ヘルダーの不等式の証明・応用｜ルベーグ積分の基本不等式

ルベーグ積分（測度論）を扱う分野では， $p$ 乗可積分に関する不等式であるヘルダー（Hölder）の不等式がよく用いられます．

ヘルダーの不等式を用いると可測関数 $f, g$ の積 $f g$ が可積分であることを証明できるなど，ルベーグ積分において最も基本的な不等式のひとつです．

この記事では，

$p$ 乗ルベーグ可積分関数
ヘルダーの不等式
ヘルダーの不等式の応用

を順に説明します．

以下の積分はルベーグ積分として考えていますが，より一般に測度空間上でも同様に成り立ちます．

「ルベーグ空間 $L^{p}$ の基本」の一連の記事

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ルベーグ空間（ $L^{p}$ 空間）の参考文献
$p$ 乗ルベーグ可積分関数
ヘルダーの不等式
ヘルダーの不等式の応用（双対性）

ルベーグ空間（ $L^{p}$ 空間）の参考文献

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$p$ 乗ルベーグ可積分関数

まずは $p$ 乗可積分関数を定義しましょう．

可測集合 $A \subset R$ 上の可測関数 $f$ と $p \geq 1$ に対して，

$\begin{align*}\int_{A}|f(x)|^p\,dx<\infty\quad\dots(*)\end{align*}$

が成り立つとき， $f$ は $A$ における $p$ 乗可積分であるという．

条件 $(*)$ は $| f |^{p}$ がルベーグ可積分であると言っても同じことですね．

例えば， $f : R \to R; x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ は可測集合 $R$ 上の可測関数であり，

$\begin{align*}\int_{\R}|f(x)|^2\,dx &=\int_{\R}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\brc{\tan^{-1}{x}}_{-\infty}^{\infty} \\&=\frac{\pi}{2}-\bra{-\frac{\pi}{2}} =\pi\end{align*}$

となるので， $f$ は $R$ における２乗可積分関数ですね．

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ヘルダーの不等式

補題をひとつ示してから，ヘルダーの不等式を証明します．

補題

$p, q > 1$ は $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たすとする．このとき，任意の $a, b \geq 0$ に対して，不等式

$\begin{align*}ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\end{align*}$

が成り立つ．

$a = 0$ または $b = 0$ のときは両辺とも０なので等号で成り立つから，以下 $a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ とする．

対数関数 $\log$ は上に凸だから， $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ に注意してイェンセンの不等式を用いると

$\begin{align*}\log{\bra{\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}}} &\le\frac{1}{p}\log{a^p}+\frac{1}{q}\log{b^q} \\&=\log{a}+\log{b}=\log{ab}\end{align*}$

が成り立つ．

よって，対数関数が単調増加であることと併せて $\frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} \geq a b$ を得る．

ヘルダーの不等式と証明

次の不等式をヘルダーの不等式といいます．

［ヘルダーの不等式］ $A \subset R$ を可測集合とし， $p, q > 1$ は $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たすとする．このとき， $A$ 上の可測関数 $f, g$ に対して，不等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}\end{align*}$

が成り立つ．

ヘルダーの不等式から $p$ 乗可積分関数 $f$ と $q$ 乗可積分関数 $g$ の積 $f g$ は，１乗可積分関数（普通の可積分関数）であることが従いますね．

なお， $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たす $p, q \in [1, \infty]$ をヘルダー共役（Hölder conjugate）といいます．よく用いられるので知っておいてください．

$p = 1$ のときは $q = \infty$ とみなし， $q = 1$ のときは $p = \infty$ とみなします．

$F := {(\int_{A} | f (x) |^{p} d x)}^{1 / p}$ , $G := {(\int_{A} | g (x) |^{q} d x)}^{1 / q}$ とおく．

もし $F = 0$ または $G = 0$ なら，ほとんど至る所で $f = 0$ または $g = 0$ なので両辺とも $0$ となって不等式が等号で成り立つから， $F \neq 0$ かつ $G \neq 0$ で考えれば良い．

さらに，もし $F = \infty$ または $G = \infty$ なら，右辺が $\infty$ となって不等式が成り立つから，さらに $F \neq \infty$ かつ $G \neq \infty$ で考えれば良い．

任意の $x \in A$ に対して，先ほど示した補題を $a = \frac{| f (x) |}{F}$ , $b = \frac{| g (x) |}{G}$ として適用すると，

$\begin{align*}\frac{|f(x)g(x)|}{FG} =\frac{|f(x)|}{F}\cdot\frac{|g(x)|}{G} \le\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}\end{align*}$

が成り立つ．よって， $F^{p} = \int_{A} | f (x) |^{p} d x$ , $G^{q} = \int_{A} | g (x) |^{q} d x$ に注意して， $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を用いると

$\begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx \le FG\int_{A}\bra{\frac{|f(x)|^p}{pF^p}+\frac{|g(x)|^q}{qG^q}}\,dx \\&=FG\bra{\frac{1}{pF^p}\int_{A}|f(x)|^p\,dx+\frac{1}{qG^q}\int_{A}|g(x)|^q\,dx} \\&=FG\bra{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} =FG\end{align*}$

を得る．

コーシー-シュワルツの不等式

いま示したヘルダーの不等式で $p = q = 2$ としたときの不等式をコーシー（cauchy）-シュワルツ（Schwartz）の不等式といいます：

［コーシー-シュワルツの不等式］ $A \subset R$ を可測集合とする．このとき， $A$ 上の２乗可積分関数 $f$ , $g$ に対して，不等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}\le\bra{\int_{A}|f(x)|^2\,dx}^{1/2}\bra{\int_{A}|g(x)|^2\,dx}^{1/2}\end{align*}$

が成り立つ．

コーシー-シュワルツの不等式から２乗可積分関数 $f, g$ の積 $f g$ は，１乗可積分関数（普通の可積分関数）であることが従いますね．

ヘルダーの不等式の応用（双対性）

ヘルダーの不等式を用いると，次の等式が導かれます．

$A \subset R$ を可測集合とし， $p, q > 1$ は $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ を満たすとする．このとき， $A$ 上の可測関数 $f$ に対して，等式

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}=\sup\set{\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}$

が成り立つ．

つまり，可測関数 $g$ を $\int_{A} | g (x) |^{q} d x = 1$ を満たしながら動かすときの $\int_{A} | f (x) g (x) | d x$ の上限が ${(\int_{A} | f (x) |^{p} d x)}^{1 / p}$ に一致するわけですね．

もし $\int_{A} | f (x) |^{p} d x = 0$ なら，ほとんど至る所で $f = 0$ なので両辺とも $0$ となって成り立つから， $\int_{A} | f (x) |^{p} d x \neq 0$ で考えれば良い．

${(\int_{A} | g (x) |^{q} d x)}^{1 / q} = 1$ を満たす任意の可測関数 $g$ に対して，ヘルダーの不等式より

$\begin{align*}\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx &\le\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q} \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}$

が成り立つ．よって，

$\begin{align*}\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\ge\sup\set{\int_{A}|fg(x)|\,dx}{\bra{\int_{A}|g(x)|^q\,dx}^{1/q}=1}\end{align*}$

が成り立つ．

一方， $g (x) := | f (x) |^{p - 1} {(\int_{A} | f (x) |^{p} d x)}^{- 1 / q}$ とおくと，

$\begin{align*}&\int_{A}|f(x)g(x)|\,dx =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{-1/q}\int_{A}|f(x)|^p\,dx \\&=\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1-(1/q)} =\bra{\int_{A}|f(x)|^p\,dx}^{1/p}\end{align*}$