset Ω$ で $0 < | Ω_{i}^{'} | < \infty$ を満たすものが存在して， $x \in Ω_{1}^{'} \times Ω_{2}$ が成り立つなら

$\begin{array}{r} | v (x) | > ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{\infty} (Ω_{2})} - ϵ > ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} - 2 ϵ \end{array}$

が成り立つ．このとき， $w : Ω_{1} \times Ω_{2} \to C$ を

$\begin{array}{r} w (x) := \frac{\overset{―}{v (x)}}{| Ω_{1}^{'} | | Ω_{2}^{'} | v (x)} I_{Ω_{1}^{'} \times Ω_{2}^{'}} (x) \end{array}$

で定めると

$\begin{aligned} ‖ w ‖_{p_{1}, p_{2}} = & \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} | w (x) | d x_{2}) d x_{1} \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} | | Ω_{2}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\int_{Ω_{2}^{'}} d x_{2}) d x_{1} = 1 \end{aligned}$

だから

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ \geq & | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} w (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ = & | \frac{1}{| Ω_{1}^{'} | | Ω_{2}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\int_{Ω_{2}^{'}} \frac{\overset{―}{v (x)} v (x)}{v (x)} d x_{2}) d x_{1} | \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} | | Ω_{2}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\int_{Ω_{2}^{'}} | v (x) | d x_{2}) d x_{1} \\ > & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} | | Ω_{2}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\int_{Ω_{2}^{'}} (‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} - 2 ϵ) d x_{2}) d x_{1} \\ = & ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} - 2 ϵ \end{aligned}$

となって， $ϵ$ の任意性から $sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \geq ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}$ が従う．

[２]　 $p_{1} = 1, p_{2} \in (1, \infty)$ のとき， $p_{1}^{'} = \infty, p_{2}^{'} \in (1, \infty)$ である．

任意の $ϵ > 0$ に対して，ある可測集合 $Ω_{1}^{'} \subset Ω_{1}$ で $0 < | Ω_{1}^{'} | < \infty$ を満たすものが存在して， $x \in Ω_{1}^{'} \times Ω_{2}$ が成り立つとき，

$\begin{array}{r} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})} > ‖ v ‖_{1, p_{2}^{'}} - ϵ \end{array}$

が成り立つ．このとき， $θ_{x} := \arg v (x)$ とし， $w : Ω_{1} \times Ω_{2} \to C$ を

$\begin{array}{r} w (x) := \frac{| v (x) |^{p_{2}^{'} - 1}}{| Ω_{1}^{'} | ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} / p_{2}}} e^{- i θ_{x}} I_{Ω_{1}^{'} \times Ω_{2}} (x) \end{array}$

で定めると

$\begin{aligned} ‖ w ‖_{p_{1}, p_{2}} = & \int_{Ω_{1}} {(\int_{Ω_{2}} | w (x) |^{p_{2}} d x_{2})}^{1 / p_{2}} d x_{1} \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} \frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} / p_{2}}} {(\int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2} (p_{2}^{'} - 1)} d x_{2})}^{1 / p_{2}} d x_{1} \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} \frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} / p_{2}}} {(\int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'}} d x_{2})}^{1 / p_{2}} d x_{1} \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} d x_{1} = 1 \end{aligned}$

だから

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ \geq & | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} w (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ = & | \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} / p_{2}}} \int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'} - 1} e^{- i θ_{x}} v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (\frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} / p_{2}}} \int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'}} d x_{2}) d x_{1} \\ = & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'} - \frac{p_{2}^{'}}{p_{2}}} d x_{1} = \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})} d x_{1} \\ > & \frac{1}{| Ω_{1}^{'} |} \int_{Ω_{1}^{'}} (‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} - ϵ) d x_{1} = ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} - ϵ \end{aligned}$

となって， $ϵ$ の任意性から $sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \geq ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}$ が従う．

[３]　 $p_{1}, p_{2} \in (1, \infty)$ のとき， $p_{1}^{'}, p_{2}^{'} \in (1, \infty)$ である．

$θ_{x} := \arg v (x)$ とし， $w : Ω_{1} \times Ω_{2} \to C$ を

$\begin{array}{r} w (x) := \frac{| v (x) |^{p_{2}^{'} - 1}}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2}}} e^{- i θ_{x}} \end{array}$

で定めると

$\begin{aligned} {(\int_{Ω_{1}} {| \int_{Ω_{2}} | w (x) |^{p_{2}} d x_{2} |}^{p_{1} / p_{2}} d x_{1})}^{1 / p_{2}} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} {(\int_{Ω_{1}^{'}} \frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1} (1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2})}} {(\int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2} (p_{2}^{'} - 1)} d x_{2})}^{p_{1} / p_{2}} d x_{1})}^{1 / p_{1}} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} {(\int_{Ω_{1}^{'}} \frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1} (1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2})}} {(\int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'}} d x_{2})}^{p_{1} / p_{2}} d x_{1})}^{1 / p_{1}} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} {(\int_{Ω_{1}^{'}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1} (p_{1}^{'} - 1)} d x_{1})}^{1 / p_{1}} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} {(\int_{Ω_{1}^{'}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1}^{'}} d x_{1})}^{1 / p_{1}} = 1 \end{aligned}$

である．すなわち $‖ w ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1$ だから

$\begin{aligned} sup_{‖ u ‖_{p_{1}, p_{2}} = 1} | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} u (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ \geq & | \int_{Ω_{1}} (\int_{Ω_{2}} w (x) v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ = & | \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} \int_{Ω_{1}} (\frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2}}} \int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'} - 1} e^{- i θ_{x}} v (x) d x_{2}) d x_{1} | \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} \int_{Ω_{1}} (\frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2}}} \int_{Ω_{2}} | v (x) |^{p_{2}^{'}} d x_{2}) d x_{1} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} \int_{Ω_{1}} (\frac{1}{‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{1 - p_{1}^{'} + p_{2}^{'} / p_{2}}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{2}^{'}}) d x_{1} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} \int_{Ω_{1}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1}^{'} - 1 + p_{2}^{'} (1 - 1 / p_{2})} d x_{1} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} \int_{Ω_{1}} ‖ v (x_{1}, \cdot) ‖_{L^{p_{2}^{'}} (Ω_{2})}^{p_{1}^{'}} d x_{1} \\ = & \frac{1}{‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} / p_{1}}} ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'}} = ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}^{p_{1}^{'} (1 - 1 / p_{1})} = ‖ v ‖_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} \end{aligned}$