弱Lp有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

関数空間の重要な補間定理としてMarcinkiewicz(マルチンキーヴィッツ)の実補間定理があります．

「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようです．

のちに説明するように，作用素の$L^p$有界性には

（普通の）$L^p$有界性
弱$L^p$有界性

があります．名前から推察されるように，作用素$T$が$L^p$有界であれば弱$L^p$有界となります．

Marcinkiewiczの実補間定理は，ある種の三角不等式を満たす作用素$T$が

弱$L^1$有界性
弱$L^q$有界性 ($1<q$)

をもつとき，任意の$p\in(1,q)$に対して作用素$T$が$L^p$有界性をもつことを保証する定理です．

つまり，両端の$L^1$と$L^q$で弱有界であれば，その間で普通の$L^p$有界性をもつわけですね．

Marcinkiewiczの実補間定理は

両端は弱でよい
線形でない作用素に適用できる

という２点で優れています．

$L^p$有界性と弱$L^p$有界性
1. 準備
2. 弱$L^p$有界性
Marcinkiewiczの実補間定理
1. 補題
2. Marcinkiewiczの実補間定理とその証明
参考文献
1. 非線形発展方程式の実解析的方法

$L^p$有界性と弱$L^p$有界性

まずは

$L^p$有界性
分布関数

の定義を確認します．

準備

まずは$L^p$有界性を確認します．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$p\in[1,\infty]$に対して，$L^{p}(X)$上の作用素$T$が$L^{p}$有界であるとは，ある$C>0$が存在して，任意の$f\in L^p(X)$に対して

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}\end{align*}$

が成り立つことをいう．

一般に集合$S$上の作用素$T$とは，$T:S\to S$のことをいうのでした．

次に，上位集合と分布関数を確認します．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$X$上の実数値または複素数値関数$f$と$\lambda\ge0$に対して，

$\begin{align*}\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}\end{align*}$

を上位集合 (優位集合,superlevel set)という．また，次で定まる関数$\mu_{f}:\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}$を分布関数という：

$\begin{align*}\mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}\end{align*}$

この記事では，測度空間$(X,\mathcal{F},\mu)$としては

$X=\R$
$\mathcal{F}$は$\R$のLebesugue集合やBorel集合
$\mu$をLebesgue測度

として考えれば十分です．

また，定義から容易に分かるように，

$\begin{align*}\mu_{f}(\lambda)=\int_{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}dx\end{align*}$

でもありますね．

弱$L^p$有界性

次に，弱$L^p$有界性を定義します．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$p\in[1,\infty)$に対して，$L^{p}(X)$上の作用素$T$が弱$L^{p}$有界であるとは，ある$C>0$が存在して，任意の$\lambda>0$と$f\in L^p(X)$に対して

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}\end{align*}$

が成り立つことをいう．

冒頭でも述べたように，$L^{p}$有界性は弱$L^{p}$有界性よりも強い条件になっています．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$p\in[1,\infty)$に対して，$L^{p}(X)$上の$L^{p}$有界作用素$T$は弱$L^{p}$有界である．

証明を表示

作用素$T$が$L^p$有界であれば，ある$C>0$が存在して$\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}$をみたす．$L^{p}$有界作用素$T$は，任意の$f\in L^{p}(X)$と$\lambda>0$に対して，

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda) =&\int_{\{\abs{Tf(x)}>\lambda\}}\,dx \\\le&\int_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\\le&\int_{X}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx \\=&\bra{\frac{\|Tf\|_{p}}{\lambda}}^{p} \le C^{p}\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}\end{align*}$

を満たす．したがって，$L^{p}$有界作用素$T$は弱$L^{p}$有界作用素である．

これより弱$L^p$有界性ではないことを強調して，普通の$L^p$有界性を強$L^p$有界性と言うこともあります．

なお，今の証明では本質的にChebyshevの不等式を用いています．

[Chebyshevの不等式]　$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．任意の$f\in L^p(X)$と$\lambda>0$に対して，次の不等式が成り立つ．

$\begin{align*}\mu_f(\lambda)\le\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^p\end{align*}$

Marcinkiewiczの実補間定理

次に，Marcinkiewiczの実補間定理の主張とその証明を説明します．

補題

準備として，まずは次の補題を示します．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．任意の$f\in L^1_{loc}(X)$と$p\in[1,\infty)$に対して，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が成り立つ．また，$a,b\in\R$ ($a\le b$)に対して，$a\le|f(x)|\le b$であるとき，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =p\int_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が成り立つ．

証明を表示

補題の前半は，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx =&\int_{X}\int_0^{|f(x)|}p\sigma^{p-1}\,d\sigma\,dx \\=&\int_{X}\int_0^{\infty}p\sigma^{p-1}I_{[0,|f(x)|]}(\sigma)\,d\sigma\,dx \\=&\int_0^{\infty}\int_{X}p\sigma^{p-1}I_{\{0<\sigma<|f(x)|\}}(\sigma)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\int_{X}I_{\{\sigma<|f(x)|\}}(x)\,dx\,d\sigma \\=&p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

