完全加法族に向けて｜ルベーグ可測集合の基本性質のまとめ

ルベーグ外測度$m^{*}$の定義域$\mathcal{P}(\R)$をルベーグ可測集合全部の族$\mathcal{L}$に制限してできる写像$m$をルベーグ測度というのでした．

$\mathcal{P}(\R)$は$\R$の冪集合（$\R$の部分集合全部の族）のことでした．

このルベーグ測度$m$はルベーグ積分において本質的に重要な役割を果たすものなので，ルベーグ測度$m$の性質をよく知っておきたいところです．

そのためにはルベーグ測度$m$の定義域$\mathcal{L}$の性質を知っておくことも大切です．

ルベーグ可測集合の族$\mathcal{L}$の重要な性質はいくつもありますが，中でも$\mathcal{L}$が完全加法族であるという性質はルベーグ測度$m$を考える際に本質的に重要です．

この記事では

ルベーグ可測集合の復習
ルベーグ可測集合の和集合と共通部分
$\mathcal{L}$が完全加法族であること

を順に説明します．

以下では

ルベーグ可測集合のことを単に「可測集合」
ルベーグ外測度のことを単に「外測度」

と呼びます．

「ルベーグ積分の基本」の一連の記事

ルベーグ積分入門
1. 0. ルベーグ積分の基礎｜リーマン積分の先へ！積分の歴史から紹介

ルベーグ測度

ルベーグ可測関数とルベーグ積分

ルベーグ積分の性質と項別積分
1. ルベーグ積分の基本性質を証明する(準備中)
2. 単関数列の項別積分定理のイメージと証明(準備中)
3. ルベーグの単調収束定理と具体例(準備中)
4. ルベーグの収束定理と具体例(準備中)

ルベーグ積分の参考文献
1. ルベグ積分入門
2. ルベーグ積分と関数解析
ルベーグ可測集合の復習
ルベーグ可測集合の和集合と共通部分
$\mathcal{L}$が完全加法族であること

ルベーグ積分の参考文献

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ルベグ積分入門

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ルベーグ積分と関数解析

ルベーグ積分から更なるステップに進みたい人向けの教科書です．

ルベーグ可測集合の復習

可測集合の定義を確認しましょう．

集合$A\subset\R$が可測集合 (measurable set)であるとは，任意の$X\subset\R$に対して

$\begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c)\quad\dots(\star)\end{align*}$

を満たすことをいう．ここに，$A^c$は$\R$における$A$の補集合である．

外測度$m^{*}$の劣加法性から不等式

$\begin{align*}m^{*}(X)\le m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

は常に成り立ち，また$m^{*}(X)=\infty$なら逆向き$\ge$の不等式も常に成り立ちます．

これらのことから，可測集合であるための必要十分条件に関する次の命題が成り立つことも思い出しておきましょう（この記事でも度々用います）．

集合$A\subset\R$に対して，次は同値である．

$A$は可測集合である．
$m^{*}(X)<\infty$なる任意の$X\subset\R$に対して$m^{*}(X)\ge m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c)$が成り立つ．

ルベーグ可測集合の和集合と共通部分

以下ではルベーグ可測集合全部の族を$\mathcal{L}$と表します．ここでは$A,B\in\mathcal{L}$に対して

補集合$A^c$
和集合$A\cup B$
共通部分$A\cap B$
差集合$A\setminus B$

が可測集合であることを証明します．

ルベーグ可測集合の補集合

可測集合$A\subset\R$の補集合$A^c$は可測集合です．

[補集合] $A\in\mathcal{L}$に対して，$A^c\in\mathcal{L}$が成り立つ．

任意に$X\subset\R$をとる．$A\in\mathcal{L}$だから，可測集合の定義より

$\begin{align*}m^{*}(X) =&m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c) \\=&m^{*}(X\cap(A^c)^c)+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

が成り立つ．よって，$A^c\in\mathcal{L}$が従う．

ルベーグ可測集合の和集合

２つの可測集合$A,B\subset\R$の和集合$A\cup B$と共通部分$A\cap B$は可測集合です．

[和集合] $A,B\in\mathcal{L}$に対して，$A\cup B\in\mathcal{L}$が成り立つ．

任意に$m^{*}(X)<\infty$なる$X\subset\R$をとる．このとき

$\begin{align*}m^{*}(X)\ge m^{*}(X\cap (A\cup B))+m^{*}(X\cap (A\cup B)^c)\end{align*}$

