作用素の弱Lᵖ有界性とマルチンキーヴィッツの実補間定理

作用素の有界性を示すための重要な補間定理に，マルチンキーヴィッツの実補間定理があります．

もう少し詳しく言えば，ある種の三角不等式を満たす作用素$T$が，弱$L^1$有界性と弱$L^q$有界性（$1<q$）をもてば，任意の$p\in(1,q)$に対して作用素$T$が（通常の）$L^p$有界であることを保証する定理で，

両端は弱でよい
線形でない作用素に適用できる

という２点で優れています．

この記事では

準備（$L^p$有界性・弱$L^p$有界性）
マルチンキーヴィッツの実補間定理

を順に解説しています．

この定義では一般の測度空間$(X,\mathcal{F},\mu)$を考えていますが，最初はルベーグ測度空間で考えていれば問題ありません．

準備（$L^p$有界性・弱$L^p$有界性）
マルチンキーヴィッツの実補間定理
参考文献
1. 非線形発展方程式の実解析的方法

準備（$L^p$有界性・弱$L^p$有界性）

マルチンキーヴィッツの実補間定理の主張を述べるために，作用素の$L^p$有界性・弱$L^p$有界性を定義し，弱$L^p$有界性が$L^p$有界性よりも広い有界性であることを示します．

多くの場合で作用素の有界性は線形作用素に対して定義されますが，マルチンキーヴィッツの実補間定理は線形と限らない場合でも成り立つので，この記事では線形に限らない作用素を扱います．

作用素の$L^p$有界性の定義

一般に，ふたつのノルム空間$V$, $W$に対して，作用素$T:V\to W$が有界であるとは，ある$C>0$が存在して，任意の$f\in V$に対して

$\begin{align*}\|Tf\|_W\le C\|f\|_V\end{align*}$

が成り立つことをいうのでした．

とくに$V$, $W$が$L^p$空間であるとき，$T$は$L^p$有界であるといいます．すなわち，次のようになります．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とする．$p\in[1,\infty]$に対して，（線形とは限らない）作用素$T:L^{p}(X)\to L^{p}(X)$が$L^{p}$有界であるとは，ある$C>0$が存在して，任意の$f\in L^p(X)$に対して

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}\end{align*}$

が成り立つことをいう．ただし，$\|\cdot\|_p$は$L^p$ノルムである．

これより弱$L^p$有界性ではないことを強調して，普通の$L^p$有界性を強$L^p$有界性ということもあります．

作用素の弱$L^p$有界性の定義

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とし，$p\in[1,\infty)$とする．作用素$T:L^{p}(X)\to L^{p}(X)$が弱$L^{p}$有界であるとは，ある$C>0$が存在して，任意の$\lambda>0$と$f\in L^p(X)$に対して

$\begin{align*}\mu\bra{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}}\le C\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}\end{align*}$

が成り立つことをいう．

一般に集合$X$上の実（または複素）数値関数$f$と$\lambda\ge0$に対して，集合$\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}$を上位集合（優位集合，superlevel set）といい，この集合の測度

$\begin{align*}\mu_{f}(\lambda)=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}\end{align*}$

で定まる関数$\mu_{f}:[0,\infty)\to[0,\infty)$を分布関数といいます．この分布関数の記号を用いると，弱$L^{p}$有界性の定義の不等式は

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda)\le C\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}\end{align*}$

と書き換えることができますね．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とし，$p\in[1,\infty)$とする．条件

$\begin{align*}\inf\set{C>0}{\forall\lambda>0\quad \mu_f(\lambda)\le\bra{\frac{C}{\lambda}}^p}<\infty\end{align*}$

を満たす可測関数$f$全部の集合を弱$L^{p}$空間といい，$L^1_w(X)$などと表す．

$L^p$有界性と弱$L^p$有界性の関係

名前にも表れているように，（通常の）$L^{p}$有界性は弱$L^{p}$有界性よりも強い条件になっています．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を測度空間とし，$p\in[1,\infty)$とする．作用素$T:L^{p}(X)\to L^{p}(X)$が$L^{p}$有界なら弱$L^{p}$有界である．

