ルベーグ積分６
ルベーグ測度の本質的に重要な４つの性質

ルベーグ積分の基本

2022.09.022022.07.25

ルベーグ積分の基本

以前の記事で定義したように，ルベーグ外測度$m^{*}$の定義域$\mathcal{P}(\R)$をルベーグ可測集合全体の族$\mathcal{L}$に制限してできる写像をルベーグ測度$m$というのでした．

ルベーグ測度$m$はルベーグ積分において本質的に重要なので，ルベーグ測度$m$の性質を理解しておくことはとても大切です．

さて，$\R$の部分集合全部に対して定義されるルベーグ外測度$m^{*}$は５つの性質「非負値性」「単調性」「平行移動不変性」「劣加法性」「区間の外測度」が成り立つことを以前の記事で説明しました．

一方，ルベーグ測度$m$は定義域をルベーグ可測集合全体の族$\mathcal{L}$という「良い性質をもつ集合たち」に制限しているため，ルベーグ外測度$m^{*}$よりも良い性質を持つことが期待できます．

そこで，この記事ではルベーグ測度$m$の本質的に重要な４つの性質

非負値性
平行移動不変性
完全加法性
区間の外測度

を説明し，最後に測度空間に触れます．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. ルベーグ積分はどのような積分か？歴史と共に考え方を解説

ルベーグ積分の定義
1. １外測度とは何か？集合の「長さ」の測り方
2. ２外測度の本質的に重要な５つの性質
3. ３ルベーグ可測集合とルベーグ測度の定義
4. ４可測集合の基本性質のまとめと完全加法族
5. ５区間・開集合・閉集合の可測性とボレル集合族
6. ６ルベーグ測度の本質的に重要な４つの性質 (今の記事)
7. ７ルベーグ可測関数の定義と具体例(準備中)
8. ８ルベーグ積分の定義(準備中)

ルベーグ積分の項別積分定理
1. 9 ルベーグの単調収束定理と具体例(準備中)
2. 10 ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

参考文献（ルベーグ積分）
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
ルベーグ外測度$m^{*}$の５つの性質の復習
ルベーグ測度$m$の本質的な４つの性質
1. $m$の完全加法性のための復習
2. $m$の完全加法性の証明
測度空間
可測関数

参考文献（ルベーグ積分）

ルベグ積分入門

ロングセラーの入門書です．専門書ですが，文庫なので安く購入できるのも魅力です．

ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

ルベーグ外測度$m^{*}$の５つの性質の復習

以前の記事でルベーグ外測度$m^{*}$は次の５つの性質を満たすことを証明しました．

ルベーグ外測度$m^{*}$は次の５つの性質を満たす．

[非負値性]　集合$A\subset\R$に対して$m^{*}(A)\ge0$が成り立つ．また，$m^{*}(\emptyset)=0$が成り立つ．

[平行移動不変性]　集合$A, B\subset\R$が平行移動で移り合うとき$m^{*}(A)=m^{*}(B)$が成り立つ．

[単調性]　集合$A, B\subset\R$が$A\subset B$を満たすとき$m^{*}(A)\le m^{*}(B)$が成り立つ．

[劣加法性]　集合$A_1, A_2,\dots\subset\R$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ．

[区間の外測度]　右半開区間$I\subset\R$に対して，$m^{*}(I)=|I|$が成り立つ．

それぞれ言葉で説明すると，次のように言うことができますね：

どんな集合$A$の外測度も$0$以上であり，空集合$\emptyset$の外測度は$0$である．
平行移動して移り合う２つの集合$A$, $B$の外測度は等しい．
大きい集合$B$の外測度の方が，小さい集合$A$の外測度より大きいか等しい．
集合たち$A_1, A_2,\dots$の和集合の外測度は，それぞれの外測度の和に等しい．
右半開区間$I$の外測度は，その右半開区間$I$の長さに等しい．

ルベーグ積分２｜外測度の本質的に重要な５つの性質

ルベーグ外測度の「非負値性」「単調性」「劣加法性」「平行移動不変性」「区間の外測度」は本質的に重要な性質であり，ルベーグ測度の定義の土台となります．この記事では，これらの性質が重要な理由と，それぞれの性質の説明と証明をしています．