が成り立つことを示せば$A\cup B\in\mathcal{L}$が従う．

$A\in\mathcal{L}$だから，可測集合の定義より

$\begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

が成り立つ．また，$B\in\mathcal{L}$だから，可測集合の定義より

$\begin{align*}m^{*}(X\cap A^c) =&m^{*}((X\cap A^c)\cap B)+m^{*}((X\cap A^c)\cap B^c) \\=&m^{*}(X\cap A^c\cap B)+m^{*}(X\cap(A\cup B)^c)\end{align*}$

が成り立つ．ただし，２つ目の等号では第２項目にド・モルガンの法則を用いている．よって，

$\begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c\cap B)+m^{*}(X\cap(A\cup B)^c)\end{align*}$

が成り立つから，あとは$m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c\cap B)\ge m^{*}(X\cap (A\cup B))$を示せばよい．

一般に集合$P$, $Q$, $R$に対して，分配法則

$P\cap (Q\cup R)=(P\cap Q)\cup (P\cap R)$
$P\cup (Q\cap R)=(P\cup Q)\cap (P\cup R)$

が成り立つことを用いると，

$\begin{align*}&(X\cap A)\cup(X\cap A^c\cap B) \\=&X\cap (A\cup(A^c\cap B)) =X\cap ((A\cup A^c)\cap(A\cup B)) \\=&X\cap\R\cap(A\cup B) =X\cap(A\cup B)\end{align*}$

だから，外測度$m^{*}$の劣加法性より

$\begin{align*}m^{*}(X\cap A)+m^{*}(X\cap A^c\cap B)\ge m^{*}(X\cap (A\cup B))\end{align*}$

が示された．

帰納的に$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{L}$に対して，$\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$が成り立つことも分かりますね．

ルベーグ可測集合の共通部分

上で示した命題[和集合]と命題[補集合]を用いると，２つの可測集合$A,B\subset\R$の共通部分$A\cap B$も可測集合であることが直ちに示されます．

[共通部分] $A,B\in\mathcal{L}$に対して，$A\cap B\in\mathcal{L}$が成り立つ．

$A,B\in\mathcal{L}$だから，命題[補集合]を用いると$A^c,B^c\in\mathcal{L}$だから，さらに命題[和集合]より$A^c\cup B^c\in\mathcal{L}$である．

再び命題[補集合]を用いると$(A^c\cup B^c)^c\in\mathcal{L}$であり，ド・モアブルの定理より

$\begin{align*}(A^c\cup B^c)^c =A\cap B\end{align*}$

だから，$A\cap B\in\mathcal{L}$が従う．

帰納的に$A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{L}$に対して，$\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_k\in\mathcal{L}$が成り立つことも分かりますね．

さらに，差集合$A\setminus B$は$A\cap B^c$であることから，次も成り立ちますね．

[差集合] $A,B\in\mathcal{L}$に対して，$A\setminus B\in\mathcal{L}$が成り立つ．

$A,B\in\mathcal{L}$だから，命題[補集合]を用いると$B^c\in\mathcal{L}$であり，さらに命題[共通部分]より$A\cap B^c\in\mathcal{L}$である．

差集合の定義より

$\begin{align*}A\setminus B=A\cap B^c\end{align*}$

だから，$A\setminus B\in\mathcal{L}$が従う．

$\mathcal{L}$が完全加法族であること

命題[和集合]では有限個の可測集合の和集合についての性質でしたが，実は可算無限個の可測集合であっても和集合は可測となります．

$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$が成り立つ．

この性質により$\mathcal{L}$は$\R$の完全加法族であるといいます（詳しくは後述）．

補題

上の定理の証明のために，次の補題を用意しておきます．

$A_1,A_2,\dots\subset\mathcal{L}$が互いに素（$i\neq j$なら$A_i\cap A_j=\emptyset$）なら，任意の$X\subset\R$と$n\in\N$に対して

$\begin{align*}m^{*}\bra{X\cap B_n}=\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)\end{align*}$

が成り立つ．ただし，$B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$ ($n\in\N$)である．

数学的帰納法により示す．$n=1$のときは

$\begin{align*}X\cap B_n=X\cap B_1=X\cap A_1=X\cap A_n\end{align*}$

だから$m^{*}(X\cap B_n)=\sum\limits_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)$が成り立つ．

ある$n$に対して成り立つと仮定する．$A_{n+1}\in\mathcal{L}$から

$\begin{align*}m^{*}(X\cap B_{n+1}) =&m^{*}((X\cap B_{n+1})\cap A_{n+1})+m^{*}((X\cap B_{n+1})\cap A_{n+1}^c)\end{align*}$