$\mathbb{I}_{S}$を集合$S$上の定義関数とする．任意に$f\in L^{p}(X)$と$\lambda>0$をとる．測度空間における単関数の積分の定義より

$\begin{align*}&\mu\bra{\set{x\in X}{|Tf(x)|>\lambda}} \\&=\int_{X}\mathbb{I}_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\,dx \\&\le\int_{X}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\mathbb{I}_{\{|Tf(x)|>\lambda\}}\,dx \\&\le\int_{X}\bra{\frac{|Tf(x)|}{\lambda}}^{p}\,dx =\frac{{\|Tf\|_{p}}^{p}}{\lambda^p}\end{align*}$

が成り立つ．ただし，最初の不等号では$\abs{Tf(x)}>\lambda$なら$\frac{|Tf(x)|}{\lambda}>1$が成り立つことを用いた．

作用素$T$が$L^p$有界であれば，ある$C>0$が存在して，$\|Tf\|_{p}\le C\|f\|_{p}$が成り立つから，さらに

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda)\le\frac{(C\|f\|_{p})^{p}}{\lambda^p}=C^{p}\bra{\frac{\|f\|_{p}}{\lambda}}^{p}\end{align*}$

が成り立つ．よって，$L^{p}$有界作用素$T$は弱$L^{p}$有界である．

このことから，（通常の）$L^{p}$有界性を弱でないことを強調して強$L^{p}$有界性ということもあります．

証明では本質的にチェビシェフの不等式を用いていますね．

マルチンキーヴィッツの実補間定理

マルチンキーヴィッツの実補間定理は次の通りです．

［マルチンキーヴィッツの実補間定理］$(X,\mathcal{F},\mu)$を$\sigma$-有限測度空間とし，$q\in(1,\infty]$とする．$M(X)$を$X$で定義された可測関数全部の集合とする．このとき，作用素

$\begin{align*}T:L^1(X)+L^{q}(X)\to M(X)\end{align*}$

が次の条件を満たせば，任意の$p\in(1,q)$に対して，（通常の）$L^{p}$有界な作用素$T:L^{p}\to L^{p}$に拡張できる．

1. 任意の$f\in L^1(X)+L^{q}(X)$の任意の分解$f=f_1+f_2$（$f_1\in L^1(X)$, $f_2\in L^{q}(X)$）に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$が成り立つ．
2. $T$は弱$L^1$有界である．
3. $1<q<\infty$なら$T$は弱$L^q$有界である．$q=\infty$なら，ある$C>0$が存在して，任意の$f\in L^\infty(X)$に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}$が成り立つ．

「マルチンキェーヴィツ」がMarcinkiewiczの正確な発音に近いようです．

冒頭でも触れたように，マルチンキーヴィッツの実補間定理は

作用素$T$は線形でなくてもよい（代わりに条件(1)の不等式が必要）
弱$L^1$有界と弱$L^q$有界であればよい（端で弱$L^p$有界ならその間で強$L^p$有界となる）

という点で優れた定理です．

補題（$p$乗積分の分布関数を用いた表示）

マルチンキーヴィッツの実補間定理の証明のために，$p$乗積分$\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx$の分布関数$\mu_{f}$を用いた表示を準備しておきます．

$(X,\mathcal{F},\mu)$を$\sigma$-有限測度空間とする．任意の$f\in L^1_{loc}(X)$と$p\in[1,\infty)$に対して，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が成り立つ．とくに$a,b\in\R$が存在して$a\le|f(x)|\le b$であるとき，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx=p\int_{a}^{b}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が成り立つ．

$\mathbb{I}_{S}$を集合$S$上の定義関数とする．任意の$x\in X$に対して，

$\begin{align*}|f(x)|^{p}&=p\int_{0}^{|f(x)|}\sigma^{p-1}\,d\sigma \\&=p\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mathbb{I}_{[0,|f(x)|)}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

