ルベーグ積分6|ルベーグ測度の本質的に重要な4つの性質

ルベーグ積分の基本
ルベーグ積分の基本

ルベーグ外測度$m^{*}$の定義域$\mathcal{P}(\R)$をルベーグ可測集合全体の族$\mathcal{L}$に制限してできる写像をルベーグ測度$m$というのでした.

ルベーグ測度$m$はルベーグ積分において本質的に重要なので,ルベーグ測度$m$の性質を理解しておくことはとても大切です.

さて,任意の$\R$の部分集合に対して定義されるルベーグ外測度$m^{*}$は重要な5つの性質を持ちましたが,ルベーグ測度$m$は定義域を$\mathcal{L}$という「良い性質をもつ集合たち」に制限しているため,ルベーグ外測度$m^{*}$よりも良い性質を持つことになります.

そこで,この記事ではルベーグ測度$m$の本質的に重要な4つの性質

  1. 非負値性
  2. 平行移動不変性
  3. 完全加法性
  4. 区間の外測度

を説明します.

ルベーグ積分の参考文献

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ルベグ積分入門

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ルベーグ積分と関数解析

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ルベーグ外測度$m^{*}$の5つの性質の復習

ルベーグ外測度$m^{*}$は次の5つの性質を満たすのでした.

ルベーグ外測度$m^{*}$は次の5つの性質を満たす.

[非負値性] 集合$A\subset\R$に対して$m^{*}(A)\ge0$が成り立つ.また,$m^{*}(\emptyset)=0$が成り立つ.

[平行移動不変性] 集合$A, B\subset\R$が平行移動で移り合うとき$m^{*}(A)=m^{*}(B)$が成り立つ.

[単調性] 集合$A, B\subset\R$が$A\subset B$を満たすとき$m^{*}(A)\le m^{*}(B)$が成り立つ.

[劣加法性] 集合$A_1, A_2,\dots\subset\R$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ.

[区間の外測度] 右半開区間$I\subset\R$に対して,$m^{*}(I)=|I|$が成り立つ.

それぞれ言葉で説明すると,次のように言うことができますね:

  • どんな集合$A$の外測度も$0$以上であり,空集合$\emptyset$の外測度は$0$である.
  • 平行移動して移り合う2つの集合$A$, $B$の外測度は等しい.
  • 大きい集合$B$の外測度の方が,小さい集合$A$の外測度より大きいか等しい.
  • 集合たち$A_1, A_2,\dots$の和集合の外測度は,それぞれの外測度の和に等しい.
  • 右半開区間$I$の外測度は,その右半開区間$I$の長さに等しい.

しかし,ルベーグ外測度$m^{*}$は後に説明する(以前の記事でも少し触れた)完全加法性と呼ばれる性質は満たしません.

この「完全加法性を満たさない」という点が,測度論における外測度$m^{*}$の致命的な欠点になっています.

ルベーグ測度$m$の本質的な4つの性質

さて,ルベーグ測度$m$は次の4つの性質を満たします.

ルベーグ測度$m$は次の4つの性質を満たす.

[非負値性] 集合$A\in\mathcal{L}$に対して$m(A)\ge0$が成り立つ.また,$m(\emptyset)=0$が成り立つ.

[平行移動不変性] 集合$A,B\in\mathcal{L}$が平行移動で移り合うとき$m(A)=m(B)$が成り立つ.

[完全加法性] 互いに素な集合$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ.

[区間の外測度] 右半開区間$I\subset\R$に対して,$m(I)=|I|$が成り立つ.

ルベーグ測度$m$は外測度$m^{*}$の定義域を$\mathcal{L}$に制限してできる写像なので,$m$の非負値性,平行移動不変性,区間の外測度はそれぞれ$m^{*}$の非負値性,平行移動不変性,区間の外測度から成り立つことが分かります.

しかし,完全加法性に相当する性質は外測度$m^{*}$では成り立たないので,$m^{*}$の性質から直ちに成り立つとは言えません.

