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微分積分学の基本定理とその証明

  
   

「積分」を定義するときの1つの方法として,「Riemann和の極限(長方形近似)」を用いて積分を定義する方法がある.

この面積による積分を「Riemann積分」というが,Riemann積分を定義から計算しようとすると積分はRiemann和から計算しなければならず,計算は面倒になる.

そこで,Riemann和を経由せずに積分を計算するための定理として,「微分積分法の基本定理」がある.

この「微分積分法の基本定理」によって,積分はRiemann和を求めずとも,原始関数によって計算できることが分かる.

なお,高校数学においては「積分は微分の逆演算」として定めるが,この定義によれば「微分積分学の定理」は明らかである.しかし,積分が求積に用いられてきたという側面を見れば,この定義はいくぶん不自然である.

この記事では,「微分積分学の基本定理」の主張とその証明を述べる.

この記事での「積分」は,全てRiemann積分を指すものとする.

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準備

「微分積分学の基本定理」を述べる前に,念のため「不定積分」と「原始関数」の定義を述べておく.

不定積分

次で「不定積分」を定義する.

[定義(不定積分)] 区間I\subset\R上の実数値関数fI上可積分であるとする.このとき,任意のa\in Iに対して,

F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dt

で定まるI上の関数Fを不定積分という.

ここで,a\in Iの取り方によって,不定積分Fが異なることに注意する.しかし,任意のa,a'\in Iに対して,積分の線型性から,

\dint_{a}^{x}f(t)\,dt-\dint_{a'}^{x}f(t)\,dt=\dint_{a}^{a'}f(t)\,dt

が成り立つ.したがって,a\in Iの取り方によってFは定数しか変わらない.

なお,「不定積分」の定義には微分が一切使われていないことに注意.

原始関数

次で「原始関数」を定義する.

[定義(原始関数)] 区間I\subset\R上の実数値関数fに対して,I上微分可能な実数値関数FF'=fをみたすとき,FをI上のfの原始関数という.

定数C\in\Rを微分すると0なので,Ffの原始関数であれば,F+Cfの原始関数である.

また,「原始関数」の定義には積分が一切使われていないことに注意.

微分積分学の基本定理

さて,上でも注意したように,「不定積分」の定義には微分は登場せず,「原始関数」の定義には積分が登場しない.

したがって,「不定積分」と「原始関数」の関係を述べることができれば,それは積分と微分の関係を述べたことになる.すなわち,別々に定義されたはずの積分と微分に関係があることになる.

さて,次の定理を「微分積分学の基本定理」という.

[微分積分学の基本定理] fを区間I=[a,b]\subset\R上の実数値連続関数とする.

  1. fI上の不定積分は,Ifの原始関数である.
  2. I上のfの任意の原始関数Gは,任意のfの不定積分Fに対して,ある定数C\in\Rが存在して,G=F+Cで表される.
  3. GI上のfの任意の原始関数とすると,\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)が成り立つ.

すなわち,1では「『不定積分』は『原始関数』であること」を,逆に2では「『原始関数』は『不定積分』の定数差のものだけであること」を保証する.

1は「『不定積分』を微分すると,元の関数に戻る」とも言える.

そして,1,2からの帰結である3は応用上,最も重要である.

冒頭でも書いたように,定積分はRiemann和の極限で定義されている.しかし,3によってRiemann和を用いずとも原始関数が分かれば計算できることが分かる.これは非常に画期的な事実である.

微分積分学の基本定理の証明

[証明]

(1) fの点x\in Iでの連続性から,任意の\epsilon>0に対して,ある\delta>0が存在して,

|t-x|<\delta\Ra|f(t)-f(x)|<\epsilon

が成り立つ.よって,c\in Iを任意にとり,F(x)=\dint_{c}^{x}f(t)\,dtI上の不定積分Fを定めると,任意のx\in Ix+h\in I\setminus\{x\}なるh\in(0,\delta)に対して,

\abs{\f{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)}
=\f{1}{|h|}\abs{\dint_{c}^{x+h}f(t)\,dt-\dint_{c}^{x}f(t)\,dt-hf(x)}
=\f{1}{|h|}\abs{\dint_{x}^{x+h}f(t)\,dt-\dint_{x}^{x+h}f(x)\,dt}
\le\f{1}{|h|}\dint_{x-|h|}^{x+|h|}|f(t)-f(x)|\,dt
<\f{1}{|h|}\dint_{x-|h|}^{x+|h|}\epsilon\,dt =2\epsilon

が成り立つから,FI上のfの原始関数である.

(2) Gfの原始関数だから,定義よりG'=fである.また,Ffの不定積分だから,(1)よりF'=fである.よって,F'=G'だから,(F-G)'=0である.

よって,F-Gは定数なので,Gは不定積分の定数差のものに限る.

(3) (2)の記号を用いる.

F(x)=\dint_{a}^{x}f(t)\,dtにより,不定積分Fを定める.2より,F-Gは定数だったから,

F(x)-G(x)=F(a)-G(a)=-G(a)

である.ただし,F(a)=\dint_{a}^{a}f(t)\,dt=0であることを用いた.よって,

\dint_{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)=G(b)-G(a)

が成り立つ.

[証明終]

証明に関する補足

1の証明について,いくつか簡単な補足をする.

補足1

f(x)tに無関係なので,tで積分すると

hf(x)=\dint_{x}^{x+h}f(x)\,dt

となる.

補足2

h>0とは限らないので,単に

\abs{\f{1}{h}\dint_{x}^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt} \le\f{1}{|h|}\dint_{x}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt

とはできない.

参考文献

  • 「解析入門I」(杉浦光夫 著,東京大学出版会)
  • 「微分積分学」(笠原晧司 著,サイエンス社)

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