なので，両辺を$X$上で積分して

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx&=p\int_{X}\biggl(\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mathbb{I}_{[0,|f(x)|)}(\sigma)\,d\sigma\biggr)\,dx\end{align*}$

である．被積分関数は非負値だからトネリの定理より積分順序が交換できて，

$\begin{align*}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx&=p\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\bra{\int_{X}\mathbb{I}_{[0,|f(x)|)}(\sigma)\,dx}\,d\sigma \\&=p\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\bra{\int_{X}\mathbb{I}_{\left\{x\in X\middle|\sigma<|f(x)|\right\}}(x)\,dx}\,d\sigma \\&=p\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が従う．また，$a\le|f(x)|\le b$なら，$0\le\sigma<a$または$b<\sigma$のとき$\mu_{f}(\sigma)=0$だから，右辺の積分範囲が$[a,b]$となることが分かる．

$q=\infty$のときの証明

$q=\infty$のときと$1<q<\infty$のときで，証明の大きな流れは似ていますが細部は少し異なります．$q=\infty$のときを証明します．

［マルチンキーヴィッツの実補間定理（$q=\infty$のとき）］$(X,\mathcal{F},\mu)$を$\sigma$-有限測度空間とし，$M(X)$を$X$で定義された可測関数全部の集合とする．また，$q\in(1,\infty]$とする．このとき，作用素

$\begin{align*}T:L^1(X)+L^{\infty}(X)\to M(X)\end{align*}$

が次の条件を満たせば，任意の$p\in(1,\infty)$に対して，（通常の）$L^{p}$有界な作用素$T:L^{p}\to L^{p}$に拡張できる．

任意の$f\in L^1(X)+L^{\infty}(X)$の任意の分解$f=f_1+f_2$（$f_1\in L^1(X)$, $f_2\in L^{\infty}(X)$）に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$が成り立つ．
$T$は弱$L^1$有界である．
ある$C>0$が存在して，任意の$f\in L^\infty(X)$に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le C\|f\|_{\infty}$が成り立つ．

任意の$p\in(1,\ q)$, $f\in L^{p}$, $\lambda>0$に対して，

$\begin{align*}&f_1(x):=\begin{cases}f(x)-\lambda&(f(x)>\lambda)\\0&(|f(x)|\le\lambda)\\f(x)+\lambda&(f(x)<-\lambda)\end{cases}, \\&f_2(x):=f(x)-f_1(x)\end{align*}$

とおく．

ステップ１：$f_1\in L^1(X)$, $f_2\in L^\infty(X)$の証明

$f\in L^p(X)$だから

$\begin{align*}\mu(\operatorname{supp}{f_1})=\mu\bra{\set{x\in X}{|f(x)|>\lambda}}<\infty\end{align*}$

なので，$\frac{1}{p’}+\frac{1}{p}=1$に関するヘルダーの不等式より

$\begin{align*}&\int_{X}|f_1(x)|\,dx =\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|\,dx \\&\le\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}\,dx}^{1/p'}\bra{\int_{\mrm{supp}f_1}|f_1(x)|^{p}\,dx}^{1/p} \\&\le\mu(\operatorname{supp}{f_1})^{1/p'}\bra{\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx}^{1/p}<\infty\end{align*}$

だから$f_1\in L^1(X)$である．ここに，$p’$は$p$のヘルダー共役である．また，

$\begin{align*}f_2(x)=\begin{cases}\lambda&(f(x)>\lambda)\\f(x)&(|f(x)|\le\lambda)\\-\lambda&(f(x)<-\lambda)\end{cases}\end{align*}$

だから，任意の$x\in X$に対して$|f_2(x)|\le\lambda$なので$f_2\in L^{\infty}(X)$である．

ステップ２：$\mu_{Tf}(2C\lambda)$の評価

$T$の条件(1)と条件(3)より，ほとんど全ての$x\in X$に対して，

$\begin{align*}|Tf(x)|&\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)| \\&\le|Tf_1(x)|+C\nor{f_2}_{L^{\infty}} \\&\le|Tf_1(x)|+C\lambda\end{align*}$