となって従う．

補題の後半は，$\sigma$が$0\le\sigma<a$または$b<\sigma$をみたすとき$a\le|f(x)|\le b$により$\mu_{f}(\sigma)=0$だから，前半の等式の右辺の積分範囲が$[a,b]$になることが分かる．

Marcinkiewiczの実補間定理とその証明

今示した補題により，[Marcinkiewiczの実補間定理]を示します．

[Marcinkiewiczの実補間定理]　$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$q\in(1,\infty]$とする．次の条件を満たす$L^1(X)+L^{q}(X)=\set{f_1+f_2}{f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X)}$上の作用素$T$を考える．

$f\in L^1+L^{q}$の任意の分解$f=f_1+f_2\ \ (f_1\in L^1(X),f_2\in L^{q}(X))$に対して,$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$が成り立つ．
$T$は弱$L^1$有界である．
- $q\in(1,\infty)$のとき，$T$は弱$L^q$有界である．
- $q=\infty$のとき，ある$C>0$が存在して，任意の$f\in L^\infty(X)$に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}$が成り立つ．

このとき，任意の$p\in(1,q)$に対して，$T$は$L^{p}$有界作用素に拡張できる．

証明を表示

$q\in(1,\infty)$の場合と，$q=\infty$の場合に分けて証明する．

[1]　$q\in(1,\infty)$のときを示す．

任意の$p\in(1,q),f\in L^{p}(X)$と$\lambda>0$に対して，

$\begin{align*}&f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1\end{align*}$

とする． $f\in L^{p}(X)$から $\mu(\mrm{supp}{f_1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\infty$なので，

$\begin{align*}\int_{X}|f_1(x)|\,dx =&\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|\,dx \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|^{p}\,dx}^{1/p} \\\le&\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p} <\infty\end{align*}$

である．ここに，$p’$は$p$のHölder共役である．また，$\|f_2\|_{L^{\infty}(X)}\le\lambda$だから，

$\begin{align*}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \le{\|f_2\|_{L^{\infty}}}^{q-p}\int_{X}|f_2(x)|^{p}\,dx <\infty\end{align*}$

だから，$f_1\in L^1$と$f_2\in L^q$が成り立つ．

したがって，仮定２から$\left[|Tf_1(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right.$ かつ $\left.|Tf_2(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right]$であれば，$|Tf(x)|\le\lambda$をみたす．この対偶を考えて，$|Tf(x)|>\lambda$なら$\left[|Tf_1(x)|>\frac{\lambda}{2}\right.$または $\left.|Tf_2(x)|>\frac{\lambda}{2}\right]$が成り立つ．

したがって，補題，仮定２，仮定３より

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda) \le&\mu_{Tf_1}\bra{\frac{\lambda}{2}}+\mu_{Tf_2}\bra{\frac{\lambda}{2}} \\\le&\frac{2C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1}+\frac{2C}{\lambda^{q}}\|f_2\|_{L^q}^{q} \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx+\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx +\frac{C}{\lambda^{q}}\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx \\\le&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma+C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

である．ただし，$C$は適当な定数であり，一定とは限らない(以下同様)．よって，

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda \\\le& p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +C\mu_{f}(\lambda) +\frac{Cq}{\lambda^{q}}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\\le& Cp\bra{\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\int_0^{\infty}\lambda^{p-q-1}\int_0^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma +\int_0^{\infty}|f(x)|^{p}\,d\lambda +\int_0^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\int_{\sigma}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\,d\sigma} \\\le& C\bra{\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma +\|f\|_{p}^{p} +\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \\\le& C\|f\|_{p}^{p}\end{align*}$

が従う．

[2]　$q=\infty$のときを示す．

任意の$p\in(1,\ q),\ f\in L^{p},\ \lambda>0$に対して，

$\begin{align*} &f_1 :=\begin{cases} f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\ 0&(|f(x)|\le\lambda)\\ f+\lambda&(f(x)<-\lambda) \end{cases}, \\&f_2:=f-f_1 \end{align*}$

とする．

[1]と同様に，$f_1\in L^1$, $f_2\in L^{\infty}$だから

$\begin{align*} |Tf(x)| \le&|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)| \\\le&|Tf_1(x)|+C\nor{f_2}_{L^{\infty}} \\\le&|Tf_1(x)|+C\lambda \end{align*}$

だから，$Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_1(x)>C\lambda$が成り立つ．

したがって，補題を用いて

$\begin{align*} \mu_{Tf}(2C\lambda) \le&\mu_{Tf_1}(C\lambda) \\\le&\frac{C}{\lambda}\|f_1\|_{L^1} \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx \\=&\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma \\=&\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \end{align*}$

である．よって，

$\begin{align*} \|Tf\|_{p}^{p} =&p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda \\=&p(2C)^{p}\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\cdot\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& Cp\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\\le& C\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma \\\le& C\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \\\le& C\|f\|_{p}^{p} \end{align*}$