ガウス積分を極座標変換から求める｜ヤコビアンが嬉しい計算

関数$e^{-x^2}$の実数全体での広義積分は

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

と計算できることが知られており，この広義積分はガウス積分やオイラー-ポアソン積分などと呼ばれます．

直観的には$xy$平面上の$y=e^{-x^2}$のグラフと$x$軸との間の面積が$\sqrt{\pi}$ということですね．

この記事では

ガウス積分の定義と収束性
ガウス積分の計算
ガウス積分の計算上のポイント

を順に解説します．

ガウス積分の定義と収束性
1. ガウス積分の定義
2. ガウス積分の収束
ガウス積分の計算
ガウス積分の計算上のポイント
1. 正方形領域と極座標変換
2. 重積分と累次積分

ガウス積分の定義と収束性

まずはガウス積分がどのような積分であるかを定義し，ガウス積分が収束することを示しておきましょう．

ガウス積分の定義

広義積分

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

をガウス積分（Gauss integral）と言います．

一般に$G(x)=Ae^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$で定まる関数$G$がガウス関数と呼ばれているので，ガウス積分は$A=1$, $2\sigma^2=1$, $\mu=0$のときのガウス関数$G$の実数全体での積分といえますね．

$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$の場合のガウス関数$G$は，平均$\mu$，分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数としてもよく知られていますね．

一般に，非負値関数$f$の実数全体での広義積分が

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx:=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}f(x)\,dx\end{align*}$

と定義されるのでしたから，ガウス積分は

$\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

のことを言うわけですね．

ガウス積分の収束

ガウス積分の極限値が$\sqrt{\pi}$になることを求めるのは少々面倒ですが，収束することを示すだけであればそれほど難しくありません．

ガウス積分

$\begin{align*}\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

は収束する．

任意の$t>1$に対して，対称性より

$\begin{align*}\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx =&2\int_{0}^{t}e^{-x^2}\,dx \\=&2\int_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx+2\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

である．$0\le x\le1$で$e^{-x^2}$は連続だから，第１項$\dint_{0}^{1}e^{-x^2}\,dx$はリーマン積分可能である．

また，第２項$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について非減少であり，

$\begin{align*}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx&\le\int_{1}^{t}e^{-x}\,dx=\brc{-e^{-x}}_{1}^{t} \\&=-\bra{e^{-t}-e^{-1}}\le\frac{1}{2e}\end{align*}$

より$\dint_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx$は$t$について有界である．一般に上に有界かつ非減少なら極限をもつから，極限

$\begin{align*}\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}e^{-x^2}\,dx\end{align*}$

が存在する．以上より，広義積分$\dint_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$が存在する．

ガウス積分の計算

それでは極座標変換を用いてガウス積分を計算しましょう．

ガウス積分は$\sqrt{\pi}$に収束する．すなわち，

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\end{align*}$

が成り立つ．

$I(t):=\dint_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx$とする．$\lim\limits_{t\to\infty}I(t)$がガウス積分であることに注意する．

$I(t)^2$の変形

非負値関数の広義積分の定義より

$\begin{align*}I(t)^2&=\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2}\,dx}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-y^2}\,dy} \\&=\int_{-t}^{t}\bra{\int_{-t}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\&=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy \\&=4\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}$

である．

積分領域と積分の評価

$\R^2$の原点中心の２つの４分円

$D(t):=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le t^2, x\ge0, y\ge0}$
$D(\sqrt{2}t):=\set{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\le 2t^2, x\ge0, y\ge0}$

を考えると，積分領域$[0,t]\times[0,t]$は

$\begin{align*}D(t)\subset[0,t]\times[0,t]\subset D(\sqrt{2}t)\end{align*}$

をみたす．

このとき，被積分関数$e^{-x^2-y^2}$は正値だから，積分領域が広い方が積分の値も大きいので

$\begin{align*}4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)<I(t)^2<4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)\end{align*}$

が成り立つ．

極座標変換を用いて計算

極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を施すと，$x^2+y^2=r^2$であり，$D(t)$と$D(\sqrt{2}t)$はそれぞれ

$D_1:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}}$
$D_2:=\set{(r,\theta)}{r\in[0,\sqrt{2}t], \theta\in\brc{0,\frac{\pi}{2}}}$

と変換される．極座標変換のヤコビアンが$r$であることに注意して

$\begin{align*}&4\iint_{D(t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y) \\&=4\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=4\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr \\&=4\int_{0}^{t}\frac{\pi}{2} re^{-r^2}\,dr=2\pi\brc{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}_{0}^{t} \\&=-\pi\bra{e^{-t^2}-1}\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}$

であり，同様に

$\begin{align*}4\iint_{D(\sqrt{2}t)}e^{-x^2-y^2}\,d(x,y)&=-\pi\bra{e^{-2t^2}-1} \\&\to\pi\quad (t\to\infty)\end{align*}$

となる．

はさみうちの原理を適用

はさみうちの原理より

$\begin{align*}\bra{\lim_{t\to\infty}I(t)}^2=\lim_{t\to\infty}I(t)^2=\pi\end{align*}$

だから，$I(t)>0$に注意して

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}I(t)=\sqrt{\pi}\end{align*}$

を得る．

不定積分$\dint e^{-x^2}\,dx$は簡単には（初等関数では）で表せないことが知られています．一方，$xe^{-x^2}$の不定積分は

$\begin{align*}\int xe^{-x^2}\,dx=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\end{align*}$

と簡単に表すことができます．極座標変換のヤコビアン$r$がいることで$\int re^{-r^2}\,dr$となることが，極座標変換でうまくいく理由です．

ガウス積分の計算上のポイント

以上の計算でのポイントを説明します．

正方形領域と極座標変換

２重積分$\displaystyle\iint f(x,y)\,d(x,y)$において，被積分関数$f(x,y)$の式の中に$x^2+y^2$があるときには，極座標変換$(x,y)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$を用いるのは鉄板ですね．

さて，極座標変換は$xy$平面上の円板領域を$r\theta$平面へぴったり移すことができますが，そうでない領域を$r\theta$平面へ移すのは得意ではありません．

そこで，円板領域でない積分領域を円板で挟んで評価し，はさみうちの原理に持ち込むという方法がよく採られます．

今のガウス積分の計算では，$I(t)^2$を考えると正方形領域$[0,t]\times[0,t]$を積分領域とする重積分を計算することになったので，

正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(t)$
正方形領域$[0,t]\times[0,t]$に含まれる領域$D(\sqrt{2}t)$

での重積分を計算し，はさみうちの原理に持ち込んだわけですね．

重積分と累次積分

微分積分学では「多くの場合で

重積分$\displaystyle\iint_{I\times J}f(x,y)\,d(x,y)$
累次積分（逐次積分）$\dint_{I}\bra{\dint_{J}f(x,y)\,dx}\,dy$

は一致する」と学びます．

例えば，上の計算でいえば

$\begin{align*}&\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{t}e^{-x^2-y^2}\,dx}\,dy=\iint_{[0,t]\times[0,t]}e^{-x^2-y^2}\,dxdy, \\&\iint_{D_1}e^{-r^2}r\,d(r,\theta)=\int_{0}^{t}\bra{\int_{0}^{\pi/2}re^{-r^2}\,d\theta}\,dr\end{align*}$