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微分積分学の基本定理とその証明|微分と積分の関係を導出

求積の方法として「積分」を定義する方法はいくつかあるが,最もシンプルな積分の定義に[Riemann(リーマン)積分]がある.

[Riemann積分]は関数の定義域Iを細かく分割して,長方形近似から(Riemann和を求めて)求積する方法である.

[Riemann積分]をこの定義から計算しようとすると,長方形近似から計算をしなければならず計算は面倒になる.

そこで,長方形近似を経由せずに積分を計算するための定理として[微分積分法の基本定理]がある.

なお,高校数学においては「微分の逆演算」として積分を定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.

しかし,連続でない関数に対してこの定義はうまくいかないので,主に連続関数を扱う高校数学ならではの定義となっている.

この記事の「積分」は,全て[Riemann積分]を指すものとする.

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準備

「微分積分学の基本定理」を述べる前に,念のため「不定積分」と「原始関数」の定義を述べておく.

不定積分

次で「不定積分」を定義する.

[不定積分] 区間I\subset\R上の実数値関数fI上可積分であるとする.このとき,任意のa\in Iに対して,

\begin{align*} F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt \end{align*}

で定まる関数F:I\to\Rf不定積分(indefinite integral)という.

a\in Iのとり方によって不定積分Fは異なる.

  • a\in Iに対するfの不定積分をF_{a}
  • a'\in Iに対するfの不定積分をF_{a'}

とすると,

\begin{align*} F_{a}(x)-F_{a'}(x) =&\int_{a}^{x}f(t)\,dt-\int_{a'}^{x}f(t)\,dt \\=&\int_{a}^{a'}f(t)\,dt \end{align*}

なので,F_{a}(x)F_{a'}(x)の差は定数\dint_{a}^{a'}f(t)\,dtでありxによらない.すなわち,a\in Iの取り方によって不定積分Fは定数しか変わらないことに注意する.

原始関数

次で「原始関数」を定義する.

[原始関数] 区間I\subset\R上の実数値関数fに対して,I上微分可能な実数値関数FF'=fをみたすとき,FをI上のf原始関数という.

Ffの原始関数であることを言葉で説明すれば,Fを微分すればfになるということである.

定数関数の導関数は恒等的に0なので,Ffの原始関数であれば,F+Cfの原始関数である.

微分積分学の基本定理

「不定積分」と「原始関数」について,

  • 「不定積分」の定義には微分は登場せず
  • 「原始関数」の定義には積分が登場しない

ということは意識しておきたい.

したがって,「不定積分」と「原始関数」の関係を述べることができれば,それは積分と微分の関係を述べたことになり,別々に定義されたはずの積分と微分に関係があることになる.

さて,次の定理を[微分積分学の基本定理]という.

[微分積分学の基本定理] fを区間I=[a,b]\subset\R上の実数値連続関数とする.

  1. fI上の不定積分は,Ifの原始関数である.
  2. I上のfの任意の原始関数Gは,任意のfの不定積分Fに対して,G(x)=F(x)+C (x\in I)を満たす定数C\in\Rが存在する.
  3. GI上のfの任意の原始関数とすると,\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)が成り立つ.
  • 1では「不定積分」は「原始関数」である(「不定積分」を微分すると,元の関数に戻る)こと
  • 2では「原始関数」は「不定積分」の定数差のものだけであること

を保証している.

1と2からの帰結である3が計算の上では最も重要である.

冒頭でも書いたように,和の極限で定義されている不定積分がRiemann和を用いずとも,原始関数が分かれば計算できるということを主張しているのが3である.

微分積分学の基本定理の証明

[証明]

(1) fの点x\in Iでの連続性から,任意の\epsilon>0に対して,ある\delta>0が存在して,|t-x|<\deltaなら|f(t)-f(x)|<\epsilonを満たす.

よって,c\in Iを任意にとり,F(x)=\int_{c}^{x}f(t)\,dtI上の不定積分Fを定めると,任意のx\in Ix+h\in I\setminus\{x\}なるh\in(0,\delta)に対して,

\begin{align*} &\abs{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{c}^{x}f(t)\,dt-hf(x)} \\=&\frac{1}{|h|}\abs{\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt} \\\le&\frac{1}{|h|}\int_{x-|h|}^{x+|h|}|f(t)-f(x)|\,dt \\<&\frac{1}{|h|}\int_{x-|h|}^{x+|h|}\epsilon\,dt \\=&2\epsilon \end{align*}

が成り立つから,FI上のfの原始関数である.

(2) Gfの原始関数だから,定義よりG'=fである.また,Ffの不定積分だから,(1)よりF'=fである.よって,F'=G'だから,(F-G)'=0である.

よって,F-Gは定数なので,Gは不定積分の定数差のものに限る.

(3) (2)の記号を用いる.

F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dtにより,不定積分Fを定める.2より,F-Gは定数だったから,

\begin{align*} F(x)-G(x) =F(a)-G(a) =-G(a) \end{align*}

である.ただし,F(a)=\int_{a}^{a}f(t)\,dt=0であることを用いた.よって,

\begin{align*} \int_{a}^{b}f(t)\,dt =F(b) =G(b)-G(a) \end{align*}

が成り立つ.

[証明終]

証明に関する補足

1の証明について,いくつか簡単な補足をする.

補足1

f(x)tに無関係なので,tで積分すると

\begin{align*} hf(x)=\int_{x}^{x+h}f(x)\,dt \end{align*}

となる.

補足2

一般に,a>bなら

\begin{align*} \abs{\int_{a}^{b}f(x)\,dx} \le\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx \end{align*}

が成り立つが,h>0とは限らないので,単に

\begin{align*} \abs{\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt} \le\frac{1}{|h|}\int_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt \end{align*}

とはできない.

参考文献

以下は参考文献です.

解析入門

杉浦光男解析学の教科書としては非常に有名である.

2巻からなるが,本記事の内容は1巻に載っている.

論理は極めて厳密であり,基本的な微分積分学の知識体系は網羅されていると言ってよい.

一方で,厳密が故に生まれる難しさもあるが,それは致し方ないところであろう.

解析をしっかりやる人はぜひ持っておきたい.

なお,本書に対応した演習書「解析演習」も出版されている.

微分積分学

こちらも解析学の教科書として有名な名著である.

具体例を多く扱い,イメージを掴むことに重点を置いているため,大学1年生の解析初学者には心強い味方になるであろう.

読者の理解に重点を置いている一方で,議論もしっかり厳密に扱っているため,論理的な部分もカバーできる.

この意味で,しっかり数学をやりたい人の解析の導入としてオススメできる一冊である.

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