しかし，ルベーグ外測度$m^{*}$は後に説明する（以前の記事でも少し触れた）完全加法性と呼ばれる性質は満たしません．

この「完全加法性を満たさない」という点が，測度論における外測度$m^{*}$の致命的な欠点になっています．

ルベーグ測度$m$の本質的な４つの性質

さて，ルベーグ測度$m$は次の４つの性質を満たします．

ルベーグ測度$m$は次の４つの性質を満たす．

[非負値性]　集合$A\in\mathcal{L}$に対して$m(A)\ge0$が成り立つ．また，$m(\emptyset)=0$が成り立つ．

[平行移動不変性]　集合$A,B\in\mathcal{L}$が平行移動で移り合うとき$m(A)=m(B)$が成り立つ．

[完全加法性]　互いに素な集合$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ．

[区間の外測度]　右半開区間$I\subset\R$に対して，$m(I)=|I|$が成り立つ．

ルベーグ測度$m$は外測度$m^{*}$の定義域を$\mathcal{L}$に制限してできる写像なので，$m$の非負値性，平行移動不変性，区間の外測度はそれぞれ$m^{*}$の非負値性，平行移動不変性，区間の外測度から成り立つことが分かります．

区間の外測度について，任意の区間$I$が可測であることは前回の記事で証明したので，$m(I)$は定義されています．

しかし，完全加法性に相当する性質は外測度$m^{*}$では成り立たないので，$m^{*}$の性質から直ちに成り立つとは言えません．

$m$の完全加法性のための復習

そこで，$m$の完全加法性の証明のために，前々回の記事で示した次の補題を思い出しておきましょう．

$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$が互いに素なら，任意の$X\subset\R$と$n\in\N$に対して

$\begin{align*}m^{*}(X\cap B_n)=\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$ ($n\in\N$)である．

また，前々回の記事では次の定理も示しました．

$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して，$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$が成り立つ．

$m$の定義域はルベーグ可測集合全体の族$\mathcal{L}$でしたから，完全加法性の$m\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n}$を考えるためには$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$でなければなりませんが，この定理はこのことを保証してくれているわけですね．

ルベーグ積分４｜可測集合の基本性質のまとめと完全加法族

ルベーグ外測度m*の定義域ルベーグ可測集合全部の族Lに制限してできる写像mをルベーグ測度というのでした．この記事では，Lが完全加法族であることの証明を目標に，基本性質をまとめます．

$m$の完全加法性の証明

上の復習から$m$の完全加法性を示しましょう．

[完全加法性（再掲）]　互いに素な集合$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(A_n)$が成り立つ．

証明を表示

$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, $B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$とする．

$m^{*}$の劣加法性より

$\begin{align*}m^{*}(A) =m^{*}\bra{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n} \le\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)\end{align*}$

が成り立つから，逆向きの不等式$m^{*}(A)\ge\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$を示せば良い．

$B_n\in\mathcal{L}$だから，任意の$X\subset\R$に対して

$\begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap B_n)+m^{*}(X\cap B_n^c)\end{align*}$

が成り立つから，上の復習の補題を第１項目に用いると，

$\begin{align*}m^{*}(X)=\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)+m^{*}(X\cap B_n^c)\end{align*}$

が成り立つ．ここで$X=A$とすると，

$\begin{align*}m^{*}(A) =&\sum_{k=1}^{n}m^{*}(A\cap A_k)+m^{*}(A\cap B_n^c) \\\ge&\sum_{k=1}^{n}m^{*}(A_k)\end{align*}$

が成り立つ．よって，$n\to\infty$とすれば$m^{*}(A)\ge\sum_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$が成り立つ．

ルベーグ測度$m$の完全加法性から

単調性：$A,B\in\mathcal{L}$に対して$A\subset B\Ra m(A)\le m(B)$
劣加法性：$A_1, A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$m^{*}\bra{\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n}\le\sum\limits_{n=1}^{\infty}m^{*}(A_n)$

が成り立つことはすぐに分かります．しかし，逆に単調性と劣加法性から完全加法性を導くことはできません．

つまり，外測度$m^{*}$で成り立つ単調性と劣加法性より少し良い性質になっているわけですね．

測度空間

前回の記事で$(\R,\mathcal{L})$が可測空間であることを説明しました．

なお，可測空間の定義は以下の通りでしたね．

集合$\Omega$を考える．$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(\Omega)$が次を満たすとき，$\mathcal{F}$を完全加法族 (completely additive class)といい，組$(\Omega,\mathcal{F})$を可測空間 (measurable space)という．

$\Omega\in\mathcal{F}$
$A\in\mathcal{F}\Ra A^c\in\mathcal{F}$
$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$に対して$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$が成り立つ．

また，測度空間という概念もあり，次のように定義されます．

可測空間$(\Omega,\mathcal{F})$を考える．写像$\mu:\mathcal{F}\to[0,\infty]$が次を満たすとき，$\mu$を測度 (measure)といい，組$(\Omega,\mathcal{F},\mu)$を測度空間 (measure space)という．