である．いま$A_1,A_2,\dots,A_{n+1}$は互いに素と仮定しているので$B_{n+1}\cap A_{n+1}=A_{n+1}$, $B_{n+1}\cap A_{n+1}^c=B_{n}$だから，帰納法の仮定と併せると

$\begin{align*}m^{*}(X\cap B_{n+1}) =&m^{*}(X\cap A_{n+1})+m^{*}(X\cap B_{n}) \\=&m^{*}(X\cap A_{n+1})+\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k) \\=&\sum_{k=1}^{n+1}m^{*}(X\cap A_k)\end{align*}$

を得る．よって，$n+1$でも成り立つ．

定理の証明

この補題を用いて，上の定理を証明しましょう．

（再掲）$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{L}$に対して，$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$が成り立つ．

$A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, $B_n=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$ ($n\in\N$)とおく．$A\in\mathcal{L}$を２ステップで示す．

[１]　$A_1,A_2,\dots$が互いに素である場合に成り立つことを示す．

任意に$m^{*}(X)<\infty$なる$X\subset\R$をとる．命題[和集合]より，任意の$n\in\N$に対して$B_n\in\mathcal{L}$だから，

$\begin{align*}m^{*}(X)=m^{*}(X\cap B_n)+m^{*}(X\cap B_n^c)\end{align*}$

が成り立つ．補題より

$\begin{align*}m^{*}(X\cap B_n) =&\sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)\end{align*}$

が成り立ち，$B_n\subset A$より$X\cap B_n^c\supset X\cap A^c$だから，外測度$m^{*}$の単調性より

$\begin{align*}m^{*}(X\cap B_n^c)\ge m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

が成り立つ．

よって

$\begin{align*}m^{*}(X)\ge \sum_{k=1}^{n}m^{*}(X\cap A_k)+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

が成り立つから，両辺で$n\to\infty$とすると

$\begin{align*}m^{*}(X)\ge \sum_{k=1}^{\infty}m^{*}(X\cap A_k)+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

が成り立つ．右辺の第１項で$m^{*}$の劣加法性を用いれば

$\begin{align*}m^{*}(X) \ge&m^{*}\bra{\bigcup_{k=1}^{\infty}(X\cap A_k)}+m^{*}(X\cap A^c) \\=&m^{*}\bra{X\cap A}+m^{*}(X\cap A^c)\end{align*}$

を得る．よって，$A\in\mathcal{L}$が従う．

[２]　一般の$A_1,A_2,\dots$に対して成り立つことを示す．

$A’_1=A_1$, $A’_n=A_n\setminus B_{n-1}$ ($n=2,3,\dots$)とおくと，$A’_1,A’_2,\dots$は互いに素であり，命題[差集合]より$A’_1,A’_2,\dots\in\mathcal{L}$である．

よって，[１]より$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A’_n\in\mathcal{L}$は可測である．

さらに，$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A’_n$だから$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$が従う．

先ほどの命題[共通部分]の証明と同様にド・モアブルの法則を用いれば，可算無限個の可測集合の共通部分も可測であることが分かりますね．

可測空間と完全加法族

実は測度論において可測空間と呼ばれる基本的な概念があります．

集合$\Omega$と$\Omega$の部分集合の族$\mathcal{F}$が３条件

$\Omega\in\mathcal{F}$
$A\in\mathcal{F}\Ra A^c\in\mathcal{F}$
$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}\Ra \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$

を満たすとき，組$(\Omega,\mathcal{F})$を可測空間 (measurable space)という．また，$\mathcal{F}$を$\Omega$の完全加法族 (completely additive class)という．

完全加法族は$\m{\sigma\text{-}}$加法族，$\m{\sigma\text{-}}$代数などと呼ばれることもよくあります．

前回の記事では$\R\in\mathcal{L}$を示し，今回の記事の命題[補集合]から$A\in\mathcal{L}\Ra A^c\in\mathcal{L}$を示しました．

よって，これらと上の定理を併せると，組$(\R,\mathcal{L})$が可測空間・$\mathcal{L}$は$\R$の完全加法族であることが分かりますね．

可測空間（と測度空間）について詳しくは以下の記事を参照してください．

可測空間と測度空間｜直感的な考え方で定義・具体例を解説

測度論の基本的な空間として「可測空間」「測度空間」があります．この記事では，これらの直感的な考え方をたどりながら，定義と具体例を丁寧に解説していきます．

ルベーグ積分４｜可測集合の基本性質のまとめと完全加法族