なので，$Tf(x)>2C\lambda\Ra Tf_1(x)>C\lambda$が成り立つ．よって，

$\begin{align*}&\mu(\set{x\in X}{Tf(x)>2C\lambda}\le\mu(\set{x\in X}{Tf_1(x)>C\lambda})\end{align*}$

が成り立つ．すなわち，$\mu_{Tf}(2C\lambda)\le\mu_{Tf_1}(C\lambda)$が成り立つ．よって，$T$の弱$L^1$有界性（条件(2)）と補題を併せて

$\begin{align*}&\mu_{Tf}(2C\lambda)\le\mu_{Tf_1}(C\lambda) \\&\le C\bra{\frac{\|f_1\|_{1}}{\lambda}}^1 =\frac{C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx \\&=\frac{C}{\lambda}\int_0^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma =\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

が成り立つ．

ステップ３：$\|Tf\|_{p}$の評価

補題と変数変換により

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}^{p}&=\int_{X}|Tf(x)|^p\,dx \\&=p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda \\&=2^pC^p p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(2C\lambda)\,d\lambda\end{align*}$

なので，ステップ２で示した不等式$\mu_{Tf}(2C\lambda)\le\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma$と併せて

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}^{p}&\le 2^pC^p p\int_0^{\infty}\lambda^{p-1}\bra{\frac{C}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\&\le 2^pC^p p\int_0^{\infty}\lambda^{p-2}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\,d\lambda \\&\le 2^pC^{p+1} p\int_0^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\int_0^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,d\sigma \\&\le 2^pC^{p+1} p\int_0^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma \le 2^pC^{p+1} p\|f\|_{p}^{p}\end{align*}$

が従う．よって，$\|Tf\|_{p}\le C’\|f\|_{p}$（$C’:=(2^pC^{p+1}p)^{1/p}$）となり，$T$の$L^p$有界性を得る．

${1<q<\infty}$のときの証明

次に$q\in(1,\infty)$のときを証明します．

［マルチンキーヴィッツの実補間定理（$1<q<\infty$のとき）］$(X,\mathcal{F},\mu)$を$\sigma$-有限測度空間とし，$M(X)$を$X$で定義された可測関数全部の集合とする．また，$1<q<\infty$とする．このとき，作用素

$\begin{align*}T:L^1(X)+L^{q}(X)\to M(X)\end{align*}$

が次の条件を満たせば，任意の$p\in(1,q)$に対して，（通常の）$L^{p}$有界な作用素$T:L^{p}\to L^{p}$に拡張できる．

任意の$f\in L^1(X)+L^{q}(X)$の任意の分解$f=f_1+f_2$（$f_1\in L^1(X)$, $f_2\in L^{q}(X)$）に対して，$x\in X$上ほとんど至るところで$|Tf(x)|\le|Tf_1(x)|+|Tf_2(x)|$が成り立つ．
$T$は弱$L^1$有界である．
$T$は弱$L^q$有界である．

任意の$p\in(1,q)$, $f\in L^{p}(X)$, $\lambda>0$に対して，

$\begin{align*}&f_1:=\begin{cases}f-\lambda&(f(x)>\lambda)\\0&(|f(x)|\le\lambda)\\f+\lambda&(f(x)<-\lambda)\end{cases}, \\&f_2:=f-f_1\end{align*}$

とおく．

ステップ１：$f_1\in L^1(X)$, $f_2\in L^q(X)$の証明

$f_1\in L^1(X)$は$q=\infty$のときと同様に得られる．

また，$q=\infty$のときと同様に$\|f_2\|_{\infty}\le\lambda$であり，任意の$x\in X$に対して$|f_2(x)|\le|f(x)|$だから，