$m$の完全加法性のための復習

そこで,$m$の完全加法性の証明のために,前々回の記事で示した次の補題を思い出しておきましょう.

$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$が互いに素なら,任意の$X\subset\R$と$n\in\N$に対して

   \begin{align*}m^{*}(X\cap B_n)=\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)\end{align*}

が成り立つ.ただし,$B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$ ($n\in\N$)である.

また,前々回の記事では次の定理も示しました.

$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して,$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$が成り立つ.

$m$の定義域はルベーグ可測集合全体の族$\mathcal{L}$でしたから,完全加法性の$m\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}$を考えるためには$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$でなければなりませんが,この定理はこのことを保証してくれているわけですね.

ルベーグ積分4|可測集合の基本性質のまとめと完全加法族
ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした.この記事では,Lが完全加法族であることの証明を目標に,基本性質をまとめます.

$m$の完全加法性の証明

上の復習から$m$の完全加法性を示しましょう.

[完全加法性] 互いに素な集合$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ.

$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, $B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$とする.

$m^{*}$の劣加法性より

   \begin{align*}m^{*}(A) =m^{*}\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n} \le\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)\end{align*}

が成り立つから,逆向きの不等式$m^{*}(A)\ge\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$を示せば良い.

$B_n\in\mathcal{L}$だから,任意の$X\subset\R$に対して

   \begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap B_n)+m^{*}(X\cap B_n^c)\end{align*}

が成り立つから,上の復習の補題を第1項目に用いると,

   \begin{align*}m^{*}(X)=\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)+m^{*}(X\cap B_n^c)\end{align*}

が成り立つ.ここで$X=A$とすると,

   \begin{align*}m^{*}(A) =&\sum_{k=1}^{n}m^{*}(A\cap A_k)+m^{*}(A\cap B_n^c) \\\ge&\sum_{k=1}^{n}m^{*}(A_k)\end{align*}

が成り立つ.よって,$n\to\infty$とすれば$m^{*}(A)\ge\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ.

ルベーグ測度$m$の完全加法性から

  • 単調性:$A,B\in\mathcal{L}$に対して$A\subset B\Ra m(A)\le m(B)$
  • 劣加法性:$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$

が成り立つことはすぐに分かります.しかし,逆に単調性と劣加法性から完全加法性を導くことはできません.

つまり,外測度$m^{*}$で成り立つ単調性と劣加法性より少し良い性質になっているわけですね.

ルベーグ測度空間

一般に測度論には可測空間測度空間という基本的な空間があります.

まず可測空間の定義は以下の通りで,前回の記事で$(\R,\mathcal{L})$が可測空間であることを説明しました.

集合$\Omega$を考える.$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(\Omega)$が次を満たすとき,$\mathcal{F}$を完全加法族 (completely additive class)といい,組$(\Omega,\mathcal{F})$を可測空間 (measurable space)という.

  1. $\Omega\in\mathcal{F}$
  2. $A\in\mathcal{F}\Ra A^c\in\mathcal{F}$
  3. $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$に対して$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$が成り立つ.

また,測度空間は以下のように定義されます.

可測空間$(\Omega,\mathcal{F})$を考える.写像$\mu:\mathcal{F}\to[0,\infty]$が次を満たすとき,$\mu$を測度 (measure)といい,組$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$を測度空間 (measure space)という.

  1. $\mu(\emptyset)=0$
  2. 互いに素な$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$に対して$\mu\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$が成り立つ.

この記事で示したように,可測空間$(\R,\mathcal{L})$上のルベーグ測度$m$はこの定義の条件を満たしています.

すなわち,$(\R,\mathcal{L},m)$は測度空間となっており,この測度空間$(\R,\mathcal{L},m)$をルベーグ測度空間 (Lebesgue measure space)といいます.

可測空間・測度空間について詳しくは以下の記事も参照してください.

可測空間と測度空間|直感的な考え方で定義・具体例を解説
測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります.この記事では,これらの直感的な考え方をたどりながら,定義と具体例を丁寧に解説していきます.

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