$\begin{align*}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx&\le\|f_2\|_{\infty}^{q-p}\int_{X}|f_2(x)|^{p}\,dx \\&\le\|f_2\|_{\infty}^{q-p}\int_{X}|f(x)|^{p}\,dx<\infty\end{align*}$

だから$f_2\in L^q$が成り立つ．

ステップ２：$\mu_{Tf}(\lambda)$の評価

$T$の条件(1)から$\left[|Tf_1(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right.$かつ$\left.|Tf_2(x)|\le\frac{\lambda}{2}\right]$であれば，$|Tf(x)|\le\lambda$をみたす．この対偶を考えて，$|Tf(x)|>\lambda$なら$\left[|Tf_1(x)|>\frac{\lambda}{2}\right.$または$\left.|Tf_2(x)|>\frac{\lambda}{2}\right]$が成り立つ．

よって，$T$の弱$L^1$有界性（条件(2)），弱$L^p$有界性（条件(3)）より，ある$C>0$が存在して

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda) &\le\mu_{Tf_1}\biggl(\frac{\lambda}{2}\biggr)+\mu_{Tf_2}\biggl(\frac{\lambda}{2}\biggr) \\&\le C\bra{\frac{\|f_1\|_1}{\lambda/2}}^1+C\bra{\frac{\|f_2\|_q}{\lambda/2}}^{q} \\&\le\frac{2C}{\lambda}\int_{X}|f_1(x)|\,dx+\frac{2^qC}{\lambda^{q}}\int_{X}|f_2(x)|^{q}\,dx\end{align*}$

となる．補題より，この第１項目の積分は

$\begin{align*}\int_{X}|f_1(x)|\,dx&=\int_{0}^{\infty}\mu_{f_1}(\sigma)\,d\sigma=\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

となり，第２項目の積分は

$\begin{align*}\int_{X}|f_2(x)|^q\,dx&=\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx+\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f_2(x)|^{q}\,dx \\&\le\int_{\{|f(x)|>\lambda\}}\lambda^{q}\,dx+\int_{\{|f(x)|\le\lambda\}}|f(x)|^{q}\,dx \\&\le\lambda^{q}\mu_{f}(\lambda)+q\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

と評価できるので，以上を併せて

$\begin{align*}\mu_{Tf}(\lambda) &\le C\bra{\frac{2}{\lambda}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma+2^q\mu_{f}(\lambda)+\frac{2^q q}{\lambda^{q}}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma} \\&\le C'\bra{\lambda^{-1}\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma+\mu_{f}(\lambda)+\lambda^{-q}\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$C’:=C2^q q$とおいた．

ステップ３：$\|Tf\|_{p}$の評価

補題とステップ２より

$\begin{align*}\|Tf\|_{p}^{p}&=p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{Tf}(\lambda)\,d\lambda \\&\le C'p\Biggl\{\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\bra{\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\&\quad+\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu_{f}(\lambda)\,d\lambda +\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\biggl(\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\biggr)\,d\lambda\Biggr\}\end{align*}$

である．この第１項目の積分は被積分関数が非負値だからトネリの定理より積分順序が交換できて

$\begin{align*}&\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-2}\bra{\int_{\lambda}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma}\,d\lambda \\&=\int_{0}^{\infty}\mu_{f}(\sigma)\bra{\int_{0}^{\sigma}\lambda^{p-2}\,d\lambda}\,d\sigma \\&=\frac{1}{p-1}\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$

となり，第３項目の積分も同様に

$\begin{align*}&\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-q-1}\biggl(\int_{0}^{\lambda}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\biggr)\,d\lambda \\&=\int_{0}^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\biggl(\int_{0}^{\sigma}\lambda^{p-q-1}\,d\lambda\biggr)\,d\sigma \\&=\frac{1}{p-q}\int_{0}^{\infty}\sigma^{q-1}\mu_{f}(\sigma)\sigma^{p-q}\,d\sigma \\&=\frac{1}{p-q}\int_{0}^{\infty}\sigma^{p-1}\mu_{f}(\sigma)\,d\sigma\end{align*}$